概率论与数理统计期末总结

第1章

概率论的基本概念

1.1 随机试验

称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行；

（2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件

随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。

：

样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。

随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算

（1）包含关系 AB，即事件A发生，导致事件B发生； （2）相等关系 AB，即AB且BA； （3）和事件（也叫并事件）

:

CAB，即事件A与事件B至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件）

CABAB，即事件A与事件B同时发生； （5）差事件

CABAAB，即事件A发生，同时，事件B不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件）

A、B满足AB，即事件A与事件B不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件）

%

AA，即AA,

1.4 事件的运算律

AA。

（1）交换律 ABBA,ABBA；

（2）结合律 ABCABC,ABCABC； （3）分配律 ABCABAC,ABCABAC； （4）幂等律 AAA,AAA；

（5）差化积 ABAABAB； （6）~

（7）

反演律（也叫德·摩根律）ABABAB,ABABAB。

1.5 概率的公理化定义

设E是随机试验，对于中的每一个事件A，赋予一个实数P（A），为样本空间，称之为A的概率，P（A）满足： （1）0P(A)1； （2）P()1；

，An，两两互不相容，则有 （3）若事件A1，A2，PA1A2AnP(A1)P(A2)P(An)。

1.6 概率的性质 （1）`

（2）

P()0；

，An两两不互相容，则（3）若事件A1，A2，PA1A2AnP(A1)P(A2)P(An)；

（4）P(A)1P(A)； （5）P(BA)P(B)P(AB)。

特别地，若AB，则P(BA)P(B)P(A),P(A)P(B)； （6）P(AB)P(A)P(B)P(AB)。

~

1.7 古典概型 古典概率 设随机试验E满足：

（1）E的样本空间只有有限个样本点； （2）每个样本点的发生是等可能的， 则称此试验为古典概型或等可能概型。 古典概率P(A)A所包含的样本点数。

样本空间中所包含的样本点总数1.8 事件的独立性 伯努利概型

若P(AB)P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。

】

P(AB)P(A)P(B)P(BC)P(B)P(C)若，则称事件A、B、C相互独立。若前三式成立，则称P(AC)P(A)P(C)P(ABC)PAPBPC事件A、B、C两两相互独立。

若事件A与事件B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立。 设随机试验E满足：

（1）在相同条件下可重复进行n次；

（2）每次试验只有两个可能结果，A发生或A不发生，且每次A发生的概率相同；

（3）每次试验是相互独立的，

则称这种试验为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。

n重伯努利试验中A发生k次的概率为

kPn(k)Cnpkqnk(k0,1,2,,n;pq1)，其中P(A)p。

.

1.9 条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 （1）条件概率 P(BA)P(AB)，P(A)0； P(A)（2）乘法公式 P(AB)P(BA)P(A)，P(A)0；

（3）全概率公式 P(A)PAB1P(B1)PAB2P(B2)PABnP(Bn)，其中

P(Bi)0(i1,2,,n)，B1，B2，…，Bn是的一个分割；

（4）贝叶斯公式 P(BiA)P(ABi)P(Bi)P(ABi)（i1,2,,n） nP(A)P(ABi)P(Bi)i1

第2章 随机变量及其分布

2.1 随机变量 分布函数

\\

随机变量X是样本点的实值函数，定义域为样本空间，值域为实数。 分布函数为F(x)P(Xx)，其中x为任意实数。 2.2 分布函数的性质

（1）0F(x)1，且limF(x)0，limF(x)1；

xx（2）F(x)单调不减，即若x1x2，则Fx1Fx2； （3）F(x)右连续，即F(x0)F(x)。 2.3 离散型随机变量

离散型随机变量X的分布律为P(Xxk)pk(k1,2,3,)。也可以用表格表示

… x1 x2 … xn … X p1 P(Xxk) & … pn … p2 也可以用矩阵表示，即

x1X～p1x2xn p2pn分布律的性质

（1）pk0（k1,2,3,）； （2），

（3）

pk1k1。

2.4 几种常见的离散型随机变量的分布

（1）（0-1）分布（也叫两点分布） X～B(1,p)的分布律为

P(Xk)pk(1p)1k(k0,1)，其中0p1为参数。

（2）二项分布 X～B(n,p)的分布律为

kkP(Xk)Cnp(1p)nk(k0,12,,n)，其中0p1为参数。

（3），

（4）

泊松分布 X～P() 或X～()的分布律为

P(Xk)ke(k0,12,)，其中0为参数。

k！2.5 连续型随机变量

连续型随机变量X的分布函数为F(x)P(Xx)f(x)可积，f(x)称为X的概率密度。 f(x)的性质：

xf(t)dt，其中f(x)0且

（1）f(x)0； （2）f(x)dx1；

（3）P(aXb)f(x)dxF(b)F(a)；

ab（4）【

（5）

P(Xa)0(a为常数)；

（6）当f(x)在点x处连续时，f(x)F(x)。 2.6 几种常见的连续型随机变量的分布 （1）均匀分布 X～U(a,b)

1X的概率密度 f(x)ba，axb

0其他0,xaX的分布函数 F(x)xa,axb ba1,xb（2）指数分布 X～E()

X的概率密度 f(x)ex,x0，其中0为常数。 0,x0*

X的分布函数 F(x)1ex,x0 0,x0（3）正态分布 X～N(,2)

X的概率密度 f(x)1x2222e（x）其中，2X的分布函数 F(x)1xt222edt

（4）标准正态分布 X～N(0,1)

X的概率密度 (x)12ex22（）

X的分布函数 (x)1xt222edt

若X～N(,2)，则YX～N(0,1)，且有计算公式

0为常数。

P(aXb)F(b)F(a)(￥

b)(a)。

2.7 随机变量的函数的分布

（1）离散型随机变量的函数的分布

已知X的分布律为P(Xxk)pk(k1,2,3,)，Yg(X)的分布律有以下两种情形：

①当ykg(xk)的值互不相等时，则

P(Yyk)P(Xxk)pk(k1,2,)

②当ykg(xk)的值有相等时，则应把那些相等的值分别合并，同时将它们所对应的概率相加，即得出Yg(X)的分布律。

（2）连续型随机变量的函数的分布

~

已知X的概率密度为fX(x)，且yg(x)有连续的导函数，求Yg(X)的概率密度，通常使用以下两种方法： ①分布函数法：

先求Y的分布函数FY(y)P(Yy)P(g(X)y)可得Y的概率密度fY(y)FY(y)。 ②公式法：

如果yg(x)严格单调，其反函数h(y)有连续的导数，则Yg(X)也是连续型随

fXh(y)h(y),y机变量，且其概率密度为fY(y)

0,其他g(x)yfX(x)dx，再对y求导数，

其中ming(),g，maxg(),g（此时f(x)在x上不为0）；或ming(a),gb，maxg(a),gb（此时f(x)在a,b之外全为0.）

第3章 多维随机变量及其分布

3.1 二维随机变量 联合分布函数

?

设X、Y是两个随机变量，称有序数组X,Y为二维随机变量。

联合分布函数为F(x,y)P(Xx,Yy)，其中x，y为任意实数。 3.2 联合分布函数的性质

（1）0F(x,y)1，且F(,y)F(x,)F(,)0，f(,)1。 （2）F(x,y)对每一个变量单调不减，即对任意固定的y，当x1x2时，

F(x1,y)F(x2,y)；对任意固定的x，当y1y2时，F(x,y1)F(x,y2)。

（3）F(x,y)关于x右连续，关于y也右连续。 （4）对任意的x1x2R，y1y2R，有

F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)F(x1,y1)0。

3.3 边缘分布函数

《

y关于X的边缘分布函数FX(x)F(x,)limF(x,y)； 关于Y的边缘分布函数FY(y)F(,y)limF(x,y)。

x3.4 二维离散型随机变量

（1）二维离散型随机变量X,Y的联合分布律为

P(Xxi,Yyj)pij(i,j1,2,3,)

（2）X,Y关于X的边缘分布律为

P(Xxi)P(Xxi,Yyj)pijpi•（i1,2,）

j1j1 X,Y关于Y的边缘分布律为

P(Yyj)P(Xxi,Yyj)pijp•j（j1,2,）

i1i1

（3）联合分布律pij应满足：

：

①pij0（i,j1,2,）； ②pij1。

i1j13.5 二维连续型随机变量

（1）二维连续型随机变量X,Y的联合分布函数为F(x,y)其中称f(x,y)0为X,Y的联合概率密度函数。

(x)（2）X,Y关于X的边缘概率密度为fX(x)FXxyf(u,v)dudv，

f(x,y)dy；

X,Y关于Y的边缘概率密度为fY(y)FY(y)f(x,y)dx。

（3）联合密度函数f(x,y)的性质： ①f(x,y)0；

—

②f(x,y)dxdy1；

③PX,YDf(x,y)dxdy，其中D为XOY平面上的区域；

D2F(x,y)④当f(x,y)在点x,y处连续时，f(x,y)。

xy3.6 二维随机变量的独立性

随机变量X与Y相互独立F(x,y)FX(x)FY(y)。

离散型随机变量X与Y相互独立PijPi•P•j（i,j1,2,）。 连续型X与Y相互独立f(x,y)fX(x)fY(y)（在连续点处）。 3.7 二维随机变量的函数的分布

\"

二维离散型随机变量的函数的分布 二维连续型随机变量的函数的分布

设连续型随机变量X,Y的联合密度函数f(x,y)，Zg(X,Y)，Z是一维随机变量，Z的分布函数为FZ(z)P(Zz)Pg(X,Y)zg(x,y)zf(x,y)dxdy，

Z的密度函数为fZ(z)ddFZ(z)f(x,y)dxdy。 dzdzg(x,y)z3.8 常用的二维连续型随机变量的函数的分布 （1）ZXY的分布

FZ(z)P(Zz)PXYzzyf(x,y)dxdy f(x,y)dxdyxy)zddfZ(z)FZ(z)f(zy,y)dy或fZ(z)FZ(z)f(x，zx)dx

dzdz^

特别地，当X、Y相互独立时，

fZ(z)fX(zy)fY(y)dyfX(x)fY(zx)dx。

（2）Mmax(X,Y)及Nmin(X,Y)的分布

FM(z)FX(z)FY(z) FN(z)11FX(z)1FY(z)

第4章 随机变量的数字特征

4.1 随机变量X的数学期望

~

离散型 E(X)xkpkk1

连续型 E(X)xf(x)dx

4.2 随机变量函数的数学期望

（1）设Yg(X)是X的函数，其中g(x)为连续函数。 离散型 E(Y)g(xk)pk

k1

连续型 E(Y)g(x)f(x)dx

（2）设Zg(X,Y)是X，Y的函数，其中g(x,y)为连续函数。 离散型 E(Z)g(xi，yj)pij

i1j1】



连续型 E(Z)g(x,y)f(x,y)dxdy

4.3 数学期望的性质

（1）E(C)C，（C为常数） （2）E(CX)CE(X)，（C为常数）

推广：E(aXb)aE(X)b （a、b是常数） （3）E(XY)E(X)E(Y)

推广：E(X1X2Xn)E(X1)E(X2)E(Xn) （4）设X与Y相互独立，则E(XY)E(X)E(Y)

*

推广：若X1，X2，…，Xn相互独立，则E(X1X2Xn)E(X1)E(X2)E(Xn) 4.4 方差 方差的性质

方差 D(X)EXE(X)E(X2)E(X)

22

方差的性质

（1）D(C)0 ，（C为常数） （2）D(CX)C2D(X)，（C为常数）

（3）设X与Y相互独立，则D(XY)D(X)D(Y)

\"

推广：若X1，X2，…，Xn相互独立，则

D(X1X2Xn)D(X1)D(X2)D(Xn)

（4）D(X)0PXE(X)1 （5）D(X)E(XC)2，（C为常数） 4.5 几种常见的随机变量的数学期望和方差

（1）（0-1）分布 X～B(1,p) E(X)p，D(X)p(1p) （2）二项分布 X～B(n,p) E(X)np，D(X)np(1p) （3）泊松分布 X～P() 或X～() E(X)，D(X)

(ba)2ab（4）均匀分布 X～U(a,b) E(X)，D(X)

122（5）;

（6）

指数分布 X～E() E(X)1，D(X)12

（7）正态分布 X～N(,2) E(X)，D(X)2 4.6 协方差 相关系数

X与Y的协方差cov(X,Y)EXE(X)YE(Y)E(XY)E(X)E(Y) X与Y的相关系数XY4.7 协方差的性质 （1）cov(X,Y)cov(Y,X)

（2）cov(aX,bY)abcov(X,Y)，（a、b为常数） （3）…

（4）

cov(X,Y)D(X)D(Y)

cov(XY,Z)cov(X,Z)cov(Y,Z)

（5）cov(a1Xb1,a2Yb2)a1a2cov(X,Y)（a1，a2，b1，b2为常数） （6）D(aXbY)a2D(X)b2D(Y)2abcov(X,Y)， 特别地，D(XY)D(X)D(Y)2cov(X,Y)

（7）设X与Y相互独立，则cov(X,Y)0。 4.8 相关系数的性质

当XY0时，称X与Y不相关。 （1）XY1 （2）、

（3）

XY1YaXb，且XY1,a0

1,a04.9 与不相关的性质

（1）若随机变量X和Y相互独立，则X和Y不相关； （2）X和Y不相关4.10 矩

（1）k阶原点矩kE(Xk)（k1,2,） （2）k阶中心矩BkEXE(X)（k1,2,）

kcov(X,Y)0E(XY)E(X)E(Y)

D(XY)D(X)D(Y)D(XY)D(XY)第6章 数理统计的基本概念

*

6.1 总体 样本

在数理统计中，把研究对象的全体称为总体，而把组成总体的各个元素称为个体。通常为研究总体的某个数量指标而进行随机试验或观察，因此，代表总体的数量指标X是一个随机变量，所以总体的分布是指随机变量X的分布。从总体中按一定规则抽取n个个体的过程称为抽样，抽样的结果称为样本，样本中所含个体的数量n称为样本容量。若样本中的n个个体X1,X2,,Xn相互独立且与总体同分布称为简单随机样本，简称样本。样本X1,X2,,Xn的试验结果x1,x2,,xn称为样本观测值。

设总体X的分布函数为F(x)，则X1,X2,,Xn的联合分布函数为

F(x1,x2,,xn)F(xi)

i1n

若X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，则X1,X2,,Xn的联合概率密度为f(x1,x2,,xn)f(xi)

i1n若X为离散型随机变量，其分布律为P(Xxi)pi，则X1,X2,,Xn的联合分布律为P(X1x1,X2x2,,Xnxn)P(Xixi)pi

i1i1nn6.2 统计量

设X1,X2,,Xn是来自总体X的一个样本，gg(X1,X2,,Xn)是

X1,X2,,Xn的函数，若g中不含任何未知参数，则称gg(X1,X2,,Xn)是

一个统计量。

|

统计量也是一个随机变量。 6.3 常用统计量

1n（1）样本均值 XXi

ni11n2（2）样本方差 SXiXn1i122n12XinX n1i1（3）样本标准差 SS21nXiXn1i12

1nk（4）样本k阶原点矩 AkXi（k1,2,）

ni11n（5）样本k阶中心矩 BkXiXni1k（k1,2,）

（6）顺序统计量 样本中位数 极差

！

第7章 参数估计

7.1 参数估计 点估计

利用统计量去估计总体的未知参数称为参数估计。设X1,X2,,Xn是来自总体

X的样本，x1,x2,,xn是样本的一组观察值。是总体X的未知参数。若用一个统计量X1,X2,,Xn来估计，则称是参数的估计量；而称

^^^X1,X2,,Xn的观察值x1,x2,,xn为参数的估计值。 用X1,X2,,Xn去估计，称为对作点估计。 7.2 矩估计法

{

^^^

所谓矩估计法，是用样本矩（原点矩）去估计相应的总体矩，用样本矩的函数去估计相应总体矩的函数的一种方法。

设总体X的分布形式已知，1,2,,m是总体分布中的未知参数，

X1,X2,,Xn是来自总体X的样本，求1,2,,m的矩估计的步骤如下：

（1）求总体X的前m阶矩

1E(X)11,2,,m22E(X)21,2,,m E(Xm),,,m12mm（2）解（1）中的m个方程得未知参数1,2,,m，即

111,2,,m,,,2212m mm1,2,,m1nk（3）用样本矩AkXi代替相应总体k阶矩k，得到1,2,,m的矩估

ni1

^^11A1,A2,,Am^^计量，即22A1,A2,,Am

^^mmA1,A2,,Am7.3 最大似然估计

\\

设总体X的概率密度为f(x;)（当X为离散型随机变量时为分布律），为待估参数，X1,X2,,Xn时来自总体X的样本，x1,x2,,xn为其一组观测值，称

L()f(xi;)为似然函数。

i1n若当时，似然函数L()达到最大值，则称为的最大似然估计量。 求最大似然估计量的步骤如下：

（1）正确写出总体X的概率密度f(x;)（当X为离散型随机变量时，P(x;)为其分布律），为待估参数，构造似然函数

nf(xi;),当X是连续型随机变量i1L()n

p(x;),当X是离散型随机变量ii1^^（2）对似然函数L()取对数得对数似然函数lnL()； （3）对对数似然函数关于求导并令其为零，得似然方程（4）解似然方程，就可以得到的最大似然估计量。

`

dlnL()0； d

注：若随机变量X的分布函数中含有多个未知参数1,2,,m，这时只需令

dlnL0（i1,2,,m）

di解该似然方程组，就可以得到各未知参数i的最大似然估计量i。 7.4 点估计的评价标准

^

（1）无偏性 设为参数的估计量，若有E()，则称为的无偏估计量。

^^2都是的无偏估计量，若它们的方差满足D1D2，（2）有效性 设1，^^^^^则称1较2有效。

'

^^

~

）

第6、7章复习题

$

1、设(X1,X2,,Xn)是来自总体X～N(,2)的样本，其中已知，2未知，则下列样本函数中不是统计量的是（ ）

n1n1nXi2A.Xi B.maxXi C. D.Xi

1inni1ni1i122、设(X1,X2,,Xn)是来自总体X的样本，X是样本均值，则对任意实数c有（ ）

A.XicXic B.XicXiX2222i1ni1ni1ni1nnnnn2

C.XicXiX2i1i122 D.XicXiX2i1i122

1n3、设总体X～N(,)，和均未知，则XiXni12是（ ）

A.的无偏估计 B.的矩估计 C.2的无偏估计 D.2的矩估计

4、设（4,3,5,5,4,3,4,4）是来自总体X～N(,2)的一个样本的观测值，则的最大似然估计值是（ ）

￥

A.4 B.3 C.4.5 D.5 5、矩估计必然是（ ）

A.无偏估计 B.总体矩的函数 C.样本矩的函数 D.最大似然函数 6、设总体X～N(,2)，(X1,X2,,Xn)是来自总体X的样本，则E(X)= ；D(X)= 。

7、设(X1,X2,,Xn)是来自参数为0的泊松分布的样本，其样本均值、样本方差分别是X，S2，则E(X)= ；D(X)= ；E(S2)= ；样本(X1,X2,,Xn)的联合分布律为 。

08、设总体X服从（0-1）分布，即X～1p1（0p1），(X1,X2,,Xn)pk是来自总体X的样本，则P(X)= （k0,1,2,,n）。

n9、|

10、

×（没有讲）设S2是来自总体X～N(,2)容量为16的样本方差，则

D(S2)= 。

11、总体参数常用的点估计方法是 和 。 12、设一个样本观测值为（0,2,0，2,0,2），则总体均值的矩估计值是 ，总体方差的矩估计值是 。

13、设X～B(m,p)，其中p（0p1）为未知参数。从总体X中随机抽取样本

(X1,X2,,Xn)，样本均值为X，则未知参数p的矩估计量p= 。 (X1,X2,,Xn)是来自总体X的样14、设总体X服从参数为0的泊松分布，

^本，其样本均值，样本方差分别为X，S。如果aX23aS2为的无偏

2^估计量，则a= 。

15、设总体X～N(,4)，(X1,X2,,Xn)是来自总体X的一个样本，X为样本均值，试求样本容量n应取多大，才能使下式成立。

EX20.1

16、设(X1,X2,,Xn)是来自总体X服从（0-1）分布的一个样本，X，

1nB2XiXni12分别为样本均值和样本二阶中心矩，试求E(X)，D(X)，

E(B2)。

17、[

18、

设总体X具有分布律如下表所示：

X p 1 2 21 3 《2 13其中（01）为未知参数。已知取得了样本值x11，x22，x31，试求的矩估计值和最大似然估计值。

1119、设总体X的分布函数为F(x)x0x1x1，其中未知参数1，

(X1,X2,,Xn)是来自总体X的样本。试求：

（1）的矩估计量； （2）的最大似然估计量。

第1、2、3、4章复习题

1、对任意两个事件A和B，P(AB)=（ ） A.P(A)P(B) B.P(A)P(B)P(AB)

%

C.P(A)P(AB) D.P(A)P(B)P(AB) 2、设事件A与事件B互不相容，则（ ）

A.P(AB)0 B.P(AB)P(A)P(B) C.P(A)1P(B) D.P(AB)1 3、设A、B为两事件，且P(B)0，PAB1，则必有（ ） A.P(AB)P(A) B.P(AB)P(B) C.P(AB)P(A) D.P(AB)P(B)

4、设事件A与B相互独立，且P(A)0，P(B)0，不能推出（ ）

A.P(AB)P(A)P(B) B.P(AB)P(A)

(

C.P(BA)P(B) D.P(AB)P(A)P(B)

5、设事件A与事件B满足P(AB)0，则下列说法正确的是（ ） A.A与B互不相容 B.AB是不可能事件 C.P(A)0或P(B)0 D.P(AB)P(A) 6、设事件A与事件B满足条件ABAB，则（ ） A.AB B.AB C.ABA D.ABB

7、设随机变量X与Y相互独立，其分布律如下表所示：

> 0 1 X p 0.5 0.5 Y 0 $ 1 则下列结论正确的是（ ） A.XY B.P(XY)1

C.P(XY)0.5 D.以上完全不正确

p 0.5 0.5 8、设X1～N(0,1)，X2～N(0,1)，YX1X2，则（ ） A.E(Y)0 B.D(Y)2 C.Y～N(0,1) D.Y～N(0,2)

`

9、设随机变量X～N(1,2)，Y～N(1,3)，且X与Y相互独立，则X2Y～（ ） A.N(1,8) B.N(1,14) C.N(1,22) D.N(1,40)

10、某射手向同一目标独立重复射击，每次射击击中目标的概率为p（0p1），则该射手第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（ ） A.3p1p B.6p1p C.3p21p D.6p21p

222211、设随机变量X的分布函数为F(x)，下列结论中不一定成立的是（ ）

A.F()1 B.F()0 C.0F(x)1 D.F(x)为连续函数 12、设二维随机变量X,Y满足E(XY)E(X)E(Y)，则（ ） A.D(XY)D(XY) B.D(XY)D(X)D(Y)

\\

C.X与Y相互独立 D.X与Y不相互独立

13、对任意两个随机变量X和Y，以下选项正确的是（ ） A.D(XY)D(X)D(Y) B.E(XY)E(X)E(Y) C.E(XY)E(X)E(Y) D.D(XY)D(X)D(Y)

14、已知随机变量X的概率密度为fX(x)，令Y2X，则Y的概率密度为（ ）

y1y1yA.2fX(2y) B.fX() C.fX() D.fX()

22222

~

15、设二维随机变量X,Y具有以下概率密度，X与Y相互独立 ，则f(x,y)=（ ）

2xyxA.3００ｘ１，１ｙ２

其他6x2y０ｘ１，0ｙ1B.

其他０3xｙxx０ｘ１，C.2 其他０1yeD.2００ｘ2，ｙ0其他

16、设A、B、C是任意的三个随机事件，根据概率的性质，则： （1）P(BA)= ；

（2）P(AB)= ； （3）}

（4）

P(ABC)= 。

17、设A、B为两个随机事件，且P(A)0.4，P(AB)0.7。 （1）若A与B互不相容，则P(B) ； （2）若A与B相互独立，则P(B) 。

18、设P(A)0.1，P(BA)0.9，P(BA)0.2，则P(AB)= 。 19、设P(A)0.6，P(B)0.8，P(AB)0.7，则P(BA) 。 20、设随机变量X的分布律为P(Xk)a，k1,2,,N，则常数a= 。 N1e2x,x021、设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，其密度函数为

,x00f(x)，则f(1)= 。

（

0,x11,x1122、设随机变量X的分布函数为F(x)8，且P(X1)，

4axb,1x1x11,则a= ，b= 。

Ax,23、设随机变量X的概率密度为f(x)B,0,1x22x3，又其他P(1x2)P(2x3)，则A= ，B= 。

24、设随机变量X～N(1.5,4)，则P(x3)= 。 25、设随机变量X～B(5,0.1)，则P(X3)= 。 26、设随机变量X,Y的分布律如下表所示：

X : Y 0 1 0 1 0.4 b a ) 0.1 已知事件X0与XY1相互独立，则a= ，b= 。 27、设随机变量X与Y相互独立，方差分别为1，4，则D(2X5Y)= 。 28、已知D(X)25,D(Y)1,XY0.4，则D(XY)= 。 29、设随机变量X服从参数为2的泊松分布，令Y3X2，则E(Y)= ，

D(Y) 。

30、设随机变量X服从参数为

D(X) 。

1的指数分布，且已知EX1X21，则 31、设随机变量X～B(n,p)，且E(X)2.4，D(X)1.68，则二项分布中的参数

n= ，p= 。 32、—

33、

某门课程只有通过口试及笔试两种考试方可结业，某学生通过口试的概率为

80%，通过笔试的概率为65%，至少通过两者之一的概率为75%，试问该学生这门课程结业的可能性有多大？

34、设一口袋中有100个球，其中有7个是红球，25个是黄球，24个是黄蓝两色的球，1个是红黄蓝三色的球，其余43个是无色的球。现从中任取一个球，以A、B、C分别表示取到的球有红色、有黄色、有蓝色的事件，试问A、B、

C是否两两独立，是否相互独立？

235、a取何值时P(Xk)a，（k1,2,），才能成为随机变量X的分布律。

3

~

k

36、设离散型随机变量X的分布律如下表所示：

X P -1 0.2 1 \\2 0.3 0.5 （1）试求X的分布函数；

1（2）试求P(X)、P(1X3).

20,x136、设连续型随机变量X的分布函数为F(x)ABarcsinx,1x1

1,x1（1）试求常数A、B；

1（2）试求概率P(X)；

2（3）试求概率密度f(x)。

|

37、设随机变量X的概率密度为f(x)Aex，（x），试求： （1）常数A；

（2）概率P(0X1)； （3）X的分布函数。 38、；

39、

已知随机变量X和Y的分布律如下表所示：

X P -1 0.25 0 0.5 1 % 0.25

Y P ！

0 0.5 1 0.5

且P(XY0)1

(1)试求X和Y的联合分布律； (2)试问X和Y是否相互独立？为什么？ (3)试求P(XY)；

(4)若X和Y相互独立，试求X,Y的分布律。

1,0xy,0y139、设随机变量X,Y的概率密度为f(x,y)y

0,其他（1）试求关于X和Y的边缘概率密度fX(x)与fY(y)； （2）~

（3）

试判断X和Y是否相互独立。

3x,0x1,0yx40、设随机变量X,Y的概率密度为f(x,y)

0,其他（1）试求概率P(XY1)；

（2）试求边缘概率密度fX(x)与fY(y)； （4）试判断X和Y是否相互独立。

41、设随机变量X,Y的分布律如下表所示：

X Y 0 1 试求：

（1）ZXY的分布律； （2）ZXY的分布律；

0 0.10 0.15 1 0.25 0.20 2 0.15 0.15 （3）Zmax(X,Y)的分布律。

42、甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡的寿命X和Y的分布律如下表所示：

X 900 0.1 1000 0.8 1100 0.1 P

Y P 950 0.3 1000 0.4 1050 0.3 试问哪家厂生产的灯泡质量较好？

43、某城市一天的用电量X（单位：10万kW·h）是一个随机变量，其概率密

x13xe,x0度为f(x)9，试求一天的平均耗电量。

0,其他

ax2bxc,0x144、设随机变量X的概率密度为f(x)，又E(X)0.5，

0,其他D(X)0.15，试求a、b、c。

2xy,0x1,0y145、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为fx,y，

0,其他试求P(X2Y)。