人教A版高中数学必修5第二章 数列2.2 等差数列导学案(3)

课时目标

1．理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的通项公式．

1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．

a＋b2．若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，并且A＝. 2

3．若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝a1＋(n－1)d.

4．等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为递增数列；若公差d<0，则数列{an}为递减数列．

一、选择题

1．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为( ) A．2 B．3 C．－2 D．－3 答案 C

2．△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于( ) A．30° B．60° C．90° D．120° 答案 B

*

3．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1(n∈N)，则a101的值为( ) A．49 B．50 C．51 D．52 答案 D

4．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则等于( ) 11A. B. 4212C. D. 33答案C

2x＝a＋b，x3解析 ∴a＝，b＝x.

222b＝x＋2x，

ab

a1∴＝. b3

5．设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( ) A．1 B．2 C．4 D．6 答案 B

解析 设前三项分别为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝12且a(a－d)(a＋d)＝48，解得a＝4且d＝±2，又{an}递增，∴d>0，即d＝2，∴a1＝2.

6．等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是( )

*

A．an＝2n－2 (n∈N)

B．an＝2n＋4 (n∈N)

*

C．an＝－2n＋12 (n∈N)

*

D．an＝－2n＋10 (n∈N) 答案 D

*

a2·a4＝12，

解析 由a2＋a4＝8，

d<0，

a2＝6，

⇒a4＝2，

a1＝8，

⇒d＝－2，

所以an＝a1＋(n－1)d，即an＝8＋(n－1)×(－2)，

得an＝－2n＋10. 二、填空题

11

7．已知a＝，b＝，则a、b的等差中项是

3＋23－2

________________________________________________________________________． 答案 3

8．一个等差数列的前三项为：a,2a－1,3－a.则这个数列的通项公式为________．

1

答案 an＝n＋1

4

5

解析 ∵a＋(3－a)＝2(2a－1)，∴a＝.

4537

∴这个等差数列的前三项依次为，，. 424

151n∴d＝，an＝＋(n－1)×＝＋1.

44449．若m≠n，两个等差数列m、a1、a2、n与m、b1、b2、b3、n的公差为d1和d2，则的值为________． 4答案 3

1

解析 n－m＝3d1，d1＝(n－m)．

31

又n－m＝4d2，d2＝(n－m)．

4

1

n－md134∴＝＝. d213

n－m410．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．

8

答案 3

解析 设an＝－24＋(n－1)d， a9＝－24＋8d≤08由解得：3a10＝－24＋9d>0

d1

d2

三、解答题

11．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数． 解 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题设得 a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26， a－da＋d＝40，

4a＝26，∴22

a－d＝40.

13

a＝，2

解得3

d＝2

13

a＝，2或3

d＝－2.4

所以这四个数为2,5,8,11

或11,8,5,2.

12．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(1)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

4

(1)证明 ∵an＝4－ (n≥2)，

an－1

(n≥2)，令bn＝

1

. an－2

an－1

4*

∴an＋1＝4－ (n∈N)．

an∴bn＋1－bn＝

1111

－＝－＝an＋1－2an－24an－2

2－anan－

－1＝an－2an－2an－1＝. 2

an1*

∴bn＋1－bn＝，n∈N.

2

11

∴{bn}是等差数列，首项为，公差为.

22

111

(2)解 b1＝＝，d＝. a1－222

11n∴bn＝b1＋(n－1)d＝＋(n－1)＝.

222

1n2∴＝，∴an＝2＋. an－22n能力提升

13．一个等差数列的首项为a1＝1，末项an＝41 (n≥3)且公差为整数，那么项数n的取值个数是( )

A．6 B．7 C．8 D．不确定 答案 B

解析 由an＝a1＋(n－1)d，得41＝1＋(n－1)d，

40d＝为整数，且n≥3. n－1

则n＝3,5,6,9,11,21,41共7个．

1an－12an－1＋11*

14．已知数列{an}满足a1＝，且当n>1，n∈N时，有＝，设bn＝，

5an1－2anann∈N*.

(1)求证：数列{bn}为等差数列．

(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由．

an－12an－1＋11－2an2an－1＋1*

(1)证明 当n>1，n∈N时，＝⇔＝ an1－2ananan－1

11111⇔－2＝2＋⇔－＝4⇔bn－bn－1＝4，且b1＝＝5.

anan－1anan－1a1∴{bn}是等差数列，且公差为4，首项为5.

(2)解 由(1)知bn＝b1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1.

11*

∴an＝＝，n∈N.

bn4n＋1

11111∴a1＝，a2＝，∴a1a2＝.令an＝＝，

59454n＋145∴n＝11.

即a1a2＝a11，∴a1a2是数列{an}中的项，是第11项．

1．判断一个数列{an}是否是等差数列，关键是看an＋1－an是否是一个与n无关的常数． 2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．

3．三个数成等差数列可设为：a－d，a，a＋d或a，a＋d，a＋2d；四个数成等差数列可设为：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a，a＋d，a＋2d，a＋3d.