《高等数学(一)》题库及答案

《高等数学（一）》题库及答案

一、求下列函数的定义域

（1）ycosx； （2）yln(x1)。 （1）y

二、用区间表示变量的变化范围：

(1)x6； (2)(x1)1 (3）1x4；

三、求下列极限

(1)lim(x21; 1x1x3x)； x(xh)2x2(2)lim；

h0hn21(3）lim

nn1(4)lim(21); xxx2(5)

limarctanx;

xx(6)lim1cos2x

x02xsinx(n1)(n2)(2n1); 3n6nsin5x;

x0sin2xx1(7）lim(8）lim(9）lim5x4x

x1(10）lim(3n1)； n3

sin(x5)(11）lim；

xsin5x第 1 页 共 10 页

(12）lim

tan3x；

xx四、求下列函数的微分：

（1）yAsin(wt4) （A 、w是常数）； （2）ye

五、求下列函数的导数

(1）yx3x4x5； (2）ysinx； (3)y1ln2x； (4)ylncosx; (5)y(6)y232xcos(3x)

lnx; x1; 12x5(7)y(x7); (8)ye1x； (9)yx； (10)yln(1x)； (11)y(2x5)； (12）yln(lnx)；

六、求下列函数的二阶导数

（1）yln(1x)； （2）yxe。 （3）ysinx；

七、求下列不定积分

(1）22x421.32dx； x2(2）cosxdx； (3）dx； 1x(4)sin3xdx;

第 2 页 共 10 页

(5)

dx4x1;

(6)(2x8)dx; xx2dx； (7）21x(8）

dx12x；

(9）tanxdx； (10）xlnxdx; (11）

八、求下列定积分：

(1）(2）(3)(4)

xdx3x；

01sinxdx.

dx11x2

204sinxdx;

1)dx x1(x2(5）

dxe11x；

(6）(3x2x1)dx

012(7）

31dx； 1x2九、 综合

x2,(1)已知f(x)x,x0,x<0.

6f(x)(x10)(2)设，求f'''(8),

求f(0)及f(0)。又f(0)是否存在？

111第 3 页 共 10 页

(3)求曲线ylnx在点（1，0）处的切线方程， (4)确定函数 y2x8(x0) 的单调区间 xx21(5)设f(x)2, 指出该函数的间断点，并说明这些间断点属于哪一类间断点。

x3x2

《高等数学（一）》作业参考答案

一、求下列函数的定义域

（1）[0，+]； （2）（-1，）。 （3）(,

二、用区间表示变量的变化范围：

（1）,6 （2）0,（3）5,

三、求下列极限

第 4 页 共 10 页

1)(1,)；

2

3

(1）lim(x1x3xx3)lim(11)e3； xxx(xh)2x22xhh2lim(2)lim

h0h0hh =lim(2xh)2x

h0n211(3)limlim121

nnnn111(4）lim(21 )lim2limlimxxxxxxx2x2=2 (5)lim lim1xx, 0, 且arctanx2arctanx0

xx1cos2x2sin2xlim(6)lim

x02xsinxx02xsinxsinx=lim1; x0x(7）lim=; (8)lim(n1)(n2)(2n1)1121lim(1)(1)(2) nnn3nn6n613sin5x5x5lim;

x0sin2xx02x2(9)limx15x4x(5x4)x limx1(x1)(5x4x1x)42

5x4x =lim(10）lim(3nx111)lim3lim3； 33nnnnsin(x5)x5lim51; (11)limx0sin5xx0x(12)limtan3x3xlim3

x0x0xxx0（13）limxsinx1cosxsinx1limlim x0x06xx33x26第 5 页 共 10 页

11222x2x1xx1 （14）lim2limx4xx3x13422xx

四、求下列函数的微分：

（1）dydAsin(wt4) =Adsin(wt4) =Acos(wt4)d(wt4) =Awcos(wt4)dt (2)dyde=e=exxxcos(3x)

x=cos(3x)deexdcos(3x)

cos(3x)dxexsin(3x)dx

sin(3x)cos(3x)dx

2五、求下列函数的导数

(1）y'3x6x4； (2）y'2sinxcosxsin2x； (3）y'12 =(4)y'11ln2x2lnx1x2(1ln2x)'

21lnxlnxx1lnx2

1sinx(cosx)'tanx; cosxcosxlnx'11lnxxxlnxy'(); (5)22xxx(6)y'(=1'1')(12x) 212x(12x)2;

(12x)24(7)y'5(x7);

(8) y'e1x(1x2)'2xe1x; (9)y'1.3x(10)y'1.31221.3x0.3;

12x2； (1x)'1x21x2313(11)y'4(2x5)(2x5)8(2x5) (12)y'

六、求下列函数的二阶导数

第 6 页 共 10 页

11 (lnx)'lnxxlnx

（1）y'11， y''； 2(1x)1x2x（2）y'2xe2x2x2e2x

2y''2e2x4xe2x4xe2x4x2e2x

=2e(14x2x)

（3）y'cosx, y''sinx;

七、求下列不定积分

(1）

dx1x2dx2xc; x1cos2x2dx

(2)cos2xdx=

11xsin2xc; 24dx1xln1xc;

(3)

(4)sin3xdxsin2xdcosx

=(1cos2x)dcosx

=cos2xdcosxdcosx

=cos3xcosxc; (5)

13dx1d(4x1)4x144x1

1ln4x1c; 4 =

(6)(2x8)dx2xdx8x=x8lnxc;

2dxx

x21dx(1)dx (7）221x1x =xarctanxc;

(8)

dx1d(12x)1ln12xc; 12x212x2(9)tanxdxsinxdcosxdxcosxcosxlncosxc;

第 7 页 共 10 页

(10）xlnxdx==

112122lnxdxxlnxxdlnx 222121xlnxxdx 22121xlnxx2c 2425xdx333(11) xdxxc 35x3x43x213x2(x21)1123dxdx(3x)dxxarctanxC （12）222x1x11x八、求下列定积分：

(1）(2）

01sinxdxcosx2;

0dx111x2arctanx1 ()=442。

(3）

20sinxdxsinxdxsinxdx

022 =cosx0cosx4;

(4)

4112312(x)dxx22x26,

3x314(5）

dx2 ln1xe11xe12 =ln1lne1； (6）(3x2x1)dxxxx3

0012321(7）

31dx3arctanx() 11x234 =

e7 12ln3x（8）令 tlnx,则 dx =

x1（9）

14113tdt[t]0 0441492311x(1x)dx(xx)dx[x2x2]945 44326912九、综合

(1)解：f'(0)limx0f(0x)f(0)

x第 8 页 共 10 页

(x)20; =limx0xf'(0)lim=limx0f(0x)f(0)

xx01

x0x由于f'(0)f'(0), 所以f'(0)不存在。

(2)解：f'(x)6(x10), f''(x)30(x10), fx120x10，

354f'''(8)120(810)3960

(3)解：切线斜率 ky'切线方程为

x111 xx1y0k(x1),

即xy10.

8 x2解方程 y'0,得x2

在区间（0，2）上，y'0,

(4)解： y'2在区间（0，2）上，函数单调减小

又在区间上y'0, （2，）在区间2,上函数单调增加

(5)解：

x21(x1)(x1)f(x)2

x3x2(x1)(x2)f(x)有两个间断点：

x11是第一类间断点（可去间断点）； x22是第二类间断点（无穷间断点）。

（6）y'6x26x6x(x1)

解方程 6x(x1)0， 得 x10,x21

f(1)5,f(0)0,f(1)1,f(4)80

 最大值 f(4)80，最小值 f(1)5 十、单项选择题

1、D 2、D 3、C 4、C 5、C 6、C 十一、填空题

第 9 页 共 10 页

1、x(2lnx1) 2、 [,) 3、x 4、3 5、e 6、

231822xxC 5第 10 页 共 10 页