函数方程和函数迭代问题

函数方程和函数迭代问题

在国内外数学竞赛中函数方程和函数迭代问题备受命题者的青睐形式灵活多变，结构变化无穷，大致可分为如下三类：⑴探求函数的解析式;⑵探求函数的值⑶讨论函数的性质.

一. 探求函数的解析式

函数方程的求解事实上也是一个探求函数解析式的过程,而函数方程常见的初等解法有许多,下面对其作进一步详尽的介绍.

1,换元法

换元法的解题基本思想是:将函数方程中自变量适当代换成别的自变量(应注意力求不改变函数的定义域),得到一个或几个新的函数方程,然后将它们与原方程联立,通过消元求得原函数方程的解.

例1 解函数方程

x1f(x)+f(x)=1+x (x≠0,x≠1)

例2 设f(x)是定义在实数集上的实值函数,且满足af(x-1)+bf(1-x)=cx,其中a,b,c为实常数,求f(x)

2.赋值法

赋值法基本思想是:对自变量多于一个的函数方程,将其中一个或几个自变量用一些特殊值赋进

1

去代入原方程,从而简化函数方程,以达到求解的目的.

例3 已知定义在R的函数满足

⑴ f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)cos2x2+4asin2x2 (x1,x2∈R,a为常数)

⑵ f(0)=f(4)=1

⑶ 当x∈[0, 4]时,f(x)≤2

试求⑴函数f(x)的解析式;

⑵常数a的取值范围.

例4 f(x)是定义于非负实数集上且取非负实数值的函数,求所有满足下列条件的f(x)

⑴ f[xf(y)]f(y)=f(x+y);

⑵ f(2)=0

⑶ 当0≤x＜2 f(x)≠0

3递推法

这一方法的其本思想是:当f(x)是定义在自然数集上的函数(实际上就是通项为an=f(n)的数列)

2

时,可根据题中所给函数方程,通过持殊值得到关于f(n)的递推关系,然后根据递推关系求出(即数列{an}的通项表达式)

3例5已知f(x)是定义在自然数集上的函数,满足f(1)=2,且对任意x,y∈N,有

xyf(x+y)=(1+x1)f(x)+(1+y1)f(y)+x2y+xy+xy2,求f(x)

4. 柯西法

柯西首先讨论了一个很重要的函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)的解法,由此解决了一系列其他函数方程.他的方法是,依次求出所有自然数值,整数值,有理数值,直至所有实数值的函数方程的解

例6 设f(x) 是定义在有理数集上的函数,且对任意的有理数x,y有

f(x+y)=f(x)+f(y),

试求f(x)

5, 待定系数法

这一方法的其本思想是:当f(x)是多顸式时,可设f(x)=a0xn+a1xn-1+….+an(a0≠0),代入函数方程的两端,然后比较方程两端x最高次幂的指数和x同次幂的系数,便可得出关于n及a0 a1…an.的方程组,解这个方程组便可确定n及a0 a1…an的值,从而得到函数方程的解

例７ 确定符合下列条件的所有多项式f(x)

3

13f(x+1)=2f[f(x)]+2

6 , 利用不等式夹逼

利用不等式夹逼求解函数方程,主要是利用下列几个明显的结论:

⑴ 若对任意x∈I, 有f(x)≥g(x) 及f(x)≤g(x)则对任意x∈I,有f(x)＝g(x)

⑵ 若对任意x,y∈I,有f(x)≤g(y)则交换x,y得f(y)≤g(x)于是对任意的x,y∈I有f(x)＝g(y)由此可得f(x)＝常数(x∈I).

⑶ 若f:N→N满足m≤f(n)＜m+1或m-1＜f(n)≤m或m-1＜f(n)＜m+1(m,n∈N)则f(n)=m,

例8 设f(x) 是具有下列性质的函数

⑴ f(n)对每一正整数n有定义;

⑵ f(n)是正整数;

⑶ f(2)=2

⑷ f(mn)=f(m)f(n),对一切m,n成立;

⑸ f(m)＞f(n),当m＞n时

4

试证: f(m)=f(n)

例9 设f(n )是定义在自然数集N上的函数,它的值域也是全体自然数所成的集N,并且对任意两个自然m与n,只要m≥n就有f(m) ≥n, 试证: f(m)= m对任意的自然数m成立.

例10 设f(n )是定义在自然数集N上的函数,满足: ⑴f(n )的值域为整数;⑵当m＜n时,f(m)＜f(n);⑶当m,n互素时,f(mn)=f(m)f(n),试求符合上述条件的一切函数f(x).

二. 探求函数的值

在各级各类数学竞赛中除了求函数方程的解以外,还经常遇到由函数方程给出的特殊定义的抽象函数,要求参赛者探求其函数的特殊的函数值.

例11. 设N是自然数集, f(x)是定义在N上并在N内取值的函数,且对x,y∈N,有

f[f(x)+y]=x+y,

求f(1988)的所有可能的值

例12. 设f(n )对所有正整数有定义,取非负整数值,并且对所有正整数m,n有f(m+n)-f(m)-f(n)=0或1.

又f(2)=0.f(3)＞0,f(9999)=3333,

求f(1982).

5

例13. 设f(x),g(x)是定义在正整数集Z+上并取整数的严格递增函数,如果它们满足:⑴f(Z+) ∪ g( Z+) = Z+

g( Z+) =

(⑵f(Z+) ∩

⑶g(n)=f(f(n))+1

试求f(240).

三.讨论函数的性质

探求讨论函数的有关性质，历年来都是数学竞赛的命题热点之一，例如探求函数的周期性，函数的不等式证明，以及解反函数的不等式等问题。而解决这类问题 的办法就是要“穿脱”函数符号“f”，下面我们从具体的例子谈一谈“穿脱”的技巧与方法.

1 单调性穿脱法

对于特殊函数的单调性,我们可以根据函数值相等或函数的单调性对函数“f”进行“穿脱”,进而达到化简的目的,由此使问题获得解答.

例14 设函数y=f(x)定义在R上,当x＞0时, f(x)＞1且对任意m,n∈R有f(m+n)=f(m)f(n),当m≠n时,f(m)≠f(n).

⑴证明:f(0)=1;

⑵证明: f(x)在R上是增函数;

6

⑶设A={(x,y) │f(x2)f(y2)＜f(1)＝

A={(x,y) │f(ax+by+c=1,a,b,c∈R,a≠0)

若A∩B=求a,b,c满足的条件

例15 已知定义在R+上的函数F(x)满足条件:①:对定义域上任意的x,y都有F(x)+F(y)=F(xy);②当x>1时F(x)>0,试求:

1⑴求证F(x)=-F(x);

⑵求证: F(x) 在R+上为增函数;

⑶若F(3)=1,且a为正实数时,解关于x的不等式

1F(x)-F(2ax)≥2

例16 已知函数f(x)在区间(-,+)上是增函数,a和b是实数.试证:

⑴证明命题:如果a+b≥0那么f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).

⑵判断⑴中的逆命题是否正确,并证明你的结论.

2 反函数穿脱法

7

灵活自如地处理原函数f(x)与反函数f-1(x),并能熟练地运用

f-1 (f(x))=x,f(f-1(x))=x进行穿脱函数符号“f”，这是极为常用而又重要的方法.

引理 若f(x),g(x)互为反函数,且f(a+b)=f(a) f(b),则g(mn)=g(m)+g(n)

1例17 已知函数f(x)满足:①f(2)=1;②函数的值域为[-1,1];③严格递减; ④f(xy)= f(x)+f(y).试111求:⑴求证: 4不在f(x)的定义域内⑵求不等式f-1(x)f-1(1x)≤2的解集

3定义探求法

在求解有关函数方程的问题时,我们经常会遇到要证明某函数为周期性函数,此时我们一般采用周期函数的定义来求解,探求函数的有关性质.

例18 设a>0, f(x)是定义在实数集上的一个实值函数,且对每一实数x,有

1f(x+a)=2+

f(x)[f(x)]2

⑴证明: f(x)是周期函数;

⑵对a=1,具体给出一个这样的非常数的函数f(x)

四 函数迭代中的”穿脱”技巧

8

设函数y=f(x),并记fn(x)=f(f(f…(fx)…),其中n是正整数, fn(x)叫做函数f(x)的n次迭代,函数迭代是一种特殊的函数复合形式,在现代数学中占有很重要的地位,尤其是近年来在国内外数学竞赛屡次出现,成为热点问题之一,以引起广在数学爱好者的关注.由f(x)(或fn(x)的表达式”穿上”或”脱去”n-1个函数符号得出fn(x)(或f(x))的函数迭代问题,这里我们对数学竞赛中穿脱问题的解题技巧作简单介绍和粗浅的探

索.

1程序化穿脱

“穿”,”脱”函数符号是一种有序的过程,由内至外一层层穿上f,或从外至内一层层脱去f,往往是一种程序化的模式,

x21x例19 已知f(x)= ,求fn(x).

2实验法穿脱

许多情况下,求解穿脱问题并非只是一种程序化的操作,还需要用敏锐的思维和眼光去发现穿脱过程所蕴含的规律性,实验是发现的源泉,是发现规律的金钥匙.

例20 函数定义在整数集上,且满足

f(n)= n-3 (n≥1000)

f[f(n+5)](n＜1000求f(84)

9

例21 对任意的正整数k,令f1(k)定义为k的各位数字和的平方.对于n≥2令fn(k)=f1(fn-1(k)),求f1988(11).

3周期性穿脱

在求解函数迭代问题时我们经常要借助于函数的周期性,利用周期性穿脱要能达到进退自如,做到需穿插则穿,需脱则脱,从而优化解题过程.

例22 定义域为正整数的函数,满足:

f(n)= n-3 (n≥1000)

f[f(n+7)](n＜1000.

试求f(90)

练习

1.设n是自然数,f(n)为n2+1(十进制)的数字之和,f1(n)=f(n),求的f100(1990)值.

2.已知f(x)是一次函数,且f10(x)=1024x+1023,求f(x)的解析式,

2x13.已知f(x)=x1.设f35(x)=f5(x),求f28(x).

4.设f(x)是定义在实数集上的函数,且满足f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x).

10

(1) 试证: f(x)是周期函数;

(2) 若f(1)=2+3求f(1989)的值

5. 设f(x)是定义在实数集上的实值函数,且对任意实数x,y,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy,求f(x).

6设.f(n)是定义在N上且在N内取值的函数,且对每个n∈N,有f(n+1)≥f[f(n)],求证:对每个n∈N,f(n)=n.

1x7若.f(1x)=x,求f(x)

8. 对任意实数x,y,函数f(x)满足关系式f(x+y)=f(x2)+f(2y).求f(1985)的值.

9已知af(2x-3)+bf(3-2x)=2x,a2≠b2,求f(x)

110已知二次函数f(x)满足条件①f(-1)=0;②对一切x之值有x≤f(x)≤2(1+x2)成立,试求f(x)的解

析式

11