复变函数中的美学思想

复变函数中的美学思想

西安交通大学

钱学森02

杜非

2010045035

摘要：人们感受到的美大多包含返璞归真、和谐统一、逻辑有序、回归自然之美，这种美感更利于人们接受。而复变函数处处蕴涵这种美学思想。本文从复变函数体系的发展、在电路及量子力学的应用两方面来阐述复变函数中的美学思想。

关键词：复变函数、美学

引言：复变函数在工程中应用广泛。学习复变函数后，我对“增根”等问题有了新的认识。任何量，只要是正确解得的，总会有其存在原因。海森堡计算出粒子能量为负值给予我很大启示，又对复变函数高度统一、回归自然之美有了更深的理解。

1. 复变函数的发展

1.1从实函数到复变函数

从古至今，科学家们认为世界是一个有序的、可认识、可理解、可预言的世界。因此，

.

经过从Euclid《几何原本》的数形结合论证几何关系，到Newton、Leibniz等人建立实函数体系求解实际物理问题，实函数的发展已经相当完备。但随着实函数的发展，越来越多的问题开始浮出水面。例如求二次、三次方程的根或者求解微分方程时，经常遇到负数开平方的现象。因此18世纪，通过“D'Alembert—Euler”方程，人们认识到解决“负数开平方”的重要性，即认识“i”。随后，数学家将实数拓宽到复数域，用z=a+bi来表示任意数（复数），得到了比原先实函数更为广泛的“复变函数”。这本身就是一种自然规律的统一之美，使人们在更高的“数学维度”认知、描述自然现象。

1.2 复变函数自然归一之美

1851年，Cauchy 与Riemann随后在流体力学问题中研究了“D'Alembert—Euler”方程，并得到著名的“Cauchy —Riemann”条件，即

， 和 ，

其中，u和v分别取为一个复函数：f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y) 的实部和虚部。

这个方程不仅可以判断一个函数是否可微（即像实函数那样“微分”）还给出了一个复变函数的求导方法，并且在流体力学、静磁学等物理问题中，能很好的描述并解释“场”的规律。因此“Cauchy —Riemann”方程的问世提升了复变函数的应用价值，复变函数可以方便的描述自然现象、是高度统一的，并具有公理化体系。此外，这个条件本身就是高度对称的，也很方便记忆。

复变函数的全面发展实在19世纪。Weierstrass及其学生Leffler、Poincare、Hadamard等人都不同程度上推动了复变函数的发展。他们将大量实函数中的性质推广到

.

复变函数中。数学家补充定义了“无穷”这一重要概念，使复平面上的点都具有意义。但与实函数不同，复变函数始终是抽象的，例如负数之间无法比较大小、无法感知复数的存在等等。通过Euler、Cauchy、Riemann、沃尔斯特拉斯等人的努力，复数与三角函数、幂函数、指数函数、对数函数等初等函数相结合，更好的将抽象的复数融合到人们已知并熟悉的初等函数中，使“数”进一步统一。其中欧拉幅角公式：

其中x为任意实数。

最为重要。欧拉幅角公式将一个复数用实数表示，通过实数的“加工”将其转化为另一个复数，不仅解决了运算问题，还很容易的将实数、三角函数、指数函数结合起来，为Fourier变换、求解微分方程等问题打下坚实的基础。

尤其是欧拉公式的提出，使复变函数拓宽了应用领域，凡是与积分变换、求解微分方程的问题都可用复变函数来解决。

1．3 复变函数描绘自然的意义

经过近两个世纪的发展，复变函数是高度统一的理论框架，同时也是一个最真实“回归自然”本真的数学体系。它以无法感受的虚数“i”为基础，通过复平面表达出任意复数，是描述客观现象必不可少的数学工具。这套工具是简单的，缜密的，便捷的（例如用留数定理解决实函数中一些积分），真正全面的用“数”去认识自然，用复变函数体系来构成有序、可认知可理解的“描绘自然的方法”是和谐统一的，有返璞归真、回归自然之美。

2. 复变函数应用中的美学思想

.

2.1 复变函数在电路应用中的美

2.1.1向量法与复数

将正弦量用只体现其有效值与初相位的复数表示，其模值对应于一个正弦量的有效值（或幅值），角度对应于该正弦量的初相位，称为相量。（常将虚数单位记做“j”。）

相量法是分析正弦稳态电路的方法，它将同频率的正弦量用相量表示，将正弦量的代数运算、微分、积分运算转换为对应的复数代数运算，从而避开对时域函数（正弦函数）的运算，简捷地求解正弦稳态响应。

用相量（复数）来表示正弦波的理论依据是欧拉公式，即

相量代数运算可将复杂周期函数化简为相量在进行运算。例如：

上式表明：

仍是角频率为的正弦量，

对应的相量为为：

通过对和的代数运算，可求得，依写出

的表达式，为

.

因此用相量法并不需要进行复杂的三角函数展开等方法就能求得电路的某些量。这不仅体现了复变函数的广泛应用、包罗万象之美和简明便利之美。还体现了复变函数描述自然现象的客观性、逻辑性。

2.1.2从在电路分析的应用看复变函数的美学思想

2.1.2.1 复变函数在电路时域分析的应用

利用Laplace变换（逆变换），可以通过简单的变换求得电路的时域响应。通常，Laplace变换用于表示和分析连续时间和信号。这种变换比Fourier变换的应用领域更宽，或者说，一定程度上，Fourier变换是Laplace变换的特例。

使用Laplace变换及其逆变换处理单位阶越函数或单位脉冲函数可以直接求得电路时域时域响应。

另外的，用Laplace变换可以对复杂电路微分方程进行化简，对求解微分方程有很大贡献。

2.1.2.2 复变函数在电路频域分析的应用

当激励源信号为非正弦交流信号时，可以用Fourier变换，将激励源“拆分”成按照角频率为 nω（n=0，1，2，……）的正弦信号，再将所需正弦信号叠加，使频域分析更为逻辑化。

由复变函数所推广的每个公式、定理及其应用，都是对于描述客观世界有价值的。

.

Lobachevsky曾说：“人们不依赖世界的事物而试图从理性本身去引出数学的一切原理,对数学是没有用处的,而往往也不会被数学所证实。” 数学的概念、符号、公式并不是“人类理性的自由创造”,而是对客观现实的一种特殊的反映形式。科学(科学实验、理论、公式)之所以美,首先在于它能够把握客观实在,反映自然界的内在和谐。Einstein曾指出：“要是不相信我们的理论构造能够掌握实在,要是不相信我们世界的内在和谐,那就不可能有科学。”

2.2 复变函数在量子物理中的美学思想

2.2.1 复变函数及量子化时空观

量子物理描述的是一类观察测量会改变事物本来的故事。要对这一类“软物质”进行刻画，我们不能用传统的量，而必须用一种奇奇怪怪的东西来刻画：波函数，即

u(x,y,z,t)=a(x,y,z,t)+i b(x,y,z,t)

也就是说它是一个关于时间和空间的函数，同时它还是一个复数。所以波函数又是一个四维空间里面的复数场。可以把波函数理解为一种概率。这样，波函数遵循着与经典概率完全一样的运算法则。总体来说，波函数与经典的概率有很多相似之处，但二者又有本质的不同。（见《费曼物理讲义3》）

换而言之，只有用复数表达的概率才更本质，经典的实数概率论仅仅是复数概率的一个特例。即复变函数在微观世界的描述中尤为重要，更能体现其逻辑有序、和谐自然之美。

2.2.2 i，测量与量子信息

.

所有一切的神秘性都蕴含在了虚数i里面，即i2=-1。因为我们对现实世界的测量过程本身被定义为波函数坍缩的过程。这个坍缩过程本身就仿佛是一盏聚焦的聚光灯，它找到了哪里，哪里的波函数就开始从复数态坍塌成一个具体的概率。所以复数a+bi本身就包含了观察者与被观察事物两者的共存体，虚数世界也许可以解释为观察者对事物的影响的世界。坍塌的过程就是由虚转实的过程，也就是观察者得到了具体的观察结果。我们也可以把虚数i解释为未来对现在的投影，这样a+bi就表示了过去和未来对现在共同的作用。而坍塌过程就是指当下，即未来与过去在现在的交汇演变成唯一的真实。

复变函数不仅在量子力学中描绘了一个空间势场，同时还以“i”来表达实数不可能表达的测量坍塌现象。

2.2.3 对i的讨论及其神秘色彩

另外，通过实验表明，确实存在负能量，并因此在强子对撞机中找到了该粒子。因此“i”还应该有其他实际意义，或许因为人们只能意识到4维空间，所以无法测量、感知“i”的真实存在。按照量子力学，“i”的存在意义，是与测量和被测量量信息同时相关的。那么，相对论中，相对论因子 [1-（v/c）^2] 是否可小于0？那么Einstein所说“光速是最快的速度，不能被超越”还是否正确？那么质量为复数是否可能，又有何意义？

至此，复变函数不仅全面的描述了自然现象，表现其返璞归真、和谐统一、逻辑有序、回归自然之美，还添加了一层神秘之美，正有待与我们去发现、揭示。