《流体力学》辅导材料6

第6章 管内流动与阻力

【教学基本要求】

1. 掌握流体层流、湍流的特征和评判方法；掌握雷诺数的意义及计算方法。 2. 掌握流体沿程、局部阻力的产生原因与计算方法知道。 3. 掌握有压管路的水力计算 4. 理解水击的概念。

【学习重点】

1. 阻力产生的原因及分类。 2.短管及长管的水力计算。

【内容提要和学习指导】 6.1 第二节 两种流态及转化

1. 流动状态——流态转化演示实验：雷诺实验

结果：（a）速度小时，色液直线前进，质点做直线运动——层流 （b）速度较大时，色液颤动，质点做曲线运动——过渡区 （c）速度大时，色液不连续，向四周紊乱扩散，质点做无规则运动 ——湍流 由此得出以下三个概念：层流、湍流、过渡状态 （1）. 层流：

流体质点平行向前推进，各层之间无掺混。主要以粘性力为主，表现为质点的摩擦和变形。为第一种流动状态。 （2）. 过渡状态：

层流、湍流之间有短暂的过渡状态。为第二种流动状态。 （3）. 湍流：

单个流体质点无规则的运动，不断掺混、碰撞，整体以平均速度向前推进。主要以惯性力为主，表现为质点的撞击和混掺，为第三种流动状态。

二、沿程水头损失与流速的关系

实验方法：在实验管路A、B两点装测压管测压降，用实测流量求流速。

hfp1p2

QVAVQA 实验数据处理：把实验点描在双对数坐标纸上

回归方程式：

lghflgKmlgV

m1,45（1）. 层流时，

（2）. 紊流时，m=1.75～2，θ＝60°

（3）. 实验还证明，不能用临界速度作为判别流态的标准，因为由层流到湍流变化时的Vcup和由湍流到层流转化时的Vcdown不同，且有Vcup > Vcdown

（4）. 流动介质变化时，Vc也不同，由此得出，Vc不能作为判别流态的标准。 三、判别流动状态的标准 Re

1、 雷诺实验中所发生的现象与下列因素有关，流体密度ρ，粘性系数μ，平均流速V，管径D，即 流动现象＝f（ρ，μ，V，D） 利用π定理可得：

流动现象＝f（ ρVD/μ ）＝f（Re） 即流动现象只与雷诺数Re有关。

Re对于圆管，雷诺数 V——管内流速 d——管径 μ——粘性系数

工程上一般取Re临＝2000，

VdVd 当Re ≤2000时，为层流， 当Re >2000时，为紊流。

2、Re 的物理意义：作用在质点上的惯性力与粘性力的比值。 证明： Fma

FL3VsL2V2duTAdy(1)duVTAL2LV(2)dyLFL2V2LV(3) TLV

式中 L 为特征长度，对于圆管，L＝d 。

3、单位：无量纲数

6.2圆管层流分析

当 Re ≤ 2000时，为层流：常发生在粘度较高或速度较低的情况下。 主要内容：

流速分布 流量计算公式 切应力分布规律 沿程水头损失的计算

一、流速分布

由实际不可压流体的运动微分方程求出。 Navier—Stokes方程：

1p2ux2ux2uxduxX222dtxxyz

2uy2uy2uyduy1pY222yyzxdt

1p2uz2uz2uzduzZ222zxyzdt

以下根据圆管层流的运动特点对N－S方程进行简化 （1）. 液流沿水平等径管运动：ux＝u，uy＝uz＝0 （2）. 水平运动且为稳定流：X＝Y＝0，Z＝－g

uxuyuz0xyzC（3）. ： 2uxux002x， x （4）. 对于稳定流动

ux0t

uyt0

uz0t duxuxuuuuxxuyxuzx0dttxyz

duy同理： dtduz0dt

则 Navier—Stokes方程变成：

1p2ux2ux220xyz （1）

1p0y （2）

1p0z （3）

g以下由（1）式推导速度分布公式。 因为ux＝ u，所以

2u2up22xzy （4）

对于等径管，压强沿轴向变化率为定值，而（4）式中等号左边只与x有关，右边只与

py和z有关，故x应为定值！则

pp2p1p1p2pxLLL （5）

由于管道的对称性，ux（y，z）＝ux（r），因此，引进圆柱坐标（二维）

2u2u2u1u12uy2z2r2rrr22 （6）

2uu002由于对称， ， 即uur

2u1up2Lrrr （7） 则（4）式变成：

所以

p1ddurLrdrdr （8）

r积分（8）式：

dup2rC1dr2L （9）

u所以

p2rC1lnrC24L （10）

代入边界条件：r＝0，u 必须有极限值 r＝R，u＝0

则：

C10,C2p2R4L （11）

u所以

二、最大流速

p22Rr4L （12）

r0,三、流量

p2pD2umR4L16L （13）

dQu2rdrQdQ四、平均流速

R0p1p2R4pD4p22Rr2rdr4L8l128l （14）

QpD2umaxVA32l2 （15）

五、切应力

pdududuu2u1牛顿内摩擦定律：02Lrdydrdrr2r1 （16）

当 r＝R 时，τ＝τ0

0pR2L （17）

rR （18） 则 0

结论：有效断面上，切应力随 r 成线性关系。 六、水头损失

对于水平等径管

hfp

pD2p32lVV232lD又

32lV32LV22hf2DDD2gV 则

p结论：层流状态，水头损失与速度呈线性关系。

64LV2LV2hfReD2gD2g ——达西公式 所以

64其中

Re为层流沿程水力摩阻系数。说明：结论与管路的放置位置无关。

第六节 紊流理论分析

一、紊流的产生

由于粘性的存在，限制了流体质点的扰动，从而在一定雷诺数限度内能维持层流状态。 1. 粘滞性对漩涡的产生、存在和发展具有决定性的作用。惯性力（升力）使涡体脱离本层，粘滞力阻止涡体运动。因此，当Re较小时，粘滞力起主要作用，涡体不能发展运动（上移）；当Re很大时，粘性力起次要作用，惯性力占主导地位，漩涡随时间的进程而增强，发展成为紊流。

2. 两层流体有速度差别亦是造成不稳定的主要原因。

3. 在剪切流动中，横向压力梯度的存在导致漩涡的产生。

二、紊流的基本特征和研究方法 1. 紊流的特征——紊流的随机性

紊流状况下，流体质点运动非常紊乱，其运动速度的大小和方向随时改变。表现为各点速度和压力的脉动现象——紊流的随机性。

2. 紊流流动的基本性质

（1）. 紊流能量的输运性。紊流动量输运表现为紊流的粘性；紊流内能输运表现为紊流的热传导。

（2）. 紊流流动的耗散性（能量损失）。它有两项，平均粘性耗散项；脉动耗散项。 （3）. 紊流流动的有旋性。紊流流场中的输运是通过漩涡来传递的。从理论上讲，没有旋涡就不能维持紊流。

3、研究方法——统计平均方法

虽然在某一瞬时，紊流运动仍然服从N—S方程，但由于紊流的随机性，求解N－S方程是困难的。

实验证明，虽然紊流具有随机性，但是，在条件相同时，进行无数次实验，其运动参数的算术平均值还是趋于一致，即，虽然个别的实验结果无规律性，但大量实验结果的算术平均值具有一定的规律性。所以，只有大量实验的统计平均才能给出具有决定性的结果。因此，统计方法在紊流问题的研究中具有重要的意义。

在紊流理论中，有三种统计平均方法：时均法，体均法，统计平均法

（1）时均法 ——在紊流流场中某一固定点上，于不同时刻测量该处的速度。

图中两条曲线为两次实验结果，由图，每次实验的速度变化都极不规则，在相当长的时段内的平均却是相同的。

 定义：

t1uTt0Tt0ux,y,z,tdt

tu——随机速度用时均法算出的平均值

T ——理论上应为无穷大时段

ux,y,z,t——随机速度（真实速度）

 时均法的适用范围：

只能用来描述对时均值而言的定常流动。  应用时均法的条件：

t

（2）. 体均法

t u与 t0 及 T（只要足够长）无关，即u不再是时间的函数——稳定紊流。

湍流的随机性不仅表现在时间上，在空间分布上也具有随机性。

若在管流轴线 L 段上同时测量各点轴向速度分布。在不同时刻可以测到不同的速度分布，但在 L 内求速度的平均值，则任意两次试验的平均值相同。

 一维体均法的定义：

(x)1x0Lu(,t)duLx0

(x)u——沿x轴向L段上的平均速度

L ——足够长的距离

u(,t)——在相同条件下，任一次实验的速度分布

适用范围：积分与x0、L无关  空间体均法定义：

(V)1uiVu(,,,t)dddiV

(V)ui ——(x，y，z)点处的体均值

V ——包含某空间点（x，y，z）在内的足够大的体积

ui(,,,t)——在相同条件下，任一次实验的速度分布

适用范围：均匀的紊流流场。

（3）. 统计平均法

因为时均法适用于定常流场，体均法适用于均匀流场，而对于一般不定常非均匀流场只有采用统计平均法。

将重复多次的试验结果作算术平均。

(p)1uix,y,z,tlimNNux,y,z,tiK1N(K)

(p)uix,y,z,t——用概率平均法算得的平均值

N ——重复次数

(K)uix,y,z,t——第k次实验的流场分布函数

三、脉动值与平均值的性质 1. 平均值的平均仍为原平均值。

1VNVKK1N1NVVN

2. 瞬时量之和的平均等于各量平均值之和。

ABAB

3. 脉动值的平均值等于零。

VVVVVVVV0

4. 脉动值与任一平均值乘积的平均等于零。

VV0

5. 两瞬时量积的平均等于两瞬时量平均的积加上脉动量积的平均。

ABABAB

证明：

1ABN1ABNK1N1AABBNK1NABABABABABABK1N6. 紊流值的各阶导数的平均值等于平均值的各阶导数。

AA2A2A;2;2tttt

A1tN证明：Ai1N1AitNttK1K1NNAAiK1t

N7. 脉动量的各阶导数的平均值等于零

A2A0;0;2tt

四、稳定紊流基本方程

1. 紊流连续性方程（时均、瞬时流动）

uxuyuz0xyzuuuxyz0xyz2. 紊流时均流动运动方程

divu0 divu0 由N－S方程：

Xiuxiuxiuxiuxi1p2uxiuxuyuzxitxyz

对N－S方程取时均，整理可得。 以x方向为例 （1）. 等号左边：

1t0T11XdtTt0T1Tt0Tt0p1dtxTt0Tt02uxdtX1p2uxx

（2）. 等号右边第一项：

t0Tt0uxudtxtt

等号右边后三项：

uxuyuxuuuuuyxuzxuxuxuxxuxuyuxuzuxuxzxyzxxyyzzuxuxuyuxuzuxxyzuxuuuyxuzxuxuxuyuxuzuxxyzxyz2uxuxuuuuuuzuxuxyxyxzuxxyz

所以

ux则

X整理可得：

u1p22uxxuxuxuuuuuuzuxuxyxyxzuxxxxyzX同理：

uxpuxux2uuuuuxyxzxyxxxyzz

uxuxuxuyuxuzuxtxyzYuypuyuy2uuuuuxyyzyyxxyyzzuxuyuyuzuzuyxyz

uytZuzpuzuz2uuuuuxzyzzzxxxzyy

uzuxuzuyuzuzuztxyz——雷诺方程

与N－S方程相比，它多了以下六项：

222u,u,uxyz 由于脉动而产生的附加法向应力：

由于脉动而产生的切向应力：uxuy,统称为：雷诺应力

四、紊流切应力与附加切应力

uyuz,uzux

1、附加切应力——雷诺应力，产生的原因

流体质点混杂，产生动量交换和能量消耗，从而引起附加阻力。 2、简单平行流动附加切应力 Ox 轴取在物面上，时均流速为ux 则有：uxuxy,uyuz0 现在考虑面 y＝yi 上的雷诺应力

附uxuy,ux,uy异号 据质量守恒，ua1ub10u,u异号xyxy

3、紊流中总的摩擦应力τ

对于简单平行流动（如水平圆管），总的摩擦应力应等于粘性摩擦应力与附加切应力之和。

duuxuydy du，不计dy 其中粘性摩擦应力是由流体的分子运动造成。

当Re，

五、混合长度假说

由于紊流运动的复杂性，不能从理论上精确的确定附加切应力。人们只是在一些比较合乎实际的假设的基础上，着手解决这一问题，其中普朗特提出的方法较为明了，应用也最多。 1、假设的指导思想

把附加切应力项uxuy中的脉动速度转换成以时均速度表达的形式，使之易于求解。

 因在定常层流直线运动中，由分子动量输送引起的粘性切应力为

xydudy。

与此对应，在紊流的平均流动的流线为平行直线时，认为脉动引起的附加切应力可表示成：

附i其中μi为紊流粘性系数。 2、混合长度

dudy

当流体质点在y方向脉动，由一层跳入另一层时，要经过一段不与其它任何流体质点相碰的距离l，以自己原来的动量和新位置周围的质点相混，完成动量交换。流体质点从一层跳入另一层所经过的这一段距离 l 称为混合长度，它是流体质点在横向混杂运动中，其自由行程的平均值。

3、Prandtl混合长度假说

（1）. 流体质点的纵向脉动速度ux近似等于两层流体的时均速度之差。

uxl（2）. 横向脉动速度

duxdy uy和纵向脉动速度ux成比例。

uyCuxClduxdy

如图c，展示两个流体质点同时从y＋l，y－l层脉动到y层上，此时，质点1的时均速

duxuxdyl1，而质点2的时均速度比y层快 度比y层慢

如图a，若2质点在1质点之前，则它们将以相对速度

duxdyl2。

ux1ux2 分开，

就引起y层两侧流体质点脉动到y层上以填补1、2两质点分开后留下的空隙。

如图b，若 2 质点在 1 质点之后，两质点将以相对速度近，这就将排挤 y 层上流体质点向 y 层两侧运动。因此，

ux1ux2 靠

uy与ux有关，且量级相同，即

uyux

（3）. l∝y，即l 正比于距离壁面的距离。

2附uxuy紊流运动粘性系数

1Tt0t0T2duxuudtClxydydux2duxduxClidydydy 2dux注：uuClxydy 2duxduduxduxxCl2idydydydy 而：

六、速度分布 1、概念：

（1）.层流边层：当流动是紊流状态时，在贴近管壁的地方仍有一层流体底层δ层。

2层30d,为水力摩阻系数Re

（2）. 水力光滑：当δ层>绝对粗糙度Δ时， Δ对流动阻力影响不计，称为水力光滑。 （3）. 水力粗糙：当δ层< Δ时， Δ对流动阻力有很大影响，称为水力粗糙。

2、速度分布

duxduxCl2dydy （1） 因为

据Prandtl假设，令l＝ky，c＝1，考虑壁面附近流动的不同情况分别讨论如下。

（1）. 光滑壁面附近完全发展湍流速度场

据壁面附近流动情况分成三个区域研究：近壁层流底层区、过渡区、紊流核心区

2

由实验知，ai＝5，ae＝30，其中y*称作摩擦长度。

y*u* u*0切应力速度：

 ya、近壁层流底层区速度分布（y*5）

由于在层流边层内雷诺应力远小于粘性摩擦力，则（1）式变成：

dux0dy dux001dyu21* u2xuxyuy*u* uxuy层流底层速度分布： *y* yb、紊流核心区速度分布（y*30）

忽略粘性项，则（1）式变成

222dux22dux0ldyKydy dux1uuxKlnyC所以 dyKy* , u* 令CC1Klnyy* ux1y紊流核心区速度分布公式：u*Klny*C 2）

（3） 4）

（5）（6）

（7）（8）

（ （

K、C由实验定，1932年，尼古拉兹作了大量精确实验得出在30 < yy<1000范围内，

*12.4,KC5.8 uxy2.4ln*5.8y故（8）式写成： u* （9） uxy5ln5.5**3uyyy10当时， * （10）

c、过渡区（5yy*30）

牛顿应力与雷诺应力量级相同，分析困难。尼古拉兹由试验得到经验公式：

uxy5ln*3.05u*y （11）

（2）. 粗糙壁面附近完全发展紊流速度分布 由完全发展紊流核心区的速度结果式（8）

ux111u1u111y1ulnyClnyCln*ln*lnlnlnln*CKKKKKKKu*K （12）

尼古拉兹得出： （ⅰ）. 4y*12.5,时，KC5.5 uxyuy2.5ln2.5ln*5.52.5ln*5.5u*y （13）

——与Δ无关 （ⅱ）. 60y*时，

12.5,KC8.51ln*Ky uxy2.5ln8.5u* （14）

（3）. 对于圆管，Re↑，u ~→V

Re105,V0.82umax Re106,Re108,V0.86umax V0.90umax 对于圆管进行计算时，可令 y＝r0－r，代入公式（9）、（10）、（11）、（13）、（14）进行计算。

七、圆管紊流速度分布近似指数表达式

yuumr0 实验证明：

um——轴心处最大流速； y——坐标值； ro——半径； n——指数 对于水力光滑管：

n11Re105,n;105Re4105,n78 对于水力粗糙管：

第七节 圆管紊流沿程水力摩阻的实验分析

一、圆管沿程水头损失计算通式

由于紊流运动的复杂性，水力摩阻系数的计算无精确公式，它的计算一般借助于经验公式。

公式推导方法：

（1）找出影响水力摩阻的各种因素 （2）利用因次分析方法找出其函数关系式 （3）实验处理 （4）导出公式 1. 影响能耗因素

ΔP d ρ µ V L Δ n110 ML-1T-2 L ML-3 ML-1T-1 LT-1 L L 2. 选基本物理量：ρ、V、d 3. 组成4个π项

1PxVydz1112xVydz2244423LxVydz3334xVydz

4. 据因次齐次性求各π项

15.

PL,,,V22Vd3d4d LPfVd,d,dV2V2hfPLfVd,d,dPLV2hf2fRe,,dd2g 实验证明： hf ∝ L/D 则

LV2hf2fRe,dd2g令

2fRe,d LV2hfd2g ——达西公式 则

——沿程水头损失计算公式

二、计算沿程水力摩阻系数λ的经验公式

1、确定2fRe,d的实验方法

因为λ与Re和Δ/D有关，所以实验分2步：

（1） （2）

选定一个管子后， Δ/D定，然后做λ~f1（Re）关系曲线； 一个管子定完后，另选一个不同粗糙度的管子重复以上实验。

对于水平管：

LV2hfd2g phfd2gLV2pd2gLV2 ReVd 于是可得如图曲线λ~Re关系

改变Δ，作多条λ~Re关系曲线，即得莫迪图。 2、曲线分析

ab段：六线重合，λ值与相对粗糙度无关。

在层流区Re ≤2000，fRe64Re bc段：层流向紊流过渡区， λ变化规律不明显。

cd段：接近直线， λ与相对粗糙度无关，且直线斜率为(－1/4)，即λ与Re0.25成反比，称为水力光滑区。

一般Re≤ 105时，0.3164Re0.25 1 Re>10时，5

2lgRe0.8 f g 左方：混合摩擦区。

因λ与Re和Δ/d都有关，判断公式

59.7871Re665765lgr ， 6.81.111.8lgRe3.7d （4） ——伊萨耶夫公式

f g 右方：水力粗糙区。因λ与Re无关，而只和Δ/d有关，判断公式：

Re665765lg 13.7d2lg23、公式适用范围得确定：图解法 P117 图4－25 4、λ值图解法——伊萨耶夫算图

三、实用经验公式： P119

四、非圆管的水力摩阻计算 方法：把非圆管等效成圆管来计算 原则：水力半径相等，阻力相同

Rd当4d当＝4RVd当所以

Rehf （5） ——尼古拉兹公式

d当为当量直径） （ 第八节 局部水头损失

一、局部阻力产生的原因

1、液流速度重新分布，产生能耗； 2、产生旋涡，粘性力做功产生能耗； 3、流体质点混掺，产生动量交换，消耗能量。 二、局部水头损失计算公式

V2hj2g 1、

——局部水力摩阻系数

l当V2hjd2g 2、

l当——当量长度

（1） l当 称为当量长度 ：hj相当l当长度等径管产生的沿程水头损失hf 。

＝l当dl当d  （2）的确定方法

hjz1z2p1p2V12V222g

V22g

三、查表说明

hj1、由表4－8查的0是在00.022的情况下测定的，则一般情况下要进行如下转换：

00.022

表4－8适用于紊流计算。

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2、表4－9所查的0值需修正，它与Re有关，修正系数Re

Re0

表4－9适用于层流计算。

四、突然扩大管水头损失的理论分析

已知：Q，A1，V1， A2，V2，γ 求：hj＝？

解：取1－1~2－2断面列方程

hjz1z2p1p2V12V222g （1）

取1－1~2－2为控制体，运用动量方程：

p1A1p2A2p1p2A2QV2V1 （2）

p1p2QV2V1V2V2V1A2gg （3）

把（3）式代入（1）式得到局部水头损失的计算公式

V2V2V1V12V22V2V1hj0g2g2g22

——包达公式

hj2V2V12g222A1V12V1A2V2V2A12g12g1A2g22g12

2

6.3 短管的水力计算

本节学习短管自由出流和 短管淹没出流，短管的水力计算问题包括虹吸管的水力计算、水泵吸水管的水力计算和倒虹吸管的水力计算。

熟练掌握短管的水力计算问题：（1）虹吸管的水力计算，（2）水泵吸水管的水力计算，（3）倒虹吸管的水力计算。 6.4 长管的水力计算

本节学习简单管道、串联管道和并联管道。 熟知串联管道和并联管道的特点和计算公式，熟练掌握简单串联管道和并联

47

管道中阻抗的计算方法。

6.5 管网水力计算基础

本节不做要求。

6.6 有压管道中的水击

分析水击过程产生的原因，研究直接水击、间接水击、水击波的传播速度等计算方法，介绍降低水击压强的技术措施。

了解水击过程产生的原因，能区分直接水击和间接水击的出现条件，了解降低水击压强的技术措施。

【思 考 题】

6-1 水箱侧壁相同高度处，开设孔径相同的孔口和管嘴各一个，比较两者流速和流量的大小。 6-2 图示虹吸管，试问最大真空度出现的位置？ 6-3 图示并联管道。已知：，12，d1d2，3l1l2。试求两管的流量比。 BADCd1 ,Q 1l2 ,d2 ,Q 2l1 ,H思考题图6.2思考题图6.3 【解 题 指 导】 思10—1提示：在满足管嘴正常出流的条件下，管嘴流量大于孔口流量，否则流量相等。 思10—2提示：最大真空度出现在c点。

思10—3提示：根据并联管道公式S1l1Q1S2l2Q2，S大小取决于沿程阻力系数

22和管径d，所以Q1/Q2l2/l1

3。 3 48