2020-2021学年江西省赣州市高二上学期期末考试数学(理)试题 word版

赣州市2020~2021学年度第一学期期未考试

高二数学（理科）试题

2021年1月

（考试时间120分钟，试卷满分150分）

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上．

1．已知命题

p:对任意x1，有xlnxx1成立，则p为（ ）

A．存在x01，使x0lnx0x01成立 B．存在x01，使x0lnx0x01成立 C．对任意x01，有x0lnx0x01成立 D．对任意x01，有x0lnx0x01成立

x2y221的右焦点为(2,0)，则m（ ） 2．已知椭圆

16mA．23 B．25 C．23 D．25 3．若l,m是两条不同的直线，m垂直于平面，则“lm”是“l//”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸的小正方形的边长是1，则该几何体的体积为（ ）

A．64 B．32 C．16 D．

64 35．如图是计算111351的值的一个程序框图，其中判断框内应填的是（ ） 19 1

A．i10 B．i10 C．i10 D．i10

6．正方形ABCD的边长为2，以A为起点作射线交边BC于点E，则BE23的概率是（ ） 3A．3321 B． C． D．1 3333x2y2x2y27．已知ab0，椭圆C1的方程为221，双曲线C2的方程为221,C1与C2的离心率之积

abab为

3，则C2的渐近线方程为（ ） 221x B．y2x C．yx D．y2x 22222A．y8．以BC为斜边的RtABC中，BCABAC，由类比推理，在三棱锥PABC中，若PA,PB,PC两两垂直，PAa,PBb,PCc,S22BPCs1,S22CPAs2,SAPBs3，则SABC（ ）

222222A．abbcac B．s1s2s2s3s3s1 222C．abc D．s1s2s3

222229．围屋始建于唐宋，兴盛于明清．围屋结合了中原古朴遗风以及南方文化的地域特色，是中国五大民居特色建筑之一在形式上主要有方形围屋、半圆形围屋、圆形围屋，如图所示是墙体厚度为1m的圆形围屋（主要用泥土建筑而成，大部分是客家民居，又称客家土围楼），从地面测量内环直径是16m，外环直径是30m，墙体高10m，则该围屋所有房间的室内总体积（斜屋顶不计入室内体积及忽略房间之间的墙体厚度与楼板厚度）大约是（ ）

2

A．1610m B．1440m C．1320m D．1150m 10．已知定圆C1:(x3)y1,223333C2:(x3)2y249，定点M(2,1)，动圆C满足与C1外切且与C2内切，则|CM|CC1的最大值为（ ）

A．82 B．82 C．162 D．162 11．如图，已知校长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点G是B1C的中点，点H,E分别为GD,C1D的中点，GD平面,HE平面，A1C1D与平面相交于一条线段，则该线段的长度是（ ）

A．14111411 B． C． D． 442222212．设直线l与圆(x2)y3相切于N，与抛物线y2px(p0)交于A,B两点，且N是线段AB的中点，若直线l有且积有4条，则

p的取值范围是（ ）

A．(1,3) B．(1,3) C．(0,3) D．(0,3)

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上．

13．已知抛物线y2x，则其准线方程为____________． 14．下面是两个变量的一组数据：

2x 1 1 2 3 9 4 16 5 25 6 36 7 49 8 64 y 这两个变量之间的线性回归方程为y159x，变量y中缺失的数据是___________． 15．在边长为3的菱形ABCD中，对角线AC3，将三角形ABC沿AC折起，使得二面角

3

BACD的大小为

，则三棱锥BACD外接球的体积是_________________． 2x2y216．已知双曲线C:221(a0,b0)右支上一点P,F1,F2分别为其左右焦点，圆M是PF1F2内切

abPF1c22，圆，且PF1与圆M相切于点A,|PA|（c为半焦距），若则双曲线离心率的取值范围是_____．

2aPF2三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

x2y2x2y21表示双曲线，q:方程1表示焦点在x轴上的椭圆． 已知p:方程

m26mm1m4（1）若“（2）若“

p且q”为真命题，求实数m的取值范围；

p且q”是假命题，“p或q”为真命题，求实数m的取值范围．

18．（本小题满分12分）

1971年，江西省赣州地区信丰县开辟脐橙种植实验基地，1975年11月，出自此基地的脐橙参加赣南农产品大比武大放异彩，1976年广交会上脐橙“一炮打响”，1977年脐橙销往香港市场，1980年中科院考察队认定赣南是得天独厚的柑橘生产地，时至今日赣南脐橙已享誉全球．据市场反馈“腰围”长是25cm~27cm的脐橙最受消费者青睐，某种植户在甲、乙两块地种植脐橙，从两种植地采摘的脐橙中分别随机抽取100颗脐橙（“腰围”长均在21cm~31cm），根据“腰围”长分类画出如下统计图表：

（1）求乙种植地脐橙腰围长的中位数；

（2）从甲种植地样本在23cm~25cm,25cm27cm两段中用分层抽样的方法抽出6颗脐橙，某同学随机的从6颗中拿走2颗，问拿到的2颗都是受消费者青睐的概率是多少？ 19．（本小题满分12分）

4

在三棱锥PABC中，AEBC于点E,CFAB于点F，且AECFO，若点P在平面ABC上的射影为点O．

（1）证明：ACPB；

（2）若ABC是正三角形，点G,H分别为PA,PC的中点． 证明：四边形EFGH是矩形． 20．（本小题满分12分）

已知动圆与直线x1相交于A,B两点，且|AB|23． （1）当动圆过定点(2,0)时，求动圆圆心C的轨迹方程；

（2）过点(1,0)的直线l交（1）中动圆圆心C的轨迹于M,N两点，点P为M,N的中点，过点P垂直于直线l的直线交x轴于点Q，求点Q的横坐标的取值范围． 21．（本小题满分12分）

如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为2，B1BA3．

（1）证明：B1C平面ABC1；

（2）若平面ABB1A1平面ABC,M为A1C1的中点，求二面角CAB1M的余弦值． 22．（本小题满分12分）

5

x2y2已知椭圆C:221的左右顶点分别为A1(2,0),A2(2,0)，椭圆C上不同于A1,A2的任意一点P，直

ab线PA1和PA2的斜率之积为3． 4

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过椭圆内一点M(m,0)(m0)，作一条不垂直于x轴的直线交椭圆于A,B两点，点Q和点B关于x轴对称，直线AQ交x轴于点N(n,0)，证明：mn为定值．

6

赣州市2020~2021学年度第一学期期末考试

高二数学（理科）试题参考答案

一、选择题

题序 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B D C B A D 二、填空题

13．y18； 14．4； 15．556； 16．(1,71)．

三、解答题

17．解：（1）若

p是真命题，则(m1)(m4)0 1分

解得1m4 2

分

而q是真命题，所以m26m0 3分 解得2m6 4分 因为“

p且q”为真命题，所以2m4 6分

（2）当

p真q假时：有1m4m2或m0，即1m2 8分

若

p假q真时：m1或m4，解得4m6 10分2m6

所以1m2或4m6 12分

18．（1）x甲220.1240.2260.4280.15300.1526.1x乙220.1240.2260.3280.3300.126.2 4分

设乙种植地的中位数为x，则(x25)0.150.2x793 （2）由频率分布直方图可知23cm~25cm的脐橙个数为0.210020 抽出

110202个，假设为Q1,Q2 8分 25cm~27cm的脐橙个数0.410040， 9分

9 10 11 D A C 2分

6分 7分 12 A 7

抽出

1404个，假设为C1,C2,C3,C4 10分 10从这6颗中抽出2颗可能产生的结果为：

Q1Q2,Q1C1,Q1C2,Q1C3,Q1C4,Q2C1,Q2C2,Q2C3,Q2C4,C1C2,C1C3,C1C4,C2C3,C2C4,C3C4

共15种．2颗都是受消费者青睐的包括：

C1C2,C1C3,C1C4,C2C3,C2C4,C3C4共6种 11分

所以2颗都受消费者青睐的概率P61525 12分 19．证明：（1）连接BO并延长交AC于点M， 因为AEBC,CFAB，所以O为ABC的垂心 所以BMAC 2分

又因为P在平面ABC的射影为O，所以PO平面ABC 所以POAC 4分

又因为POBMO，所以AC平面PBM 5分 所以ACPB 6分 （2）分别连接EF,EH,GF,GH

因为AEBC,CFAB,ABC为正三角形 所以E,F分别为BC,BA的中点 7分 所以EF//AC 8分

又由（1）ACPB，所以EFPB 9分 因为E,H分别为BC,PC的中点，所以EH平行等于

12PB，又因为F,G分别为AB,PA的中点，所以GF平行等于

12PB所以EH平行等于GF，所以四边形EFGH为平行四边形 又EH//PB,EFPB，所以EHEF，

所以四边形EFGH为矩形 12分

分

3分 10分 11分 8

1

20．解：（1）设C(x,y)，则(x1)23(x2)2y2 2分 即y26x，所以圆心C的轨迹方程为：y26x 4分 （2）设过点(1,0)直线MN:yk(x1)，

联立y26x(x1)，消y得：k2x22k26xk20 6分

yk所以2k2624k40，即k232 7分 设Mx61,y1,Nx2,y2，根据韦达定理得：x1x2k22,x1x21 所以MN的中点P3k21,3k 10分 过点P的垂线为y3k1kx3k21 11分 令y0，则x3k224， 所以点Q的横坐标的取值范围(4,) 12分 21．证明：（1）如图取AB中点D，连接B1D,CD．

因为四边形BCC1B1为菱形，所以B1CBC1 1分 又因为三棱柱的所有棱长均为2，B1BA3，

所以ABC和ABB1是等边三角形，所以B1DAB,CDAB

因为B1D,CD平面B1CD,B1DCDD，

所以AB平面B1CD 3分 所以B1CAB，而BC1ABB， 所以B1C平面ABC1 4分

9分9

（2）因为平面ABB1A1平面ABC，且交线为AB，由（Ⅰ）知B1DAB 5分 所以B1D平面ABC．则DB,为z轴，建立空间直角坐标系． 则D(0,0,0),DB1,DC两两垂直，则以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DB1A(1,0,0),B1(0,0,3),C(0,3,0)，

C1(1,3,3),A1(2,0,3) 6分

33因为M为A1C1的中点，所以M,22,3 7分

所以AC(1,3,0),AB1(1,0,3),13AM,,322，

设平面AB1M的法向量为n1(x,y,z)，

AB1n1x3z0则，取z1，得n1(3,3,1) 8分 13y3z0AMn1x22同理设平面AB1C的法向量为n2x2,y2,z2，

AB1n2x3z0则，取z1，得n2(3,1,1) 9分 ACn2x3y0

10

所以cosnn1n23,3,1)(3,1,1)1,n2n1n(1356565 11分 2所以所求二面角CAB1M的余弦值为

6565 12分 22．解：（1）由题可知：a2 1分 令P(0,b),kPA1kPA2b2434，所以b23 3分 所以椭圆C的标准方程为x24y231 4分 （2）显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为yk(xm)，

联立3x24y212k(xm)，消y得：34k2x28mk2x4k2m2120 6分

y设Axy8mk241,1,Bx2,y2，根据韦达定理得：x1x234k2,xxk2m2121234k2 8分直线AQ:yyy1y21xxx1，

1x2令y0，则nxy1x1x2yxy1x1y1x2x1y1x1y21 9分

1y2y1y24k2m2128mk2yx21x2x1y2kx1mx2kx2m12x1x2mx1x232m2yy4k34k2 12kx1mkx2mx1x22m8mk34k22m24m2k2128m2k2248mk26m8mk26m4m 11分 所以mnm4m4（定值） 12分

11