第八章 抽样推断(补充例题)

第六章 抽样推断

1、平均数抽样平均误差公式实验：某公寓5个住户的电费分别为120，140，160，180，200（单位：元），现用重复抽样方法从中随机抽取2个住户的电费构成样本。要求： （1）计算总体平均电费和标准差； （2）列出全部可能的样本平均电费；

（3）求样本平均电费的平均数，并检验是否等于总体平均电费； （4）计算样本平均电费的标准差；

（5）用抽样平均误差x的公式计算，并检验是否等于（4）的结果。 解：（1）XX120140160180200160（元） N5(XX)N2(120160)2(140160)2(160160)2(180160)2(200160)25=28.28(元)

（2）按重复抽样可能样本个数MNn5225（个） （3）计算样本平均数的平均数：

E（x)x4000160（元）

M25样本变量 120 120 120 140 120 160 120 180 120 200 140 120 140 140 140 160 样本平均电费 120 130 140 150 160 130 140 150 平均电费离差 -40 -30 -20 -10 0 -30 -20 -10 离差平方 1600 900 400 100 0 900 400 100 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 1

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 — 140 180 140 200 160 120 160 140 160 160 160 180 160 200 180 120 180 140 180 160 180 180 180 200 200 120 200 140 200 160 200 180 200 200 — 160 170 140 150 160 170 180 150 160 170 180 190 160 170 180 190 200 4000 0 10 -20 -10 0 10 20 -10 0 10 20 30 0 10 20 30 40 — 0 100 400 100 0 100 400 100 0 100 400 900 0 100 400 900 1600 10000 与前面计算的总体平均数比较，则有：E(x)X160(元) 即抽样平均数的平均数等于总体平均数。 （4）计算抽样平均数的标准差：x[xE(x)]M21000020(元) 25（5）用抽样平均误差x的公式，验证是否等于（4）结果。

x2nn28.2820(元) 2所得结果与（4）计算结果相同。

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3、某工厂有1500个工人，用简单随机抽样的方法抽出50个工人作为样本，调查其工资水平，如下表：

月工资水平（元） 工人数（人） 4 6 9 10 8 6 4 3 1240 1340 1400 1500 1600 1800 2000 2600 要求：（1）计算样本平均数和抽样平均误差。

（2）以95.45%的可靠性估计该厂工人的月平均工资和工资总额的区间。

解：列表计算：

月工资水平x（元） 1240 1340 1400 1500 1600 1800 2000 2600 合计 工人数f（人） 4 6 9 10 8 6 4 3 50 4960 8040 12600 15000 12800 10800 8000 7800 80000 -360 -260 -200 -100 0 200 400 1000 — 12960 6760 4000 1000 0 4000 16000 100000 — 51840 40560 36000 10000 0 24000 64000 300000 526400 xf xx (xx)2 (xx)2f 样本平均数x样本方差2xff800001600（元） 502(xx)ff526401052.8 50抽样平均误差x2n1052.84.59（元） 50F(Z)95.45%,Z2

则xZx24.599.18（元） 总体平均工资区间为：

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下限xx16009.181590.82（元） 上限xx16009.181609.18（元）， 工资总额范围为：1590.821500～1609.181500 即在226230元至253770元之间。

我们可以概率95.45%的保证程度，估计该厂全体工人平均工资在1590.82元～1609.18元，工资总额在226230元～253770元之间。 置信度为95.45%的该厂工人的月平均工资的置信区间为[1590.82,1609.18]

置信度为95.45%的该厂工人的工资总额的置信区间为[226230,253770]

4、采用简单随机重复抽样的方法，在2000件产品抽查200件，其中合格品190件，要求：（1）计算合格品率及其抽样平均误差。 （2）以95.45%的概率保证程度（Z=2）对合格品率和合格品数量进行区间估计。

（3）如果极限误差为2.31%，则其概率保证程度是多少？ 解：(1)pn119095% n200p(1p）95%5%0.21821.8% p(1p)21.8%1.54% n200(2) pZp21.54%3.08%

合格率区间估计的上限为：95%+3.08%=98.08% 合格率区间估计的下限为：95%-3.08%=91.92%

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故合格率区间范围是：91.92%～98.08%

98.08%20001961.61962（件） 91.92%20001838.41838（件）

合格品数量的区间估计为1838件～1962件 (3)Zpp2.31%1.5,F(1.5）86.64% 1.54%5、某钢铁企业生产AW-50型特种钢管，现从该厂某季度500件产品中抽取了容量为100根的简单随机样本，结果分析一级品为60根。试求样本一级品率p的抽样平均误差，并以95%的概率估计这批钢管的一级品范围。

解：已知N=500,n=100, p重复抽样：pn1600.6,F(Z)=0.95,Z=1.96 n100p（1p)0.60.40.049 n100置信区间下限为：pZp0.61.960.0490.504 置信区间上限为：pZp0.61.960.0490.696 按重复抽样估计这批钢管的一级品率在50%～70%之间。

不重复抽样：pp（1p)n0.60.4100110.044 n100500N置信区间下限为：pZp0.61.960.0440.514 置信区间上限为：pZp0.61.960.0440.686 不重复抽样估计这批钢管的一级品率在51%～69%之间。

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6、一个电视节目主持人想要了解观众对电视专题节目的喜欢情况，他选取了500个观众作样本，结果发现喜欢该节目的有175人。试以95%的概率估计观众喜欢这一专题节目的区间范围。若该节目主持人希望估计的极限误差不超过5%，问有多大的把握程度？ 解：n=500,ppn11750.35, F(Z)=0.95,Z=1.96 n500p（1p)0.350.650.0213 n500pZp1.960.02130.0417

置信区间下限为：pZp0.350.04170.31 置信区间上限为：pZp0.350.04170.39 喜欢该节目的区间范围：31%～39% 若极限误差不超过5%，则：Z程度为94.51%。

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pp5%2.5,F(2.5）94.51%，即把握2%

7、某电子产品使用寿命在3000小时以下为不合格品，现在用简单随机抽样方法，从5000个产品中抽取100个对其使用寿命进行调查。其结果如下：

使用寿命（小时） 3000以下 3000-4000 4000-5000 5000以上 合计 根据以上资料，要求：

（1）按重复抽样和不重复抽样计算该产品平均寿命的抽样平均误差。 （2）按重复抽样和不重复抽样计算该产品合格率的抽样平均误差。 （3）根据重复抽样计算的抽样平均误差，以68.27%的概率保证程度（Z=1）对该产品平均使用寿命和合格率进行区间估计。 解：(1)先分别计算出样本平均数和标准差：

使用寿命 3000以下 3000-4000 4000-5000 5000以上 合计 组中值 2500 3500 4500 5500 — 产品个数f 2 30 50 18 100 产品个数 2 30 50 18 100 xf 5000 105000 225000 9900 434000 xx -1840 -840 160 1160 — (xx)2 3385600 705600 25600 1345600 — (xx)2f 6771200 21168000 1280000 24220800 53440000 xxff4340004340(小时) 1002(xx)ff53440000731(小时)

100 7

重复抽样条件下：x2731273.1 (小时) n100不重复抽样条件下：x22n731100(1)(1)72.37(小时) nN1005000(2) pn1n9810098%，pp(1p)98%2%14%

重复抽样条件下：pp(1p)14%n101.4% 不重复抽样条件下：

p(1p)pn(1nN)14%2100(11005000)1.39%(小时) (3)平均使用寿命的区间估计：

xZx173.173.1(小时)

区间估计下限为：xx434073.14266.9(小时) 区间估计上限为：xx434073.14413.1 (小时) 合格率的区间估计：pZp11.4%1.4% 区间估计下限为：pp98%1.4%96.6% 区间估计上限为：pp98%1.4%99.4%

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