实际问题与一元一次方程(练习答案)

§ 3.4实际问题与一元一次方程

（知识要点）

一、销售问题

在生活中，人们购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、原价（标价）、售价、打折等概念，在了解这些概念后，还必须熟悉销售问题中的两个基本关系式：

① 利润＝售价－进价； ② 利润率＝

利润×100%. 进价在①式中若等式左边的“利润”为正，就是盈利；若为负，就是亏损；由①和②式可以得到：利润＝售价－进价＝利润率×进价。

【例1】 某商店将某种服装按进价提高30%作为标价，又以九折优惠卖出，结果仍可获利17元，则这种服装每件进价是多少元？

分析：此题要用的等量关系是：利润＝售价－进价，如果把进价设为x元，则标价为(1＋30%)x，打九折后售价为0.9×(1＋30%)x，再减去进价x元得到的就是利润17元。

解：设这种服装每件的进价为x元，依题意列方程为： 0.9×(1＋30%)x－x＝17 解得x＝100

答：这种服装的进价是100元。

练习：某商店对一种商品进行调价，按原价的八折出售，打折后利润率是20%，已知商品的原价是63元，求该商品的进价？

二、行程问题

1、相遇问题：主要是指两车（戓人）从两地同时相向而行。其基本等量关系为两车（戓人）所行的路程这和恰好等于两地的距离；两车（或人）人开始行驶到相遇所用的时间相等。

2、追赶问题：主要是指甲、乙同向而行，快者追慢者称为追赶问题。 ① 基本公式：速度差×追赶时间＝被追赶的路程；

② 对于同向同地不同时出发的问题有相等关系:追赶者行进路程＝被追赶者行进路程； ③ 对于同时同向不同地出发的问题有等量关系：追赶者的行驶时间＝被追赶者的行驶时

间。

3、航行问题：基本公式：顺水速度＝静水速度＋水速，逆水速度＝静水速度－水速 顺风速度＝无风速度＋风速，逆风速度＝无风速度－风速 符号公式：v

＝v静水＋v水 v顺风＝v无风＋v风 v逆水＝v静水－v水 v逆风＝v无风－v风

顺水

4、行程问题一般都能通过画线段示意图来分析，通过线段示意图，等量关系就能直观地显示出

.

.

来，进而用方程表示出来。

【例2】某中学组织学生到校外参加义务植树活动，一部分学生先骑自行车先走，速度为9km/h，40min后其余学生乘汽车出发，速度为45km/h，结果他们同时到达目的地，则目的地距学校有多少km？

分析：题目中的等量关系为：汽车行程＝自行车行程；骑自行车的时间－乘汽车时间＝40min。

解：（方法一）设目的地距学校有x千米，则骑自行车的所用的时间为x/9小时，乘汽车所用的时间为x/45 h。依据题意列方程为：

xx40－＝ 94560解得 x＝7.5

所以目的地距学校7.5km。

（方法二）设汽车行驶了x小时，则汽车x小时的行程＝自行车40分钟的行程＋x小时的行程。如图所示：

依题意列方程为： 汽车x小时的行程

45x＝9（x＋解得 x＝

40） 60自行车40分钟的自行车x小时的行程 行程

1 61所以45×＝7.5

6即目的地距学校7.5千米。

练习：1、A、B两地相距100千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地相向而行，甲的速度为23千米/时，乙的速度为21千米/时，甲骑了1小时后乙从B地出发，问甲出发后经过几小时与乙相遇？

2、一辆汽车以每小时40千米的速度由甲地驶向乙地，车行了3小时后，因遇雨，平均速度被迫每小时减少10千米，结果到乙地比预计的时间晚了45分钟，求甲、乙两地的距离。

.

.

三、工程问题

我们在解决工程类问题应用题时，常常把工作总量看成“1”。工作量、工作时间、工作人数、工作效率之间的关系为：工作量＝工作效率×工作时间×工作人数。

【例3】 一项工作，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，丙单独做24天完成，现甲、乙合做3天后，甲因事离去，由乙、丙合做，则乙、丙还要几天才能完成这项工作？

分析：题中的等量关系为：全部工作量＝甲、乙合做3天的工作量＋乙、丙合做的工作量。 解：设乙、丙还要x天才能完成这项工作，根据题意列方程为： 1111×3＋x1

1224812解得x3.

答：乙、丙还要3天才能完成这项工作。

练习：某工程，甲队单独做12天完成，乙队单独做3天完成，甲队做苦干天后，因另有任

务被调走，余下的由乙队完成，从甲队开始做到乙队完成任务共用6天，求甲队做的天数。

四、储蓄问题

存入银行的钱叫做本金；银行付出的酬金叫做利息；存入银行的时间叫做期数；每个期数内的利息与本金的比叫做利率，每个期数内，利息＝本金×利率。本金与利息和叫做本息和，本息和＝本金＋利息。

【例4】 某银行一年定期储蓄的年利率为2.25%，小明的奶奶当时按一年定期存入一笔钱，一年到期后取出本金及利息共1022.5元，则小明的奶奶存入银行的钱为多少元？

分析：题中利用的等量关系：本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率，可求得本金。 解：设小明的奶奶存入银行的钱为x元，根据题意列方程为：

x2.2500x1022.5 解得x1000.

答：小明的奶奶存入银行的钱为1000元。

练习：小红的父亲前年存入了一种年利率为2.43%的两年储蓄，今年到期后，所得利息正好给小红买了一个价格为121.5元的计算器，那么小红的父亲前年存入了多少钱？

.

.

五、调配问题

调配问题是指从甲处调一些人（或物）到乙处，使之符合一定的数量关系；或者从第三方调入一些人（或物）到甲、乙两处，使之符合一定的数量关系。其基本关系为：甲处人（或物）数＋乙处人（或物）数＝总人（或物）。

【例5】 某厂甲车间有工人32人，乙车间有62人，现从厂外招聘工人98名分配到两车间，问应该如何分配才能使乙车间人数是甲车间人数的3倍。

分析：设分配x人到甲车间，则分配（98－x）人到乙车间，甲车间分配后人数为（32+x）人，乙车间分配后人数为（62＋98－x）人。等量关系是：乙车间人数＝3×甲车间人数。

解：设分配x人到甲车间，则分到乙车间的人数为（98－x），依题意列方程为： 62＋98－x＝3(32＋x)

解得 x16

则分到乙车间的人数为：98－16＝82（人）. 答：应分配16人到甲车间，82人到乙车间。

练习：如图，天平的A、B盘内分别有51克、45克盐，则应该从A盘内拿出多少克盐放到B盘内，才能使天平平衡？

45 g B 51

A g

六、数字问题

数字问题是指已知一个数各位上的数字之间的关系，要求写出这个数，解这类问题一般要设间接未知数，如a、b分别是一个数的个位和十位上的数字，则这个两位数可以表示为10b＋a.

【例6】 一个两位数，十位上的数比个位上的数小1，十位与个位上的数学之和是这个两位数的1/5，求这个两位数。

分析：题中已知的等量关系是：十位上的数字＋个位上数字＝1/5×两位数. 解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x＋1），依题意列方程为：

x(x1)110x(x1) 5 解得 x4

个位上的数字这：4＋1＝5 所以这个数两位数是为45.

练习：一个两位，个位上的数字是十位上的数字的2倍，如果把十位与个位上数字对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原两位数。

.

.

七、积分问题

比赛中的积分规则由比赛的规定决定，各类比赛不尽相同，弄清比赛规则是解决问题的先决条件。这类问题基本选题关系为：比赛总场数＝胜场数＋负场数＋平场数。比赛总积分＝胜场积分＋负场积分＋平场积分。

【例7】 足球比赛的积分规则：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分。一支点球队在某个赛季中共比赛14场，现已比赛了8场，输了1场，得17分，请问：

（1）前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？ （2）这支球队打满14场比赛，最高能得多少分？

（3）通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛得分不低于29分就可以达到预期的目标，请你分析一下，在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场才能达到预期目标？

解：本题中的数据较多，要特别注意读题、审题，从中找出等量关系：总积分＝胜场积分＋负场积分＋平场积分.

解：（1）设前8场比赛中，这个球队共胜了x场，则平了（8－1－x）场.根据题意列方程为: 3x＋（8－1－x）＝17. 解得 x＝5

（2）打满14场比赛最高得分为：17＋3（14－8）＝35（分）

（3）由题意知，以后的6场比赛中，只要得分不低于12分即可达到预期目标。所以当胜场不少于4场时得分大于17＋3×4＝29分，一定能达到预期目标；而胜3场平3场时得分为：17＋3×3＋3×1＝29分，正好达到预期目标。所以这个球队在以后的6场比赛中至少要胜3场平3场才能达到预期的目标。

练习：某区中小学足球联赛共赛8轮（即每队均需参赛8场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，在这足球联赛中，猛虎队平的场数是负的场数的2倍，且8场比赛共得分17分，则该队共胜多少场？

八、方案设计问题

一般步骤：（1）运用一元一次方程解应用题的方法，求解使设计方案值相等的情况；

（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣后下结论。

【例8】某地上网有两种收费方式，用户可以任选其一：A 计时制：1元/小时，B 包月制：80元/月，此外，每一种上网方式都加收通讯费0.1元/小时。

（1） 某用户每月上网40小时，选用哪种上网方式比较合算？

（2） 某用户每月有100元钱用于上网，选用哪种上网方式比较合算? （3） 请你为用户设计一个方案，使用户能合理地选择上网方式.

.

.

分析: （1）分别计算出两种上网方式上网40小时的消费额，进行比较即可知道； (2) 分别计算出两种方式下的上网时间进行比较；

（3） 设每月上网m小时,两种上网方式的消费额相等,再进行分析.

解: （1）用户上网40小时,选择A种上网方式应支付网费40×1＋40×0.1＝44元（元），选择B种上网方式应支付网费80＋40×0.1＝84（元），所以选用A种方式比较合算；

（2）设用户选择A方式100元可上网x小时，选择B方式可上网y小时，依题意，得 （1＋0.1）x＝100 80＋0.1y＝100 解得 x ≈ 91 y＝200 即用户选择A方式100元可上网91小时，选择B方式可上网200小时，所以选用B种方式

合算.

（3）设每月上网m小时两种上网方式的消费额相等，依题意列方程为：

(10.1)m800.1m

解得 m80

所以当每月上网不足80小时时，先用A方式上网比较合算；当每月上网80小时时，两种方式的消费额相等；当每月上网超过80小时时，选用B方式比较合算.

练习：某校长暑假将带该校市“三好生”去参加旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”.乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票的6折优惠”.若全票为240元.

（1）当学生是多少时，两家费用一样?

（2）当学生是多少时，选甲旅行社合算？当学生是多少时，选乙旅行社合算？

九、等积问题

等积问题是指物体的形状改变了，但体积不变，根据体积相等列方程求解.其等量关系为：形状改变前的体积＝形状改变后的体积. 【例9】 要锻造一个直径为100cm，高为80cm的圆柱毛坯，应截取直径为160cm的圆钢多长？

分析：在锻造过程中，圆钢的形状发生变化，但体积理不变的量，形状变化前后体积相等。 解：设应截取直径为160cm的圆钢h cm，根据题意列方程为：

160100h80 22解得 h31.25

答：应截取直径为160cm的圆钢31.25cm.

22 .