高中数学知识清单

冲刺2022 高考数学知识清单

目 录

第一章 集合与简易逻辑 ............................................................................................................. - 5 -

第一节 集合 ................................................................................................................................................. - 6 - 第二节 简易逻辑 ......................................................................................................................................... - 8 - 第二章 函数 ............................................................................................................................... - 15 -

第一节 函数 ............................................................................................................................................... - 17 - 第二节 基本初等函数 ............................................................................................................................... - 20 - 第三节 函数与方程 ................................................................................................................................... - 24 - 第四节 导数及其应用 ............................................................................................................................... - 25 - 第三章 三角函数 ....................................................................................................................... - 39 -

第一节 任意角的三角函数 ....................................................................................................................... - 41 - 第二节 同角三角函数关系式及诱导公式 ............................................................................................... - 43 - 第三节 三角函数的图像与性质 ............................................................................................................... - 44 - 第四节 三角恒等变换 ............................................................................................................................... - 46 - 第五节 解三角形 ....................................................................................................................................... - 47 - 第四章 数列 ............................................................................................................................... - 58 -

第一节 数列的基本概念 ........................................................................................................................... - 59 - 第二节 等差数列与等比数列 ................................................................................................................... - 60 - 第三节 数列的求和 ................................................................................................................................... - 61 - 第五章 平面向量 ....................................................................................................................... - 69 -

第一节 平面向量概念及线性运算 ........................................................................................................... - 70 - 第二节 平面向量基本定理及坐标运算 ................................................................................................... - 72 - 第三节 平面向量的数量积 ....................................................................................................................... - 73 - 第六章 解析几何 ....................................................................................................................... - 79 -

第一节 直线方程及位置关系 ................................................................................................................... - 81 - 第二节 圆的方程及位置关系 ................................................................................................................... - 82 - 第三节 圆锥曲线 ....................................................................................................................................... - 83 - 第四节 直线与圆锥曲线的位置关系 ....................................................................................................... - 86 - 第五节 曲线方程 ....................................................................................................................................... - 87 - 第七章 立体几何 ....................................................................................................................... - 99 -

第一节 空间几何体 ................................................................................................................................. - 100 - 第二节 空间中的平行与垂直 ................................................................................................................. - 101 - 第三节 空间中的距离与角度（理） ..................................................................................................... - 104 - 第四节 空间向量与立体几何（理） ..................................................................................................... - 105 - 第八章 概率及统计 ................................................................................................................. - 117 -

第一节 随机抽样及统计 ......................................................................................................................... - 118 -

-3 -《高中数学知识清单》

第二节 随机事件及概型 ......................................................................................................................... - 121 - 第三节 排列组合 ..................................................................................................................................... - 122 - 第四节 二项式定理 ................................................................................................................................. - 124 -

第九章 不等式 ......................................................................................................................... - 133 -

第一节 不等式的解法与证明 ................................................................................................................. - 134 - 第二节 不等式的解法与应用 ................................................................................................................. - 135 - 第十章 数系的扩充 ................................................................................................................. - 140 - 第十一章 算法与框图 ............................................................................................................. - 146 -

第一节 算法及程序框图 ......................................................................................................................... - 146 - 第十二章 坐标系与参数方程 ................................................................................................. - 155 -

第一节 极坐标与参数方程 ..................................................................................................................... - 155 - 参考答案 ................................................................................................................................... - 161 -

-4 -《高中数学知识清单》

第一章 集合与简易逻辑 高考导航

考试要求 1．集合的含义与表示（1）了解集合的含义、元素与集合的属于关系； （2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题． 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； 集 合 （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义． 3．集合的基本运算． （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算． 1、集合 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练．考试形式多以一道选择题为主，分值5分． 预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用． 命题走向 -5 -《高中数学知识清单》

4．命题及其关系 （1）理解命题的概念；（2）了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题，否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系； 逻辑 用 语 （3）理解必要条件，充分条件与充要条件的意义． 5．简单的逻辑联结词 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义． 6．全称量词与存在量词 （1）理解全称量词与存在量词的意义；（2）能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 2、常用逻辑用语 本部分内容主要是常用的逻辑用语，包括命题与量词，基本逻辑联结词以及充分条件、必要条件与命题的四种形式．预测高考对本部分内容的考查形式如下：考查的形式以选择、填空题为主，考察的重点是条件和复合命题真值的判断． 知识精讲

第一节 集合

一、 集合的含义及其表示 1.2.

集合：某些指定的对象集在一起成为集合．

集合中的对象称元素，若是集合的元素，记作aA；若b不是集合A的元素，记作bA；集合中的元素具有的三个性质：确定性、无序性、互异性；

确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；

无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； 3.

集合的三种表示方法：

列举法---把集合的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法；使用列举法的时候要注意以下几点（1）元素间用分隔符“，”；（2）元素不重复；（3）元素无顺序；（4）对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后才用省略号．

描述法---用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在花括号内表示集合的方法．对于描述法，不能只把注意力放在竖线右边适合的条件，还要对竖线左边的形式引起足够的重视．

图示法---为了更形象的表示集合，我们常常花一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合． 二、 集合中元素与集合的关系

文字语言 属于 不属于 符号语言 -6 -《高中数学知识清单》

三、 常见集合的符号表示

数集 符号 四、 集合间的基本关系 表示关系 相等 子集 真子集 集合文字语言 符号语言 AB且BAA=BABBA自然数集 正整数集 N+整数集 有理数集 实数集 复数集 NZQRCA与集合B中的所有元素都相同 A中任意一元素均为B中的元素 A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一元素不是A的元素 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 空集 A，B(B)五、 集合的基本运算 1、 交集与并集

（1）交集：由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集．交集

AB=xxA且xB．

（2）并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集．AB=xxA或xB．

2、 全集与补集：

（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；（2）若S是一个集合，AS，则称S中子集

A的补集记作CsA；

注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．

交 B=xxA且xB并 B=xxA或xB补 CUA=xxU且xAAA-7 -《高中数学知识清单》

第二节 简易逻辑

一、 四种命题及其关系

1、 命题的定义

命题：可以判断真假的语句叫命题；

注意：不是任何语句都是命题，一般来说，疑问句，祈使句，感叹句都不是命题；一个命题，常用小写的拉丁字母p，q，r，s，……表示．

2、 四种命题

如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；

如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；

如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题．

两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题．若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假．

3、 表示形式

一般的，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：

原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p则q；你否命题：若q则p． 4、 四种命题的关系

原命题若p则q互否否命题若 则互逆互否为逆为互逆否互逆逆命题若q则p互否否命题若 则二、 充分条件、必要条件与充要条件

一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件． 可分为四类：

（1）充分不必要条件，即pq且q/p（2）必要不充分条件，即qp且p/q（3）既充分又必要条件，即pq（4）既不充分也不必要条件，即q/p且p/q，

一般地，如果既有pq，又有qp，就记作：pq，“”叫做等价符号．pq表示pq且qp．这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件． 三、 基本逻辑联结词：“或”“且”“非”

1、 或 ：两个简单命题至少有一个成立； 2、 且 ：两个简单命题都成立；

-8 -《高中数学知识清单》

3、 非 ：对一个命题的否定． 四、 简单命题与复合命题 1、 定义

简单命题：不含逻辑联结词的命题．

复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题． 2、 表达形式

简单命题常用小写的拉丁字母p，q，r，s，表示；复合命题常用p或q；p且q；非p表示．3、 复合命题的真值表

p真 真 假 假 q真 假 真 假 p且q真 假 假 假 p或q真 真 真 假 非p假 假 真 真 注：1°像上面表示命题真假的表叫真值表；2°由真值表得：“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容．

-9 -《高中数学知识清单》

五、 量词

1、 全称量词与全称命题

短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示含有全体量词的命题，叫做全称命题．

2、 特称量词及特称命题

短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题．

要点解析

一、 集合的简单性质：

（1）A（2）A（3）(A（5）(AA=A，A=A，AB)(A=，AB=BB=BB)；

A；

A；

（4）ABAB)B=A，ABAB=B；

B)C=AC=A(BC)；(A(BC)；

（6）CS(AB)=(CSA)(CSB)；CS(AB)=(CSA)(CSB)．二、 空集的相关知识点

1、空集是指不含任何元素的集合．0、和的区别；0与三者间的关系．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．条件为AB，在讨论的时候不要遗忘了A=的情况．

2、若若若

A集合为：A=xax=b,b0，讨论空集从a=0入手；

A集合为：A=xMxN形式，讨论空集从MN的入手；

A集合为：A=xax2+bx+c=0(c0)形式，讨论空集从a=0，b=0和0的入手；

A中有n个元素，则A的子集个数有2n个，其中真子集个数是2n−1，非空子集个数是2n−1，

三、 有限集的子集个数公式

设有限集

非空真子集个数是2n−2． 四、 集合基本概念问题的求解方法

集合的基本概念包括集合、元素的概念，元素与集合的关系，集合与集合的关系，集合中元素的特性等，此类题目的命题点一般着眼于集合中元素的确定性与互异性，解决问题的关键是对数学分类讨论思想的灵活运用，分类应注意：不重复、不遗漏、分类的标准一致． 五、 集合间基本关系问题的求解方法

1、 判断两集合的关系通常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合的关系；二是利用列举法表

示各集合，从元素中寻求关系．

2、 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的

关系，解决这类问题常常运用数轴，韦恩图帮助分析．

-10 -《高中数学知识清单》

六、 从集合的角度分析条件问题

定义 若pq，则p是q的充分条件 若qp，则p是q的必要条件 若pq且q/p，则p是q的充分不必要条件 若qp且p/q，则p是q的必要不充分条件 若pq，则p是q的充要条件 若q/p且p/q， 则p是q的非必要非充分条件 七、 四种命题真假的判定 1、 原命题为真，它的逆命题不一定为真； 2、 原命题为真，它的否命题不一定为真；

3、 原命题为真，它的逆否命题一定为真；原命题与逆否命题互为等价命题； 八、 判断充要条件的方法

从集合观点看 若集合MN，则M是N的充分条件 若集合NM，则M是N的必要条件 若集合MN，则M是N的充分不必要条件 若集合NM，则M是N的必要不充分条件 若集合M=N，则M是N的充分必要条件 若集合M/M /N且N则M是N的非充分非必要条件 1、 定义法：若pq，则p是q的充要条件；

2、 逆否法：若证p是q的充要条件，只需证明q是p的充要条件；3、 集合法：若集合M=N，则M是N的充分必要条件．

-11 -《高中数学知识清单》

高考特训

1.（2018·全国Ⅰ） 已知集合A.

A=0,2，B=−2,−1,0,1,2，则AB=（

B.

）

D.

0,21,2C.

0−2,−1,0,1,22.（2018·全国Ⅱ） 已知集合A.

A=1,3,5,7，B=2,3,4,5，则AB=（ ）

B.

35C.

3,5D.

1,2,3,4,5,73.（2018·全国Ⅲ） 已知集合A.

A=x∣x−10，B=0,1,2，则AB=（ ）

B.

01C.

1,2D.

0,1,24.（2019·全国Ⅰ） 已知集合MA.C.

=x|−4x2，N=x|x2−x−60，则MN=（ ）

B.D.

x|−4x3{x|−2x2}x|−4x−2x|2x3-12 -《高中数学知识清单》

作业帮直播课·快数学

5.（2019·天津） 设集合A.

∣1x3}，则(AC)B=（ ）A=−1,1,2,3,5，B=2,3,4，C={xRB.

22,3C.

−1,2,3D.

1,2,3,46.（2019·天津） 设xR，则“x2−5x0”是“x−11”的（

B. 必要而不充分条件

） C. 充要条件

D.既 不充分也不必要条件

A. 充分而不必要条件

7.（2019·全国Ⅲ） 已知集合A.

∣x21，则AB=（ ） A=−1,0,1,2，B=xB.

−1,0,10,1C.

−1,1D.

0,1,28.（2019·浙江） 已知全集UA.

={−1,0,1,2,3}，集合A={0,1,2}，B={−1,0,1}，则(B.

UA)D.

B=（ ）

−10,1C.

−1,2,3−1,0,1,39.（2019·浙江） 若a0，b0，则“a+b4”是“ab4”的（ ）

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D.既 不充分也不必要条件

A. 充分不必要条件10.（2020·全国Ⅰ） 设集合A.

A=x|x2−40，B=x|2x+a0，且AB=x|−2x1，则a=（ ）

B.

−4−2C.

2D.

4-13 -

《高中数学知识清单》

11.（2020·全国Ⅱ） 已知集合UA.

=−2,−1,0,1,2,3，A=−1,0,1，B=1,2，则

B.

U(AD.

B)=（ ）

−2,3−2,2,3C.

−2,−1,0,3−2,−1,0,2,312.（2020·全国Ⅲ） 已知集合A.

则AB中元素的个数为（ ） A=(x,y)∣x,yN,yx，B=(x,y)∣x+y=8，

B.

23C.

4D.

613.（2020·天津） 设aR，则“a1”是“a2a”的（

）

C. 充要条件

D.既 不充分也不必要条件

A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件

14.（2020·浙江）

已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

）

D.既 不充分也不必要条件

15.（2020·山东） 设集合A.

∣2x4}，则AB=（ ） A=x∣1x3，B={xB.

{x∣2x3}∣2xx3C.

{x∣1x4}D. {x∣1x4}-14 -《高中数学知识清单》

第二章函数 高考导航

考试要求 1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的函数的概念及性质 要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念； 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数； 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用； 4．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义； 5．学会运用函数图像理解和研究函数的性质． 1．指数函数（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景； （2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 指对函数 （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点； （4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． 2．对数函数 （1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用； 命题走向 从近几年来看，对本部分内容的考察形势稳中求变，向着更灵活的的方向发展，对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果． 高考对函数概念与表示考察是以选择或填空为主，以解答题形式出现的可能性相对较小，本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大． 预测高考对本节的考察是： 1．题型是1个选择和1个填空；2．热点是函数概念及函数的工具作用，以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数成为新的热点． 指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位．从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题．为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算法，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理． 预测对本节的考察是： 1．题型有两个选择题和一个解答题；2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质．同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大． -15 -《高中数学知识清单》

（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3．知道指数函数y=ax与对数函数y=logax（a＞0，a1）互为反函数．1．导数及其应用（1）导数概念及其几何意义①了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；②通过函数图像直观地理解导数的几何意义． （2）导数的运算①会求导②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化： （1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题； （2）高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识． 定积分是新课标教材新增的内容，主要包括定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用，由于定积分在实际问题中非f(ax+b)的导数；③ 会使用导数公式表．导函数 （3）导数在研究函数中的应用①借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；② 常广泛，因而高考会在这方面考察，预测高结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必考呈现以下几个特点： 要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性． （4）生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等（1）新课标考察，难度不会很大，注意基本概念、基本性质、基本公式的考察及简单的应用；高考中本讲的题目一般为选择题、填空题，考查定积分的基本概念及简单运算，属于中低档题； （2）定积分的应用主要是计算面积，优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用． 诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等（5）定积分与微积分基本定理实际问题要很好的转化为数学模型． -16 -《高中数学知识清单》

知识精讲

第一节 函数

一、 映射的概念

一般地，设

A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一

A到集合B的

个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合一个映射．记作f：A→B．

函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射．

注意：（1）这两个集合有先后顺序，就是说有且只有一个的意思． 二、 函数的概念

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合

A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的

对应法则，可以用汉字叙述．（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也

B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：

y=f(x),xA．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)xA叫做函数的值域．

注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．三、 函数的表示方法

（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；

（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；（3）图像法：就是用函数图像表示两个变量之间的关系．四、 几类特殊的函数类型 1、分段函数

若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数． 2、复合函数

若y=f(u)，u=g(x)，x(a,b)，u(m,n)，那么y=fg(x)称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域．五、 函数的奇偶性 1、定义

如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(−x)=−f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(−x)=f(x)，则称f(x)为偶函数．如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性．如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数．

注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶

-17 -《高中数学知识清单》

性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则−x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． 2、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

1)2)3)

首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定f(−x)与f(x)的关系；作出相应结论：

若f(−x)=f(x)或f(−x)−f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(−x)=−f(x)或f(−x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数．3、简单性质：

1)2)

图像的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图像关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图像关于y轴对称；

设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇

六、 函数的单调性 1、定义

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，；x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）

注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)2、利用定义判断函数单调性的格式步骤：

1) 2)3)4)5)

任取x1，x2D，且x1x2； 作差f(x1)−f(x2)；

变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差f(x1)−f(x2)的正负）；

下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

3、简单性质：

①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③在公共定义域内：

增函数f(x)+增函数g(x)是增函数；减函数f(x)+减函数g(x)是减函数；增函数f(x)−减函数g(x)是增函数；减函数f(x)−增函数g(x)是减函数．

七、 函数的最值

最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的xI，都有

f(x)M；②存在x0I，使得f(x0)=M．那么，称M是函数y=f(x)的最大值．

最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有

f(x)M；②存在x0I，使得f(x0)=M．那么，称M是函数y=f(x)的最大值．

注意：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0)=M；函数最大（小）应

-18 -《高中数学知识清单》

该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f(x)M或f(x)M． 八、 函数的周期性 1、定义

如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数； 2、性质：

f(x+T)=f(x)常常写作fx+它为f(x)的最小正周期；

TT=fx−，若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称22T||若周期函数f(x)的周期为T，则f(x)（0）是周期函数，且周期为

．

-19 -《高中数学知识清单》

第二节 基本初等函数

一、 指数与对数运算 1、 根式的概念

1)

定义

若一个数的n次方等于a（n1，且nN*），则这个数称a的n次方根．即若xn=a，则x称a的n次方根（n1，且nN*），当n为奇数时，a的n次方根记作na；当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作na（a0）．

2)

n性质

n(a)1)

nnn=a；当n为奇数时，an=a；当n为偶数时，a=a=a,a0−a,a02、 幂的有关概念

规定

a（nN）

*an=aa；a0=1（a0）

mn n个 a−p1=p（pQ） a．a=nam（a0，m，nN, 且n1）

*2)性质：

； aras=ar+s（a0，r，sQ）

(a)rs=ars（a0，r，sQ）；

r(ab)1)

=arbr（a0，b0，rQ）．

3、 对数的概念

定义

bN，就是a=N，那么数b称以a为底N的对数，记作logaN=b，

如果a（a0，且a1）的b次幂等于其中a称对数的底，

N称真数．

）为底的对数称

其中，以10为底的对数称常用对数，log10N记作lgN；以无理数e（e=2.71828自然对数，logeN，记作lnN．

2)真数3)

基本性质：

logN=N． N为正数（负数和零无对数）；loga1=0；logaa=1；对数恒等式：aa运算性质：如果a0，a1，MM=logaM−logaN；N0，N0，则

loga(MN)=logaM+logaN；

loga．logaMn=nlogaM（nR）4)

换底公式：logaN=logmN（a0，a1，m0，m1，N0）

logma-20 -《高中数学知识清单》

logablogba=1；logabn=nlogab．

mm二、 指数函数与对数函数 1、 指数函数

1)

定义

函数y=ax（a0，且a1）称指数函数，2)

图像及其性质

y=axa10＜a＜1图像 定义域 值域 性质 R(0,+)过定点(0,1)，图像都在一、二象限x−x对于相同的a（a0，且a1），函数y=a与y=a的图像关于y轴对称． 当x0时，0y1单调性 当x0时，y1 在(−,+)上是增函数当x0时，y1 当x0时，0y1在(−,+)上是减函数-21 -《高中数学知识清单》

2、 对数函数

1)

定义

函数y=logax（a0，且a1）称对数函数2)

图像及其性质

y=logaxa10＜a＜1图像 定义域 值域 过定点(1,0)，图像都在一、四象限性质 (0,+)R对于相同的a（a0，且a1），函数y=logax与y=log1x的图像关于x轴对a称． 当0x1时，y0 单调性 当x1时，y0 在(0,+)上是增函数当0x1时，y0 当x1时，y0 在(0,+)上是减函数三、 二次函数与幂函数

1)2)

二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c（a0）的函数叫做二次函数． 二次函数的三种表达形式

一般式：y=ax2+bx+c（a0） 顶点式：y=a(x−h)2+k（a0）

两根式：y=a(x−x1)(x−x2)(a0)（a0） 3)

二次函数的图像与性质

二次函数y=ax2+bx+c（a0）是以直线x=−b为对称轴的抛物线，其开口方向由a的符号

2a决定．对称轴两侧单调性相反． 4)5)

若二次函数满足f(x+m)=f(−x+n)，则二次函数对称轴为x=m+n2幂函数的定义

一般地，形如y=xa（aR）的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，a为常数． 6)

图像的性质

1在同一平面直角坐标系下，幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x2，y=x−1，图像分别如下图．

-22 -《高中数学知识清单》

当a0时，幂函数y=xa（aR）的图像都经过点(0,0)，(1,1)；在第一象限内，函数值y随x的增大而增大；在第一象限内，a1时，函数图像是向下凸的，0a1时，函数图像是向上凸的；

当a0时，幂函数y=xa（aR）的图像都经过点(1,1)；在第一象限内，函数值y随x的增大而减小，函数图像是向下凸的．

y=x定义域 值域 奇偶性 y=x2y=x3y=x12y=x−1RR奇 R0,+)偶 x0,+)时，增 RR奇 0,+)0,+)非奇非偶 xxR且x0yyR且x0奇 x0,+)时，减 单调性 增 x(−,0)时，减 增 增 x(−,0)时，减 定点 (0,0)，(1,1)(1,1)-23 -《高中数学知识清单》

第三节 函数与方程

一、 方程的根与函数的零点 1、 函数零点概念：

对于函数y=f(x)（xD），把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)（xD）的零点．2、 函数零点的意义：

函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标．即：方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图像与x轴有交点函数y=f(x)有零点．3、 二次函数y=ax2+bx+c（a0）的零点：

0，方程ax2+bx+c=0有两不等实根，二次函数的图像与x轴有两个交点，二次函数有两个零点 =0，方程ax2+bx+c=0有两相等实根（二重根），二次函数的图像与x轴有一个交点，二次函数有一

个二重零点或二阶零点；

0，方程ax2+bx+c=0无实根，二次函数的图像与x轴无交点，二次函数无零点．

4、 零点存在性定理：

如果函数y=f(x)在区间a,b上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函数

y=f(x)在区间(a,b)内有零点．既存在c(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程的根．

二、 二分法1、 二分法的概念

对于在区间a,b上连续不断，且满足f(a)f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2、 用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤

（1）确定区间a,b，验证f(a)f(b)0，给定精度；（2）求区间(a,b)的中点x1； （3）计算f(x1)：

①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；

②若f(a)f(x1)0，则令b=x1（此时零点x0(a,x1)）；③若f(x1)f(b)0，则令a=x1（此时零点x0(x1,b)）；（4）判断是否达到精度；

即若a−b，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2~4． 3、 函数零点的性质

从“数”的角度看：即是使f(x)=0的实数；从“形”的角度看：即是函数f(x)的图像与x轴交点的横坐标；若函数f(x)的图像在x=x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；若函数f(x)的图像在

x=x0处与

x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．（注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件

f(a)f(b)0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．

-24 -《高中数学知识清单》

第四节 导数及其应用

一、 导数的概念

函数y=f(x)，如果自变量x在x0处有增量x，那么函数y相应地有增量y=f(x0+x)−f(x0)，比值

yyf(x0+x)−f(x0)叫做函数y=f(x)在x0到x0+x之间的平均变化率，即． =xxx如果当x→0时，

y有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做y=f(x)xx=x0在点x0处的导数，记作f(x0)或y说明：

即f(x0)=limy=limx→0xx→0f(x0+x)−f(x0)．

x（1）函数y=f(x)在点x0处可导，是指x→0时，点x0处不可导，或说无导数．

yy有极限．如果不存在极限，就说函数在xx（2）x是自变量x在x0处的改变量，x0时，而y是函数值的改变量，可以是零． 由导数的定义可知，求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y=f(x0+x)−f(x0)（2）求平均变化率

yf(x0+x)−f(x0)=

xxyx→0x（3）取极限，得导数f(x0)=lim二、 导数的几何意义

函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率．也

就是说，曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f(x0)．相应地，切线方程为

y−y0=f(x0)(x−x0)．

三、 常见函数的导数公式．

1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、

C=0（C为常数）

(x)=axaa−1(sin)=cos(cos)=−sin(lnx)=1x11（a0，且a1） logae=xxlna(logax)=(e)=exxx(a)=axlnx（a0，且a1）

-25 -《高中数学知识清单》

四、 两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差） ． 即：(uv)=uv法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：(uv)=uv+uv．

若C为常数，则(Cu)=Cu．

法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的

uuv−uv平方：=（v0）．

v2v形如y=f(x)的函数称为复合函数．复合函数求导步骤：分解——求导——回代．法则：

y(x)=y(u)u(x)． 五、 导数的应用

（1）一般地，设函数y=f(x)在某个区间可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数；如果在某区间内恒有f(x)=0，则f(x)为常数．

（2）曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．

（3）一般地，在区间a,b上连续的函数x在a,b上必有最大值与最小值．①求函数x在(a,b)内的极值；②求函数x在区间端点的值f(a)，f(b)；③将函数x的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值． 六、 定积分 1、 概念

设函数f(x)在区间a,b上连续，用分点a=x0x1xi−1xinxn=b把区间a,b等分成n个

i小区间，在每个小区间xi－1,xi上取任一点i(i=1,2,,n)作和式In=，f()x（其中x为小区间长度）

i＝1把n→+即x→0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分，记作：

f(x)dx，即

abbaf(x)dx=limf(i)x．

n→i=1n这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a,b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．

基本的积分公式：0dx=C；

xxmxdx=1m+11x+C（mQ，m−1）；dx=lnx+C；m+1xax．edx=e+C；adx=lna+C；cosxdx=sinx+C；sinxdx=−cosx+C（表中C均为常数）

x2、 定积分的性质

-26 -《高中数学知识清单》

①②③

bakf(x)dx=kf(x)dx（k为常数）；

abf(x)g(x)dx=af(x)dxag(x)dx； abbbbaf(x)dx=f(x)dx+f(x)dx（其中acb)．

accb3、 定积分求曲边梯形面积

由三条直线x=a，x=b（ab），x轴及一条曲线y=f(x)（f(x)0）围成的曲边梯的面积

S=f(x)dx．

ab如果图形由曲线y1=f1(x)，y2=f2(x)（不妨设f1(x)f2(x)0），及直线x=a，x=b（ab）围成，那么所求图形的面积S=baf1(x)dx−f2(x)dx．

ab-27 -《高中数学知识清单》

要点解析

一、 两个函数相等的概念

函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f．当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定．因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数． 二、 函数定义域三种类型

解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：

①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；

②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；

③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义．三、 函数定义域求法

（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；

（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；（3）已知f(x)的定义域求fg(x)的定义域或已知fg(x)的定义域求f(x)的定义域：①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；②若已知f(x)的定义域a,b，其复合函数fg(x)的定义域应由ag(x)b解出．四、 函数值域的求法

函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的．其类型依解析式的特点分可分三类：（1）求常见函数值域；（2）求由常见函数复合而成的函数的值域；（3）求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域．

①直接法：利用常见函数的值域来求

一次函数y=ax+b（a0）的定义域为R，值域为R； 反比例函数y=k（k0）的定义域为xx0，值域为yy0； x二次函数f(x)=ax2+bx+c（a0）的定义域为R，

4ac−b2； 当a0时，值域为yy4a4ac−b2当a0时，值域为yy．

4a②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为如：f(x)=ax2+bx+c，x(m,n)的形式；

③分式转化法（或改为“分离常数法”）

④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

-28 -《高中数学知识清单》

⑥基本不等式法：转化成型如：y=x+k（k0），利用平均值不等式公式来求值域； x⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域；⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．五、 函数解析式的求法

1)2)3)4)5)1)2)3)

已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；

已知f(x)求fg(x)或已知fg(x)求f(x)：换元法、配凑法； 已知函数图像，求函数解析式；

f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；

应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图像求函数的最大（小）值；

利用函数单调性的判断函数的最大（小）值；

六、 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法

如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递增，在区间b,c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递减，在区间b,c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)．

七、 复合函数的单调性

设复合函数y=fg(x)，其中u=g(x)，A是y=fg(x)定义域的某个区间，B是映射g :x→u=g(x)的象集：

①

若u=g(x)在在

A上是增（或减）函数，y=f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y=fg(x)A上是增函数；

②若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y=f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y=fg(x)在A上是减函数． 八、 函数的图像变换 （1）平移变换

①水平平移：y=f(xa)（a0）的图像，可由y=f(x)的图像向左（+）或向右（−）平移a个单位而得到．

②竖直平移：y=f(x)b（b0）的图像，可由y=f(x)的图像向上（+）或向下（−）平移b个单位而得到． （2）对称变换

①y=f(−x)与y=f(x)的图像关于y轴对称． ②y=-f(x)与y=f(x)的图像关于x轴对称． ③y=−f(−x)与y=f(x)的图像关于原点对称．

由对称变换可利用y=f(x)的图像得到y=f(x)与y=f(x)的图像．

①作出y=f(x)的图像，将图像位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得

-29 -《高中数学知识清单》

到y=f(x)的图像；

②作出y=f(x)在y轴上及y轴右边的图像部分，并作y轴右边的图像关于y轴对称的图像，即得

y=f(x)的图像．（3）伸缩变换

①y=af(x)（a0）的图像，可将y=f(x)图像上每点的纵坐标伸（a1时）或缩（a1时）到原来的a倍，横坐标不变．

②y=f(ax)（a0）的图像，可将y=f(x)的图像上每点的横坐标伸（a1时）或缩（a1时）到原来的

1倍，纵坐标不变． a（4）翻折变换

①作为y=f(x)的图像，将图像位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y＝f(x)的图像；

②作为y=f(x)在y轴上及y轴右边的图像部分，并作y轴右边的图像关于y轴对称的图像，即得

y=f(x)的图像．

九、 二次函数的性质及根的分布问题 1)

二次函数的基本性质

（1）当a0，f(x)在区间p,q上的最大值M，最小值m，令x0= (p+q)． 若−bp，则f(p)=m，f(q)=M；2abb＜x0，则f−=m，f(q)=M；2a2a若p−若x0−若−bb＜q，则f(p)=M，f−=m； 2a2abq，则f(p)=M，f(q)=m． 2a（2）二次方程y=ax2+bx+c（a0）的实根分布及条件． ①方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小af(r)0；

=b2−4ac0br②二次方程f(x)=0的两根都大于r−2aaf(r)0=b2−4ac0p−bq2a③二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根af(p)0af(q)0-30 -《高中数学知识清单》

④二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根f(p)f(q)0，或f(p)=0（检验）或f(q)=0（检验）检验另一根若在(p,q)内成立．十、 函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点

令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理

利用定理不仅要求函数在区间a,b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图像与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点； (3)利用图像交点的个数

画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．十一、 利用导数求函数单调区间的步骤

（1）确定函数f(x)的定义域；（2）求导数f(x)；

（3）由f(x)0（f(x)0）解出相应的x的范围．

当f(x)0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f(x)0时，f(x)在相应的区间上是减函数，列表，写出函数的单调区间．

-31 -《高中数学知识清单》

高考特训

1.（2018·全国I【理】）

ex,x0已知函数f(x)=，g(x)=f(x)+x+a，若g(x)存在2个零点，则实数a的

lnx,x0取值范围是（ ） A. −1,0)B. 0,+)C. −1,+)D.1,+)2.（2018·全国Ⅱ【理&文】）

已知f(x)是定义域为(−,+)的奇函数，满足f(1−x)=f(1+x)，若f(1)=2，则

f(1)+f(2)+f(3)+A.−50+f(50)=（ ）

B.0C.2D.503.（2018·全国III【理】）

设a=log0.20.3，b=log20.3，则（ ） A.aba+b0B.a+bab0C.ab0a+bD.a+b0ab4.（2018·天津【理】）

已知a=log2e，b=ln2，c=log2A.abcB.bac1，则a，b，c的大小关系为（ ） 3C.cbaD.cab-32 -《高中数学知识清单》

5.（2018·浙江）

x−4,x已知R，函数f(x)=2，当=2时，不等式f(x)0的解集是

x−4x+3,x________；若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是________．

6.（2018·江苏） 函数f(x)=log2x−1的定义域为________．

7.（2018·上海）

设常数aR，函数f(x)=log2(x+a)．若f(x)的反函数的图象经过点(3,1)，则a=________．

8.（2019·全国Ⅰ【理&文】）

已知a=log20.2，b=20.2，c=0.20.3，则（ ） A.abcB.acbC.cabD.bca9.（2019·全国Ⅱ【理】）

若ab，则（ ） A.ln(a−b)0B.3a3bC.a3−b30D. ab10.（2019·全国Ⅱ【理】）

已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)=−e．若f(ln2)=8，则a=________．

ax-33 -《高中数学知识清单》

11.（2019·全国Ⅲ【理&文】）

设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,+)上单调递减，则（ ）

2−−31A. flog3f22f2343−−21B. flog3f23f224−2−312C. f2f23flog3

4−2−313D. f2f22flog3

412.（2019·北京【理】）

设函数f(x)=e+ae（a为常数）．若f(x)为奇函数，则a=________；若f(x)是Rx−x上的增函数，则a的取值范围是________．

13.（2019·天津【理】）

已知y1y2=−2，b=log0.50.2，c=0.50.2，则a，b，c的大小关系为（ A.acbB.abcC.bca）

D.cab14.（2019·江苏） 函数y=7+6x−x2的定义域是________．

15.（2019·全国Ⅰ【文＆理】）

曲线y=3x+xe在点(0,0)处的切线方程为________．

2x()-34 -《高中数学知识清单》

16.（2019·全国Ⅰ【理】）

已知函数f(x)=sinx−ln(1+x)，f(x)为f(x)的导数．证明：（1）f(x)在区间−1,π上存在唯一极大值点； 2（2）f(x)有且仅有2个零点．

17.（2019·全国Ⅱ【理】）已知函数f(x)=lnx−x+1．x−1（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；

（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处的切线也是曲线

y=ex的切线．

18.（2019·全国Ⅲ【理】）已知函数f(x)=2x−ax+b．

32（1）讨论f(x)的单调性；

（2）是否存在a，b，使得f(x)在区间0,1上的最小值为−1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．

-35 -《高中数学知识清单》

19.（2020·全国Ⅱ【理】）

设函数f(x)=ln2x+1−ln2x−1，则f(x)（ A.是偶函数，且在 ,+单调递增

）

12B.是奇函数，且在 −11,单调递减 221单调递减 2C.是偶函数，且在 −,−1单调递增 2D.是奇函数，且在−,−20.（2020·全国Ⅰ【理】）

若2+log2a=4+2log4b，则（

ab）

A.a2bB.a2bC. ab2D.ab221.（2020·全国Ⅱ【理&文】）若2x−2y3−x−3−y，则（A.ln(y−x+1)0B.

）

C.

ln(y−x+1)0lnx−y0D.

lnx−y022.（2020·全国Ⅲ【理】）

已知58，138．设a=log53，b=log85，c=log138，则（A.abcB.bacC.bca5445）

D.cab-36 -《高中数学知识清单》

23.（2020·北京） 函数f(x)=1+lnx的定义域是________．x+124.（2020·天津）

1设a=30.7，b=3A.abc−0.8，c=log0.70.8，则a，b，c的大小关系为（ ） B.bacC.bcaD.cab25.（2020·山东）

若定义在R的奇函数f(x)在(−,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x−1)0的x的取值范围是（ ） A.[ −1,1][3,+)B.[ −3,−1]0,1C.[ −1,0][1,+)D.[−1,0][1,3]26.（2020·江苏）

已知y=f(x)是奇函数，当x0时，f(x)=x，则f(−8)的值是________．

2327.（2020·全国I【理】）

函数f(x)=x−2x的图象在点1,f(1)处的切线方程为（

43()）

D.y=2x+1A.y=−2x−1B.y=−2x+1C.y=2x−3-37 -《高中数学知识清单》

28.（2020·全国I【理】） 已知函数f(x)=e+ax−x．

x2（1）当a=1时，讨论f(x)的单调性．（2）当x0时，f(x)13x+1，求a的取值范围． 229.（2020·全国III【理】）

设函数f(x)=x+bx+c，曲线y=f(x)在点31,21f处的切线与y轴垂直． 2（1）求b；

（2）若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1．

30.（2020·北京）

已知函数f(x)=12−x．

2（1）求曲线y=f(x)的斜率等于−2的切线方程．

（2）设曲线y=f(x)在点t,f(t)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求

()S(t)的最小值．

-38 -《高中数学知识清单》

第三章 三角函数高考导航

考试要求 任意角的三角函数 1．任意角、弧度2．三角函数 （1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； （2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式预测高考对本讲的考察是： 1．题型是1道选择题和解答题中小过程； 2．热点内容是三角函数知识的综合应用和实际应用，这也是新课标教材的热点内容． 命题走向 π（，π的正弦、余弦、正切）．21．能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx的图像，了解三角函数的周期性； 近几年高考降低了对三角变换的考查要三角函数图像 2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在0,2π，求，而加强了对三角函数的图像与性质的考查 ． 正切函数在−,上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等）； 3．结合具体实例，了解y=Asin(x+)的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin(x+)的图像，观察参数A，，对函数图像变化的影响． ππ22预测高考对本讲内容的考察为： 1．题型为1道选择题（求值或图像变换），1道解答题（求值或图像变换）； 2．热点问题是三角函数的图像和性质，特别是y=Asin(x+)的图像及其变换； 三角恒等变换 1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用； 2．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系； 3．能运用上述公式进行简单的恒等变换 从近几年的高考考察的方向来看，这部分的高考题以选择、解答题出现的机会较多，有时候也以填空题的形式出现，它们经常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考察，主要题型有三角函数求值，通过三角式的变换研究三角函数的性质． -39 -《高中数学知识清单》

（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，解三角形 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题； （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题．今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理． 《高中数学知识清单》-40 -

知识精讲

第一节 任意角的三角函数

一、 任意角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角．旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫的顶点．

为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角．如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角． 二、 终边相同的角、区间角与象限角

角的顶点与原点重合，角的始边与称为非象限角．

终边相同的角是指与某个角具有同终边的所有角，它们彼此相差2kπ（kZ），即

x轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我

们就说这个角是第几象限角．要特别注意:如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，

=2kπ+,kZ，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等．

区间角是介于两个角之间的所有角，如π5ππ5π=,． 6666三、 弧度制

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，或1（单位可以省略不写）． 角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如−π，−2π等等，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，角的正负主要由角的旋转方向来决定．

角的弧度数的绝对值是：=l，其中，l是圆心角所对的弧长，r是半径． r角度制与弧度制的换算主要抓住180=π rad． 弧度与角度互换公式1 rad=180π0.01745rad． 57.30=5718、1=π180弧长公式：l=r（是圆心角的弧度数），11扇形面积公式：S=lr=r2．

22四、 三角函数定义

在的终边上任取一点P(a,b)，它与原点的距离r=a2+b20．过P作x轴的垂线，垂足为

M，则线段OM的长度为a，线段MP的长度为b．则sin=MP=b；cos=OM=a；

OPrOPrtan=MPb=． OMa利用单位圆定义任意角的三角函数，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么：（1）y叫做的正弦，记做sin，即sin=y； （2）x叫做的余弦，记做cos，即cos=x；

-41 -《高中数学知识清单》

（3）

yy叫做的正切，记做tan，即tan=(x0)．xx五、 三角函数线

三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法．利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便．

以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）．当角为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点P(x,y)，过点P作PM⊥x轴交x轴于点M，根据三角函数的定义：MP=y=sin；OM=x=cos．

我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关．当角的终边不在坐标轴时，以O为始点、

M为终点，规定：

当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有正值x；其中x为P点的横坐标．这样，无论那种情况都有

OM=x=cos同理，当角的终边不在x轴上时，以M为始点、P为终点，规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向，且有正值y；其中y为P点的横坐标．这样，无论那种情况都有MP=y=sin．像MP，OM这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段．

如上图，过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于轴，设它与的终边交于点T，请根据正切函数的定义与相似三角形的知识，借助有向线段OA、AT，我们有

tan=AT=yx我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT，分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．

-42 -《高中数学知识清单》

第二节 同角三角函数关系式及诱导公式

一、 同角三角函数关系式

sin2+cos2=1； tan=sincos使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法．几个常用关系式：sin+cos，sin−cos，sincos（三式之间可以互相表示）

(sin+cos)(sin−cos)二、 诱导公式

2=1+2sincos=1−2sincos2可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”．

诱导公式一：sin(+2kπ)=sin；cos(+2kπ)=cos，其中kZ 诱导公式二：sin(π+)=−sin；cos(π+)=−cos 诱导公式三：sin(−)=−sin；cos(−)=cos 诱导公式四：sin(π−)=sin；cos(π−)=−cos 诱导公式五：sin(2π−)=−sin；cos(2π−)=cos

－ π−π+2π−−sincos2kπ+(kZ)sincos−sincossin−cos−sin−cossincosπ−2cossin（1）要化的角的形式为kπ（k为常整数）；2k（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；

（3）sin(kπ+)=(−1)sin，cos(kπ+)=(−1)cos（kZ）；（4）sinx+kπππππ=cos−x=cosx−；cosx+=sin−x． 44444-43 -《高中数学知识清单》

第三节 三角函数的图像与性质

一、 三角函数的图像与性质

函数 性质 定义域 y=sinxy=cosxy=sinxy＝sin x y=tanxπxxkπ＋,kZ2RR图像 值域 对称轴 −1,1x=kπ+π（kZ） 2−1,1x=kπ（kZ） R无 对称中心 周期 单调减区间 (kπ,0)（kZ） 2π πkπ+,0（kZ） 22π kπ,0（kZ） 2π ππ（kZ） 2kπ−,2kπ+22π3π2kπ+,2kπ+（kZ） 22奇 2kπ,2kπ+π（kZ） 2kπ−π,2kπ（kZ） 偶 单调增区间 ππkπ−,kπ+22（kZ） 奇 奇偶性 -44 -《高中数学知识清单》

二、 五点法作图

（1）y=sinx的图像在0,2π上的五个关键点的坐标为

(0,0)，π3π,1，(π,0)，,−1，(2π,0)．

22（2）y=cosx的图像在0,2π上的五个关键点的坐标为

(0,1)，π3π,0，(π,−1)，,0，(2π,1)222π三、 y=Asin(x+)+B（A0，0）的性质

最大值是A+B，最小值是B−A，周期是T=像的对称轴是直线x+=kπ+四、 三角函数图像的变换

由y=sinx的图像变换出y=Asin(x+)+B的图像一般有两个途径途径一：先平移变换再周期变换（伸缩变换）

先将y=sinx的图像向左（0）或向右（0）平移个单位，再将图像上各点的横坐标变为原来的

1，频率是f=2π，相位是x+，初相是；其图

π（kZ），凡是该图像与直线y=B的交点都是该图像的对称中心． 2倍（0），便得y=Asin(x+)的图像．再将y=Asin(x+)图像上各点向上（B0）或者

向下（B0）平移B个单位，得到y=Asin(x+)+B的图像．

途径二：先周期变换（伸缩变换）再平移变换． 先将y=sinx的图像上各点的横坐标变为原来的平移

1倍（0），再沿x轴向左（0）或向右（0）

个单位，便得y=Asin(x+)的图像．再将y=Asin(x+)图像上各点向上（B0）或者向下（B0）平移B个单位，得到y=Asin(x+)+B的图像．

利用图像的变换作图像时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少．

-45 -《高中数学知识清单》

第四节 三角恒等变换

一、 两角和与差的三角函数

sin()=sincoscossin；cos()=coscossinsin；

tan()=tantan．

1tantan二、 二倍角公式

sin2=2sincos；

cos2=cos2−sin2=2cos2−1=1−2sin2；

tan2=2tan．

1−tan2三、 三角函数式的化简

常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用等．（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数． （1）降幂公式

sincos=11−cos21+cos2；cos2=． sin2；sin2=222（2）辅助角公式

asinx+bcosx=a2+b2sin(x+)，其中sin=ba+b22，cos=aa+b22．

-46 -《高中数学知识清单》

第五节 解三角形

一、 直角三角形中各元素间的关系

如图，在△ABC中，C=90，AB=c，AC=b，BC=a

AcbCaB（1）三边之间的关系：a2+b2=c2．（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A+B=90；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）

sinA=cosB=a，cosA=sinB=cba，tanA=． cb二、 斜三角形中各元素间的关系

如图，在△ABC中，A，

B，C为其内角，a，b，c分别表示A，B，C的对边．

AcBbaC（1）三角形内角和：A+B+C=π（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．

abc===2R．（R为外接圆半径）sinAsinBsinC（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．

-47 -《高中数学知识清单》

三、 三角形的面积公式：

（1）S△ABC=aha=bhb=chc（ha，hb，hc分别表示a，b，c上的高）；（2）S△ABC=1absinC=1bcsinA=1acsinB；

222（3）S△ABC=a2sinBsinCb2sinAsinCc2sinAsinB； ==2sin(B+C)2sin(A+C)2sin(A+B)（4）S△ABC=2R2sinAsinBsinC（（5）S△ABC=abc；

4RR为外接圆半径）

（6）S△ABC=p(p−a)(p−b)(p−c)，p=1(a+b+c)； 2（7）S△ABC=rp，p=四、 解三角形：

1(a+b+c)． 2由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形．

解斜三角形的主要依据是：在△ABC中，A，对边．

（1）角与角关系：A+B+C=π；

（2）边与边关系：a+bc，b+ca，c+ab，a−bc，b−ca，c−ab；（3）边与角关系：正弦定理

abc===2R（sinAsinBsinCB，C为其内角，a，b，c分别表示A，B，C的

R为外接圆半径）；

2222222222余弦定理c=a+b−2bccosC，b=a+c−2accosB，a=b+c−2bccosA．

它们的变形形式有：a=2RsinA，sinA=a，cosA=bsinBb+c2−a2． 2bc五、 三角形中的三角变换

三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点． 1、 角的变换

△ABC中，A+B+C=π，sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=−cosC，

tan(A+B)=-tanC，sinA+B=cosC，cos22A+BC=sin； 222、 三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理． 3、 S=1ah=1absinC=rp=22p(p−a)(p−b)(p−c)，其中r为三角形内切圆半径，

p为半周长．

4、 在△ABC中，熟记并会证明：A，

角形的充分必要条件是A，

B，C成等差数列的充分必要条件是B=60；△ABC是正三

B，C成等差数列且a，b，c成等比数列．

-48 -《高中数学知识清单》

要点解析

一、

几种终边在特殊位置时对应角的集合

角的终边所在位置 x轴正半轴 角的集合 =k360,kZ=k360+90,kZ=k360+180,kZ=k360+270,kZ=k180,kZ=k180+90,kZ=k90,kZy轴正半轴 x轴负半轴 y轴负半轴 x轴 y轴 坐标轴 二、

、、2之间的关系．

2若终边在第一象限，则终边在第一或第三象限；2终边在第一或第二象限或y轴正半轴．

2222若终边在第二象限，则终边在第一或第三象限；2终边在第三或第四象限或y轴负半轴． 若终边在第三象限，则终边在第二或第四象限；2终边在第一或第二象限或y轴正半轴． 若终边在第四象限，则终边在第二或第四象限；2终边在第三或第四象限或y轴负半轴． 三、

三角函数的求值类型有三类

（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；

（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如=(+)−，2=(+)+(−)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；

（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角． 四、

三角等式的证明

（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；

（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明． 五、

解斜三角形的常规思维方法是： （1）已知两角和一边（如A，

B，C），由A+B+C=π求C，由正弦定理求a，b；

（2）已知两边和夹角（如a，b，C），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用

A+B+C=π，求另一角；

-49 -《高中数学知识清单》

（3）已知两边和其中一边的对角（如a，b，A），应用正弦定理求B，由A+B+C=π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；

（4）已知三边a，b，c，应余弦定理求A，B，再由A+B+C=π，求角C．六、

解三角形中会用到的结论 （1）三角形内切圆的半径：r=a+b−c斜； 2S△，特别地，

r直=a+b+c2（2）三角学中的射影定理：在△ABC中，b=acosC+ccosA（3）两内角与其正弦值：在△ABC中，ABsinAsinB《高中数学知识清单》

-50 -高考特训

1.（2018·全国I【理】）

已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是________．

2.（2018·全国Ⅱ【理&文】）在ABC中，cosA.42C5，BC=1，AC=5，则AB=（ ） =25B.

30C.

29D.253.（2018·全国Ⅱ【理&文】）

若f(x)=cosx−sinx在−a,a是减函数，则a的最大值是（ ）A.

π4B.

π2C.

3π4D.π4.（2018·全国II【理】）

已知sin+cos=1，cos+sin=0，则sin(+)=________．

5.（2018·全国Ⅲ【理】）函数f(x)=cos3x+π在0,π上的零点个数为________．6-51 -《高中数学知识清单》

6.（2018·北京【理】） 设函数f(x)=cosx−小值为________．

ππ0（），若f(x)f对任意的实数x都成立，则的最647.（2018·江苏）

已知函数y=sin(2x+)（−________．

ππ）的图象关于直线x=对称，则的值为

3228.（2018·全国Ⅰ【理】）

在平面四边形ABCD中，ADC=90，A=45，AB=2，BD=5． （1）求cosADB；

（2）若DC=22，求BC．

9.（2018·北京【理】）

在ABC中，a=7，b=8，cosB=−（1）求A；

（2）求AC边上的高．

1． 710.（2018·江苏）

已知，为锐角，tan=（1）求cos2的值；（2）求tan(−)的值．

-52 -《高中数学知识清单》

54，cos(+)=−．

5311.（2019·全国Ⅰ【理】）

关于函数f(x)=sinx+sinx有下述四个结论： ①f(x)是偶函数②f(x)在区间π,π上单调递增 2③f(x)在[−π,π]有4个零点 ④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是（ ）

A.①②④ B.②④

C.①④

D.①③

12.（2019·全国Ⅱ【理】）下列函数中，以

πππ为周期且在区间,单调递增的是（ 242B.f(x)=sin2xC.f(x)=cosx）

D.f(x)=sinxA.f(x)=cos2x13.（2019·全国Ⅱ【理】）已知0,π，2sin2=cos2+1，则sin=（ 2B.

）

A.

1555C.

33D.

255-53 -《高中数学知识清单》

14.（2019·全国Ⅱ【理】）

ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b=6，a=2c，B=的面积为________．

π，则ABC315.（2019·北京【理】）

函数f(x)=sin2x的最小正周期是________．

216.（2019·浙江）

在ABC中，ABC=90，AB=4，BC=3，点D在线段AC上．若BDC=45，则BD=________，cosABD=________．

17.（2019·北京【理】）

在ABC中，a=3，b−c=2，cosB=−（1）求b，c的值；（2）求sin(B−C)的值．

1． 218.（2019·天津【理&文】）

C所对的边分别是a，b，3csinB=4asinC．c，在ABC中，内角A，已知b+c=2a， B，（1）求cosB的值；

（2）求sin2B+π的值． 6-54 -《高中数学知识清单》

19.（2019·全国Ⅰ【理】）

2ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB−sinC)=sinA−sinBsinC．

2（1）求A；

（2）若2a+b=2c，求sinC．

20.（2019·浙江）

设函数f(x)=sinx，xR．

（1）已知[0,2π)，函数f(x+)是偶函数，求的值；

（2）求函数y=fππx++fx+的值域．

1242221.（2020·天津） 已知函数f(x)=sinx+π．给出下列结论： 3①f(x)的最小正周期为2π ②fπ是f(x)的最大值2③把函数y=sinx的图象上所有点向左平移其中所有正确结论的序号是（ ） A.① B.①③

π个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象3C.②③

D.①②③

-55 -《高中数学知识清单》

22.（2020·北京）

若函数f(x)=sin(x+)+cosx的最大值为2，则常数的一个取值为________．

23.（2020·江苏） 已知sin2π2+=，则sin2的值是________． 4324.（2020·浙江）

已知tan=2，则cos2=________；tan−π=________． 425.（2020·全国Ⅰ【理】）

已知(0,π)，且3cos2−8cos=5，则sin=（ ）

A.

53B.

23C.

13D.

5926.（2020·全国Ⅱ【理】）若为第四象限角，则（ A.

）

C.

cos20B.

cos20sin20D.

sin20-56 -《高中数学知识清单》

27.（2020·全国Ⅲ【理】）在ABC中，cosC=A.

192，AC=4，BC=3，则cosB=（ 311B. C. 32）

D.

2328.（2020·全国Ⅲ【理】）已知2tan−tan+A.−2π=7，则tan=（ ） 4B.−1C.1

D.229.（2020·全国Ⅲ【理】）关于函数f(x)=sinx+1有如下四个命题：sinx①f(x)的图象关于y轴对称②f(x)的图象关于原点对称③f(x)的图象关于直线x=④f(x)的最小值为2

其中所有真命题的序号是________． 30.（2020·天津）

在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=22，b=5，c=13． （1）求角C的大小．（2）求sinA的值．（3）求sin2A+2对称

π的值． 4-57 -《高中数学知识清单》

第四章数列 高考导航

考试要求 命题走向 1．数列的概念和简单表示法；通过日常生活数列的基本概念 中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数； 2．通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式； 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．体会等差数列与一次函数的关系． 预测高考： 1．题型既有灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题； 2．知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题，还可能涉及部分考察证明的推理题． （1）题型以等比数列的公式、性质的灵活1．通过实例，理解等比数列的概念；等比数列 2．探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式； 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．体会等比数列与指数函数的关系． 应用为主的1~2道客观题目； （2）关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点； （3）解决问题时注意数学思想的应用，象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转化、分类讨论等，它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力． 1．数列是一种特殊的函数，而不等式则1．探索并掌握一些基本的数列求前n项和数列求和 的方法； 2．能在具体的问题情境中，发现数列的通项和递推关系，并能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题． 是深刻认识函数和数列的有效工具，三者的综合题是对基础和能力的双重检验，在三者交汇处设计试题，特别是代数推理题是高考的重点； 2．数列推理题是将继续成为数列命题的一个亮点，这是由于此类题目能突出考察学生的逻辑思维能力，能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度； -58 -《高中数学知识清单》

知识精讲

第一节 数列的基本概念

一、 数列的定义

按照一定顺序排列着的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项． 二、 数列的分类

分类原则 按项数分类 类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 按项与项之间的关系分类 递减数列 常数列 有界数列 按其他标准分类 摆动数列 三、 数列的表示方法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析法． 四、 数列的通项公式

如果数列an的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子an=f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 五、

满足条件 项数有限 项数无限 an+1anan+1anan+1=an存在正数M，使anM其中nN*an的符号正负相见，如1,−1,1,−1,......Sn与an的关系

S1,n=1已知Sn，则an=在数列an中， −SSn2n−1,naan−1aan−1若an最大，则n，若an最小，则nanan+1anan+1-59 -《高中数学知识清单》

第二节 等差数列与等比数列

一、 等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母或an+1−an=d（n1）．二、 等差数列的通项公式

an=a1+(n−1)d；

d表示．用递推公式表示为an−an−1=d（n2）

说明：等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：d0为递增数列，d=0为常数列，d0为递减数列．

三、 等差中项的概念：

定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．其中A=差数列）A=a+b（a，A，b成等2a+b． 2四、 等差数列的前n和的求和公式

Sn=n(a1+an)n(n−1)=na1+d．22五、 等比数列定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等．．．．．．比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q0），即：an+1=q（q0）数列．

an六、 等比数列通项公式为：

．an=a1qn−1（a1q0）

说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比q=1时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若an为等比数列，则七、 等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）． 八、 等比数列前n项和公式

一般地，设等比数列an的前n项和是Sn=a1+a2+a3++an，当q1时，Sn=am=qm−n． ana1(1−qn)1−q或

Sn=a1−anq；当q=1时，Sn=na1（错位相减法）．1−q说明：（1）a1,q,n,Sn和a1,an,q,Sn各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是qn，通项公式中是（3）应用求和公式时q1，必要时应讨论q=1的情况． qn−1不要混淆；

-60 -《高中数学知识清单》

第三节 数列的求和

一、 数列求通项与和

S,n=1（1）数列前n项和Sn与通项an的关系式：an=1．

S−S,n2n−1n（2）求通项常用方法

①作新数列法．作等差数列与等比数列；

②累差叠加法．最基本的形式是：an=(an−an−1)+(an−1+an−2)+③归纳、猜想法．（3）数列前n项和

①重要公式：1+2+3++(a2−a1)+a1；

1+n=n(n+1)212+22+1+2+33+n2=+n=3n(n+1)(2n+1)6n2(n+1)42②等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；③等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；④裂项求和

将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)−f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法．用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：

an=1(An+B)(An+C)=111111=−−，，nn!=(n+1)!−n!，C−BAn+BAn+Cn(n+1)nn+1−1rrCrn−1=Cn−Cn−1，

n11=−等．

(n+1)!n!(n+1)!⑤错位相消法

对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法．an=bncn， bn为等差数列，cn为等比数列，记Sn=b1c1+b2c2+位相减即可．

⑥并项求和

把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn．

数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法． ⑦通项分解法：an=bncn 二、 递归数列

数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f(an+k−1,an+k−2,,an)称为数列的递归关系．由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列．如由an+1=2an+1，及a1=1，确定的数列2n−1即为递归数列．

递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：

+bn−1cn−1+bncn，则qSn=b1c2++bn−1cn+bncn+1，错

-61 -《高中数学知识清单》

（1）归纳、猜想、数学归纳法证明；（2）迭代法；

（3）代换法．包括代数代换，对数代数，三角代数；

（4）作新数列法．最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题．

《高中数学知识清单》-62 -

要点解析

一、 等差数列的常用性质

（1）在等差数列an中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；

（2）在等差数列an中，相隔等距离的项组成的数列是AP，如：a1，a3，a5，a7，

a13，a18，

；a3，a8，

；

（3）在等差数列an中，对任意m，nN*，an=am+(n−m)d，d=an−am（mn）； n−m（4）在等差数列an中，若m，n，p，qN*且m+n=p+q，则am+an=ap+aq；

（5）设数列{an}是等差数列，且公差为d，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n项，则①S奇−S偶=nd；②

S奇anS奇n==；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有2n−1项，则①S偶−S奇=an=a中；②．

S偶n−1S偶an+1（1）定义法：对于n2的任意自然数，验证an−an−1为同一常数； （2）等差中项法：验证2an−1=an+an−2（n3，nN）都成立； （3）通项公式法：验证an=pn+q； （4）前n项和公式法：验证Sn=an2+bn．

注 ：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．

*二、 等差数列的判断方法

三、 数列设元技巧．

（1）若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为（2）若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 四、 数列前n项和最值的求法

（1）a10，d0时，Sn有最大值；a10，d0时，Sn有最小值；（2）Sn最值的求法：①若已知Sn，可用二次函数最值的求法（nN*）；②若已知an，则Sn取得最值时n的值（nN*）可如下确

，a−2d，a−d，a，a+d，a+2d，，a−3d，a−d，a+d，a+3d，

． ，其余

an0an0定：或．

00aan+1n+1五、 等比数列的知识要点

（1）掌握等比数列定义

2an+1=anan+2来判断；

an+1（nN*），同样是证明一个数列是等比数列的依据，也可由=q（常数）

an（2）特别要注意等比数列前n项和公式应分为q=1与q1两类，当q=1时，Sn=na1，当q1时，

Sn=a1(1−qn)1−q，Sn=a1−anq．

1−q-63 -《高中数学知识清单》

六、 等比数列的判定方法

①定义法：对于数列an，若

an+1，则数列an是等比数列； =q（q0）

an2②等比中项：对于数列an，若anan+2=an，则数列an是等比数列． +1七、 等比数列的性质

①等比数列任意两项间的关系：如果an是等比数列的第n项，am是等比数列的第m项，且mn，公比为q，则有an=amqn−m；

②

对于等比数列an，若n+m=u+v，则anam=auav，也就是：a1an=a2an−1=a3an−2=a1an如图所示：a1,a2,a3,③

,an−2,an−1,an；

a2an−1若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*，Sk0，那么Sk，S2k−Sk，S3k−S2k，成等比数列．

如下图所示：

S3ka1+a2+a3+Sk+ak+ak+1++a2k+a2k+1++a3kS2k−SkS3k−S2k八、 数列求和的常用方法

（1）公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列；

c（2）裂项相消法：适用于其中an是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含

aann+1阶乘的数列等；

（3）错位相减法：适用于anbn，其中an是等差数列，bn是等比数列． （4）倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法．（5）分组求和法．（6）累加（乘）法等．

-64 -《高中数学知识清单》

高考特训

1.（2018·全国Ⅰ【理】）

记Sn为等差数列an的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（ ） A.−12B.−10C.10

D.122.（2018·全国Ⅰ【理】）

记Sn为数列an的前n项和，若Sn=2an+1，则S6=________．

3.（2018·北京【理】）

设an是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则an的通项公式为________ .

4.（2018·上海）

记等差数列an的前n项和为Sn，若a3=0，a6+a7=14，则S7=________．

5.（2018·全国Ⅱ【理&文】）

记Sn为等差数列an的前n项和，已知a1=−7，S3=−15． （1）求an的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值．

-65 -《高中数学知识清单》

6.（2019·全国Ⅲ【理&文】）

等比数列an中，a1=1，a5=4a3． （1）求an的通项公式；

（2）记Sn为an的前n项和，若Sm=63，求m．

7.（2019·全国Ⅰ【理】）

设Sn为等差数列an的前n项和，已知S4=0，a5=5，则（A.a n=2n−5） D. Sn=an=3n−10B. Sn=2n−8nC.

212n−2n28.（2019·全国Ⅰ【理】）

记Sn为等比数列an的前n项和．若a1=12，a4=a6，则S5=________． 39.（2019·全国Ⅲ【理&文】）

已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=（ ） A.16

B.8C.4D.210.（2019·全国Ⅲ【理】）

记Sn为等差数列an的前n项和．若a10，a2=3a1，则

S10=________． S5-66 -《高中数学知识清单》

11.（2019·北京【理】）

设等差数列an的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=________，Sn的最小值为________．

12.（2019·上海）

已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn+an=2，则S5=________．

13.（2019·全国Ⅱ【理】）

已知数列an和bn满足a1=1，b1=0，4an+1=3an−bn+4，4bn+1=3bn−an−4．（1）证明：an+bn是等比数列，an−bn是等差数列； （2）求an和bn的通项公式．

14.（2020·北京）

在等差数列an中，a1=−9，a5=−1，记Tn=a1a2an（n=1，2，

），则数列Tn（ ）

A.有最大项， B. 有最大项， C. 无最大项， D. 无最大项，无最小项 有最小项 无最小项 有最小项

15.（2020·江苏）

设an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列．已知an+bn的前n项和

Sn=n2−n+2n−1（nN），则d+q的值是________．

-67 -《高中数学知识清单》

16.（2020·浙江） 已知数列an满足an=n(n+1)，则S3=________． 217.（2020·全国Ⅱ【理】）

数列an中，a1=2，am+n=aman，若ak+1+ak+2+A.2B.3C.4+ak+10=215−25，则k=（

D.5）

18.（2020·山东&海南）

将数列2n−1与3n−2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前n项和为________．

19.（2020·全国Ⅲ【理】）

设数列an满足a1=3，an+1=3an−4n．

（１）计算a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明． （２）求数列2an的前n项和Sn．

n-68 -《高中数学知识清单》

第五章 平面向量 高考导航

考试要求 （1）平面向量的实际背景及基本概念；通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示； 平面向量的运算 （2）向量的线性运算；通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；了解向量的线性运算性质及其几何意义． （3）平面向量的基本定理及坐标表示；了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 命题走向 本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小．以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等．此类题难度不大，分值5~9分． 预测高考： （1）题型可能为1道选择题或1道填空题； （2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题． 本讲以选择题、填空题考察本章的基本1．平面向量的数量积；通过物理中\"功\"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意平面向量的数量积 概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用．重点体会向量为代数几何的结义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系；合体，此类题难度不大，分值5~9分． 平面向量的综合问题是“新热点”题型，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主． 2．向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力． 预测高考： （1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目． （2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质； -69 -《高中数学知识清单》

知识精讲

第一节 平面向量概念及线性运算

一、 向量的有关概念 1、 向量

既有大小又有方向的量．向量一般用a，b，c，

来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母

表示，如：几何表示法AB，a；坐标表示法a=xi+yj=(x,y)．向量的大小即向量的模（长度），记作

AB或a．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

2、 零向

，其方向是任意的，0与任意向量平行，向量0（注意与0的区别）

a=0a=0．由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题

长度为0的向量，记为

中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件． 3、 单位向量

模为1个单位长度的向量，向量a0为单位向量a0=1． 4、 平行向量

方向相同或相反的非零向量．任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a∥b．由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量．

数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． 5、 相等向量

长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为a=b．大小相等，方向相同

x1=x2x,y=x,y． (11)(22)y=y21二、 向量的线性运算 1、 向量加法

求两个向量和的运算叫做向量的加法．

设AB=a，BC=b，则a+b=AB+BC=AC． 规定：（1）0+a=a+0=a；

（2）向量加法满足交换律与结合律；

2、 向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”

（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量．

（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：

-70 -《高中数学知识清单》

AB+BC+CD+3、 向量的减法

+PQ+QR=AR，但这时必须“首尾相连”．

①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量．记作−a，零向量的相反向量仍是零向量．关于相反向量有：（i）−(−a)=a；（ii）a+(−a)=(−a)+a=0；（iii）若a，b互为相反向量，则a=−b，b=−a，a+b=0．

②向量减法

向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：a−b=a+(−b)求两个向量差的运算，叫向量的

减法．

③作图法：a−b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a，b有共同起点）．4、 实数与向量的积

①实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a=a；

（Ⅱ）当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当=0时，

a=0，方向是任意的．

②数乘向量满足交换律、结合律与分配律．5、 两个向量共线定理

向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a．

-71 -《高中数学知识清单》

第二节 平面向量基本定理及坐标运算

一、 平面向量的基本定理

如果e1，

那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1e2是一个平面内的两个不共线向量，

，

2，使：a=1e1+2e2，其中不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

二、 平面向量的坐标表示 1、 平面向量的坐标表示

在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，

j作为基底由平面向量的基本定理

知，该平面内的任一向量a可表示成a=xi+yj，由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫作a在y轴上的坐标．

规定：

（1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；

（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系．2、 平面向量的坐标运算

①若a=(x1,y1)，

b=(x2,y2)，则ab=(x1x2,y1y2)；

，

则AB=(x2−x1,y2−y1)；

②若A(x1,y1)，B(x2,y2)③若a=(x,y)，则a=(x,y)；④

若

a=(x1,y1)，

b=(x2,y2)，则a∥bx1y2−x2y1=0．

-72 -《高中数学知识清单》

第三节 平面向量的数量积

一、 向量的数量积 1、 两个非零向量的夹角

已知非零向量a与b，作OA=a，OB=b，则AOB=说明：（1）当（

0π）叫a与b的夹角．

=0时，a与b同向；（2）当=π时，a与b反向；

π（3）当=时，a与b垂直，记a⊥b；

2（4）注意两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围02、 数量积的概念

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则ab=abcos叫做a与b的数量积（或内积）．规定0a=0；

向量的投影：bcos=π．

ab，称为向量b在a方向上的投影．投影的绝对值称为射影．a3、 数量积的几何意义：ab等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积． 4、 向量数量积的性质

①向量的模与平方的关系：aa②乘法公式成立

=a2=a．

2(a+b)(a−b)=a2−b2=a2−b2； (ab)2=a22ab+b2=a22ab+b2；

③平面向量数量积的运算律交换律成立：ab=ba；

对实数的结合律成立：(a)b=(ab)=a(b)（

R； ）

分配律成立：(ab)c=ac+bc=c(a+b)．④向量的夹角：cos=cosa,b=ab=abx1x2+y1y22x1+2y12x2+2y2．

当且仅当两个非零向量a与b同方向时，非零向量之间不谈夹角这一问题． 5、 两个向量的数量积的坐标运算

已知两个向量a=(x1,y1)，

=0，当且仅当a与b反方向时=π，同时0与其它任何

b=(x2,y2)，则ab=x1x2+y1y2．

6、 垂直：如果a与b的夹角为90则称a与b垂直，记作a⊥b．

两个非零向量垂直的充要条件：a⊥bab=0x1x2+y1y2=0 二、 平面内两点间的距离公式

设a=(x,y)，则

a=x2+y2或a=x2+y2．

-73 -《高中数学知识清单》

2如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，那么

a=(x1−x2)2+(y1−y2)2（平面内两点间的距离公式）．

《高中数学知识清单》

-74 -要点解析

一、 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定；

（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积ab，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替；

（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出

b=0，因为其中cos有可能为0；

（4）已知实数abcb0 ，若ab=cb，则a=c．但是ab=cb，不能得到a=c；

，，（）

（5）在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是(ab)ca(bc)，显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线． 二、 平面向量数量积的运算律

（1）结合律不成立：(ab)ca(bc)；（2）消去律不成立：ab=cb不能得到a=c；（3）ab=0不能得到a=0或b=0． 三、 向量数量积的应用

向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视． 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直； 四、 向量中的数学方法

①数形结合的思想方法．

由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识．

②化归转化的思想方法．

向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式aa=a2，沟通了向量与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决．

③分类讨论的思想方法．

如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量a在b方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的随分点P的位置不同，可以大于零，也可以小于零．

-75 -《高中数学知识清单》

高考特训

1.（2018·全国I【理&文】）

在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=（ A.

）

31AB−AC44B.

13AB−AC44C.

31AB+AC44D.

13AB+AC442.（2018·全国Ⅱ【理&文】）

已知向量a，b满足a=1，ab=−1，则a(2a−b)=（ A.4B.3C.2）

D.03.（2018·全国Ⅲ【理&文】）

已知向量a=(1,2)，b=(2,−2)，c=(1,)．若c(2a+b)，则=________．

4.（2018·北京【理】）

设a，b均为单位向量，则“|a−3b|=3a+b”是“a⊥b”的（ A.充分而不必要条件

C.充分必要条件

）

B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

5.（2019·全国I【理&文】）

已知非零向量a，b满足a=2b，且(a−b)⊥b，则a与b的夹角为（ ）A.

π6B.

π3C.

2π3D.

5π6-76 -

《高中数学知识清单》

6.（2019·全国Ⅱ【理】）

已知AB=(2,3)，AC=(3,t)，BC=1，则ABBC=（ ） A.−3B.−2C.2D.37.（2019·全国Ⅲ【理】）

已知a，b为单位向量，且ab=0．若c=2a−5b，则cosa,c=________．

8.（2019·北京【理】）

设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“AB+ACBC”的（ A.充分而不必要条件

C.充分必要条件

B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

）

9.（2019·天津【理】）

在四边形ABCD中，ADBC，AB=23，AD=5，A=30，点E在线段CB的延

长线上，且AE=BE，则BDAE=________．

10.（2020·全国Ⅰ【理】）

设a，b为单位向量，且a+b=1，则a−b=________．

11.（2020·全国Ⅱ【理】）

已知单位向量a，b的夹角为45，ka−b与a垂直，则k=________．

-77 -《高中数学知识清单》

12.（2020·北京）

已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP=1AB+AC，则PD=________；2()PBPD=________．

13.（2020·山东）

已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则APAB的取值范围是（ A.(−2,6)B.(−6,2)C.(−2,4)D.(−4,6)）

14.（2020·浙江）

设e1，e2为单位向量，满足2e1−e22，a=e1+e2，b=3e1+e2，设a，b的夹角为

，则cos2的最小值为________．

-78 -《高中数学知识清单》

第六章 解析几何 高考导航

考试要求 命题走向 直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程． 预测对本讲的考察是： （1）2道选择或填空，解答题多与其他知识联合考察，本讲对于数形结合思想的考察也会是一个出题方向； （2）热点问题是直线的倾斜角和斜率、直线的几种方程形式和求圆的方程． （1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素； （2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用直线方程 代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式； （3）根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系； （4）回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程． 本讲考察重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系（特别是弦长问题），此类问题难度属1．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；2．探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距直线与圆 离公式，会求两条平行直线间的距离； 3．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系； 4．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题； 5．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想． 于中等，一般以选择题的形式出现，有时在解析几何中也会出现大题，多考察其几何图形的性质或方程知识． 预测对本讲的考察是： （1）一个选择题或一个填空题，解答题多与其它知识联合考察； （2）热点问题是直线的位置关系、借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系，注重此种思想方法的考察也会是一个命题的方向； （3）本讲的内容考察了学生的理解能力、逻辑思维能力、运算能力． -79 -《高中数学知识清单》

1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性圆锥曲线 质； 3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质． 4．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想； 5．掌握直线与圆锥曲线的位置关系判定及其相关问题． 本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有2～3道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质．圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法． 近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以压轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力．但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2018年高考对本讲的考察，仍1．由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质曲线方程 问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练； 2．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想； 3．了解圆锥曲线的简单应用． 将以以下三类题型为主． 1．求曲线（或轨迹）的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力； 2．与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系． -80 -《高中数学知识清单》

知识精讲

第一节 直线方程及位置关系

一、 直线方程 1、 直线的倾斜角

一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为0,π)．2、 直线的斜率

当直线的倾斜角不是90时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=tan；当直线的倾斜角等于90时，直线的斜率不存在．

过两点P(x1,y1)，

P(x2,y2)（

x1x2的直线的斜率公式:k=tan=）

y2−y1（若x1x2，则直线x2−x1．P1P2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90）3、 直线方程的五种形式

名称 斜截式 方程 说明 适用条件 倾斜角为90的直线不能用此式 倾斜角为90的直线不能用此式 与两坐标轴平行的直线不能用此式 过(0,0)及与两坐标轴平行的直线不能用此式 y=kx+bk——斜率 b——纵截距 点斜式 y−y0=k(x−x0)y−y1x−x1=y2−y1x2−x1(x0,y0)——直线上 已知点，k——斜率两点式 (x1,y1)，(x2,y2)是直线上两个已知点 截距式 xy+=1abAx+By+C=0a——直线的横截距 b——直线的纵截距 ACC−,−,−分别为斜率、横BAB截距和纵截距 一般式 A、B不能同时为零 注意：直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线． 4、 中点坐标求法

若点p1,p2的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，线段p1p2的中点M的坐标为(x0,y0)，则

x+x2x0=12y=y1+y202二、 两条直线的位置关系 1、 两条直线平行

对于两条不重合的直线l1,l2，其斜率分别为k1,k2，则有l1∥l2k1=k2，特别地，当直线l1,l2的斜率

-81 -《高中数学知识清单》

都不存在时，l1,l2的关系为平行． 2、 两条直线垂直

对于两条不重合的直线l1,l2，其斜率分别为k1,k2，则有l1⊥l2k1k2=−1，特别地，如果l1,l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1,l2的关系为垂直． 三、 两条直线相交

Ax+B1y+C1=0交点：直线l1：A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组1的解

A2x+B2y+C2=0一一对应．

相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解． 四、 三种距离公式

（1）平面上的两点P(x1−x2)2+(y1−y2)2，特别地，原点1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|PP12|=O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|=x2+y2．

（2）点P0(x0,y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离d=|Ax0+By0+C|A2+B2．

（3）两条平行线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0间的距离为d=|C1−C2|A2+B2．

第二节 圆的方程及位置关系

一、 圆的方程

222圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为(x−a)+(x−b)=r：特殊地，当a=b=0时，圆心在原222点的圆的方程为：x+y=r．

DE圆的一般方程x+y+Dx+Ey+F=0，圆心为点(−,−)，半径r=2222D2+E2−4F，其中

2D2+E2−4F＞0．

2二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，表示圆的方程的充要条件是：①、x2项y项的系数相

0 ．同且不为0，即A=C0；②、没有xy项，即B=0；③、D2+E2−4AF＞二、 直线与圆的位置关系

1、 根据圆心到直线的距离判断位置关系

222直线Ax+By+C=0与圆(x−a)+(y−b)=r的位置关系有三种

（1）若d=Aa+Bb+CA2+B2，dr相离0；

（2）d=r相切=0； （3）dr相交0． 2、 根据直线与圆的方程判断位置关系

-82 -《高中数学知识清单》

Ax+By+C=02x+y2+Dx+Ey+F=0联立方程组求解，通过解的个数来判断：

（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交；（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；

即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心C到直线l的距离为d，则

直线与圆的位置关系满足以下关系：相切d=rΔ＝0；相交d0；相离d>rΔ<0．三、 圆与圆的位置关系

设两圆圆心分别为O1,O2，半径分别为r1,r2，OO12=d．

外离两条公切线 d=r1+r2外切三条公切线

dr1+r2r1−r2dr1+r相交两条公切线

d=r1−r2内切一条公切线 0dr1−r2内含无公切线

第三节 圆锥曲线

一、 椭圆 1、 椭圆概念

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距．若M为椭圆上任意一点，则有|MF1|+|MF2|=2a．

x2y2y2x2椭圆的标准方程为：2+2=1（ab0）（焦点在x轴上）或2+2=1（ab0）（焦点在y

abab轴上）．

注：①以上方程中a,b的大小：ab0，其中c2=a2−b2；

x2y2y2x22②在2+2=1和2+2=1两个方程中都有ab0的条件，要分清焦点的位置，只要看x2和yababx2y2+=1（m0，n0，mn）当mn时表示焦点在x轴上的椭圆；当的分母的大小．例如椭圆

mnmn时表示焦点在y轴上的椭圆．

2、 椭圆的性质

x2y2①范围：由标准方程2+2=1知|x|a，|y|b，说明椭圆位于直线x=a，y=b所围成的矩形

ab里；

②对称性：在曲线方程里，若以−y代替y方程不变，所以若点(x,y)在曲线上时，点(x,−y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以−x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称．若同时以−x代替x，

−y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称．

-83 -《高中数学知识清单》

所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称．这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；

③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标．在椭圆的标准方程中，令x=0，得y=b，则B1(0,−b)，B2(0,b)是椭圆与顶点．

同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在RtOB2F2中，|OB2|=b，|OF2|=c，

222|B2F2|=a，且|OF2|2=|B2F2|2−|OB2|2，即c=a−c；

y轴的两个交点．同理令y=0得x=a，即

A1(−a,0)，A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点．所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的

④离心率：椭圆的焦距与长轴的比e=c叫椭圆的离心率．∵ac0，∴0e1，且e越接近1，ac就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，

222这时椭圆越接近于圆．当且仅当a=b时，c=0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x+y=a．

二、 双曲线 1、 双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（||PF1|−|PF2||=2a）．

注意：①上式中是差的绝对值，在02a|F1F2|条件下；|PF1|−|PF2|=2a时为双曲线的一支（含F2的一支）；|PF2|−|PF1|=2a时为双曲线的另一支（含F1的一支）；②当2a=|F1F2|时，||PF1|−|PF2||=2a表示两条射线；③当2a|F1F2|时，④两定点F1,F2叫做双曲线的焦点，||PF1|−|PF2||=2a不表示任何图形；

|F1F2|叫做焦距．

2、 椭圆和双曲线比较：

椭 定义 方程 焦点 圆 双 曲 线 |PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|)x2y2+=1 a2b2x2y2+=1 b2a2||PF1|−|PF2||=2a(2a|F1F2|) x2y2−=1 a2b2y2x2−=1 a2b2F(c,0) F(0,c) F(c,0) F(0,c) 注意：如何用方程确定焦点的位置！ 3、 双曲线的性质 x2y2①范围：从标准方程2−2=1，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线x=a的外侧．即

abx2a2，xa即双曲线在两条直线x=a的外侧．

x2y2②对称性：双曲线2−2=1关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原

abx2y2点是双曲线2−2=1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．

ab-84 -《高中数学知识清单》

③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点．在双曲线所以令y=0得x=a，因此双曲线和

x2y2对称轴是x,y轴，−=1的方程里，

a2b222xyx轴有两个交点A1(−a,0)A2(a,0)，他们是双曲线2−2ab=1的顶点．

令x=0，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点．

1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点．

2）实轴：线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长．虚轴：线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长．

④渐近线：注意到双曲线中的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线．从

x2y2图上看，双曲线2−2=1的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近．

ab4、 等轴双曲线：

1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．定义式：a=b； 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：y=x ；（2）渐近线互相垂直．

注意以上几个性质与定义式彼此等价．亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立．

223）注意到等轴双曲线的特征a=b，则等轴双曲线可以设为：x−y=(0)，当0时交点在

x轴，当0时焦点在y轴上．

x2y2y2x2−=1与−=1的区别：三个量a,b,c中a,b不同（互换）c相同，还有焦点所在的坐⑥注意

169916标轴也变了． 三、 抛物线 1、 抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直线l上）．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．

方程y2=2px(p0)叫做抛物线的标准方程．

p，0），它的准线方程是2注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（

x=−p ； 22、 抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程

222还有其他几种形式：y=−2px，x=2py，x=−2py．这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以

及准线方程如下表：

标准方程 y2=2px(p0)y2=−2px(p0)x2=2py(p0)x2=−2py(p0)-85 -《高中数学知识清单》

图形 焦点坐标 准线方程 范围 对称性 顶点 离心率 p(,0)2x=−p2p(−,0)2p(0,)2y=−p2p(0,−)2y=p2x=p2x0x轴 (0,0)x0x轴 (0,0)y0 y0 y轴 (0,0)y轴 (0,0)e=1 e=1 e=1 e=1 说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调焦点到准线的距离．

p的几何意义：是

第四节 直线与圆锥曲线的位置关系

一、 直线与圆锥曲线的位置关系

从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点．直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究．因为方程组解的个数与交点的个数是一样的．

直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可生归纳为：

设直线：Ax+By+C=0，圆锥曲线C:f(x,y)=0，由f(x,y)=0，消去y，得到

Ax+By+C=0＞0相交ax2+bx+c=0,=b2−4ac,a0 ＜0相离

=0相切注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件． 二、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式

设直线l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P，且由1(x1,y1),P2(x2,y2)消去y，得到ax2+bx+c=0,=b2−4ac,a0

弦长公式为：

F(x,y)=0，

y=kx+n(1+k2)d=(x1−x2)+(y1−y2)=(1+k)(x1−x2)==1+k2．2aa2222-86 -《高中数学知识清单》

2或d=(1+k2)(x1+x2)−4x1x2焦点弦长：

|PF|=e（点P是圆锥曲线上的任意一点，F是焦点，d是P到相应于焦点F的准线的d距离，e是离心率）．

第五节 曲线方程

一、 曲线方程

1、 求曲线（图形）方程的方法及其具体步骤如下：

步骤 1、“建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标 含义 建立适当的直角坐标系，用说明 (1)所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点．没有给出坐标系，首先要选取适当的坐标系． 这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析题意，使写出的条件简明正确． 常常用到一些公式． 要注意同解变形． 化简的过程若是方程的同解变5、证明 证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 形，可以不要证明，变形过程中产生不增根或失根，应在所得方程中删去或补上（即要注意方程变量的取值范围）． 这五个步骤（不包括证明）可浓缩为五字“口诀”：建设现（限）代化” 2、 求曲线方程的常见方法：

直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解．这是求曲线方程的基本方法． 转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法．即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解．

几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法．

参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x，y联系起来，得到用参数表示的方程．如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程． 二、 圆锥曲线综合问题

1、 圆锥曲线中的最值问题、范围问题

通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题．这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决．解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来． 2、 圆锥曲线的弦长求法：

(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标． 写出适合条件P的点的集合2、现（限）：由限制条件，列出几何等式． P=M|P(M)用坐标法表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0 化方程f(x，y)=0为最简形式． 3、“代”：代换 4、“化”：化简 -87 -《高中数学知识清单》

设圆锥曲线C∶f(x,y)=0与直线l：y=kx+b相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则弦长|AB|为：

|AB|=1+k2|x1−x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2|AB|=1+11|y−y|=1+(y1+y2)2-4y1y21222kk若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，AB=AF+BF．

在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围． 3、 对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题

它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法． 4、 实际应用题

数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等．

涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：

建立坐标系 转化成数学问题 实际问题 数学模型方程 模型的解 翻译回去 讨论方程的解 要点解析

一、 三种对称关系 （1）点关于点的对称

点P(x0,y0)关于A(a,b)的对称点为P'(2a−x0,2b−y0)（2）点关于直线的对称

设点P(x0,y0)关于直线y=kx+b的对称点P'(x',y')x'+x0y'+y0=k+b22则有可求出x',y'

y'−y0k=−1x'−x0（3）直线关于直线的对称

若已知直线l1与对称轴l相交，则交点必在与l1对称的直线l2上，然后再求出l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2，那么经过交点及点P2的直线就是l2；

若已知直线l1与对称轴l平行，则与l1对称的直线和l1分别到直线l的距离相等，由平行直线系和两

-88 -《高中数学知识清单》

条平行线间的距离即可求出l1的对称直线． 二、 确定圆的方程的方法

（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；

（2）根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；（3）解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．

注意：（1）求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个方程． （2）过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．

（3）确定圆的方程时，常用到以下三个性质 ：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 三、 焦半径公式

抛物线上一点P(x1,y1)，F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞： 0）

p;y2=−2px:PF=−x1+2px2=2py:PF=y1+;x2=−2py:PF=−y1+2y2=2px:PF=x1+四、 直线与圆锥曲线常用技巧

p2p2当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间关系的灵活转化，往往就能事半功倍； 五、 圆锥曲线中的数学思想

①方程思想，解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量．

②用好函数思想方法

对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及a，b，c，e之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效．

③掌握坐标法

坐标法是解析几何的基本方法，因此要加强坐标法的训练． ④对称思想

由于圆锥曲线和圆都具有对称性质，可使分散的条件相对集中，减少一些变量和未知量，简化计算，提高解题速度，促成问题的解决．

⑤参数思想

参数思想是辩证思维在数学中的反映，一旦引入参数，用参数来划分运动变化状态，利用圆、椭圆、双

（x0、y0）曲线上点用参数方程形式设立或即可将参量视为常量，以相对静止来控制变化，变与不变的转化，

可在解题过程中将其消去，起到“设而不求”的效果．

⑥转化思想

解决圆锥曲线时充分注意直角坐标与极坐标之间有联系，直角坐标方程与参数方程，极坐标之间联系及转化，利用平移得出新系坐标与原坐标之间转化，可达到优化解题的目的．

除上述常用数学思想外，数形结合、分类讨论、整体思想、构造思想也是不可缺少的思想方法，复习也应给予足够的重视．

-89 -《高中数学知识清单》

高考特训

1.（2018·全国Ⅰ【理】）

设抛物线C：y=4x的焦点为F，过点(−2,0)且斜率为

22的直线与C交于M，N两点，3则FMFN=（ A.5） B.6C.7D.82.（2018·全国Ⅰ【理】）

x22已知双曲线C：−y=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐

3近线的交点分别为M，N．若OMN为直角三角形，则MN=（ ） A.

32B.3C.23D.43.（2018·全国Ⅱ【理&文】）

x2y2双曲线2−2=1（a0，b0）的离心率为3，则其渐近线方程为（

abA.y=2xB.y=3xC. y=）

2x2D. y=3x2-90 -《高中数学知识清单》

4.（2018·全国II【理】）

x2y2已知F1，F2是椭圆C：2+2=1（ab0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点Pab在过A且斜率为（ ） A.

3的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P=120，则C的离心率为623B.

12C.

13D.

145.（2018·全国III【理】）

x2y2设F1，F2是双曲线C：2−2=1（a0，b0）的左、右焦点，O是坐标原点，过F2ab作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若PF1=A. 5B.2C.

6OP，则C的离心率为（

）

3D.

26.（2018·全国Ⅲ【理&文】）

直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x−2)+y=2上，则

22ABP面积的取值范围是（

A. 2,6B. 4,8）

C.2,32D. 22,327.（2018·全国III【理】）

已知点M(−1,1)和抛物线C：y=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两

2点，若AMB=90，则k=________．

-91 -《高中数学知识清单》

8.（2018·全国III【理】）

x2y2=1交于A，B两点，已知斜率为k的直线l与椭圆C：+线段AB的中点为M(1,m)43（m0）． （1）证明：k−1； 2（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP+FA+FB=0，证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差．

9.（2018·全国II【理&文】）

2设抛物线C：y=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，

AB=8．

（1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

10.（2018·全国I【理&文】）

设抛物线C：y=2x，点A(2,0)，B(−2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．

2（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：ABM=ABN．

11.（2019·全国Ⅰ【理&文】）

已知椭圆C的焦点为F1(−1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若

AF2=2F2B，AB=BF1，则C的方程为（

）

-92 -

《高中数学知识清单》

x2A. +y2=12x2y2B. +=132x2y2C. +=143x2y2D. +=15412.（2019·全国Ⅰ【理】）

x2y2已知双曲线C：2−2=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与

abC的两条渐近线分别交于A，B两点．若F1A=AB，F1BF2B=0，则C的离心率为

________．

13.（2019·全国Ⅱ【理&文】）

x2y2若抛物线y=2px（p0）的焦点是椭圆+=1的一个焦点，则p=（ ）

3pp2A.2B.3C.4D.814.（2019·全国Ⅱ【理&文】）

x2y2设F为双曲线C：2−2=1（a0，b0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径

ab的圆与圆x+y=a交于P，Q两点，若PQ=OF，则C的离心率为（ A.

222）

2B. 3C.2D. 515.（2019·全国Ⅲ【理】）

-93 -《高中数学知识清单》

x2y2−=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若双曲线C：42PO=PF，则PFO的面积为（ ）

A.

324B.

322C.22D.3216.（2019·全国Ⅲ【理&文】）

x2y2+=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若MF1F2设F1，F2为椭圆C：

3620为等腰三角形，则M的坐标为________．

17.（2019·北京【理】）

x2y21已知椭圆2+2=1（ab0）的离心率为，则（ ）

ab2A.a2=2b2B.3 a2=4b2C.a=2bD.3a=4b18.（2019·全国Ⅲ【理】）

x21已知曲线C：y=，D为直线y=−上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，

22B．

（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E0,的面积．

-94 -《高中数学知识清单》

5且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE为圆心的圆与直线AB相切，

219.（2019·全国Ⅱ【理】）

已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−的轨迹为曲线C．

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

1，记M2（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G． ①证明：PQG是直角三角形；②求PQG面积的最大值．

20.（2019·全国Ⅰ【理】）

已知抛物线C：y=3x的焦点为F，斜率为点为P．

（1）若AF+BF=4，求l的方程；（2）若AP=3PB，求AB．

23的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交221.（2020·全国Ⅰ【理】）

已知A为抛物线C：y=2px（p0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ） A.2B.3C.6D.92-95 -《高中数学知识清单》

22.（2020·全国Ⅰ【理】）已知作

M：x2+y2−2x−2y−2=0，直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P M的切线PA，PB，切点为A，B，当PMAB最小时，直线AB的方程为（ ）

B.2x+y−1=0C.2x−y+1=0D.2x+y+1=0A.2x−y−1=023.（2020·全国I【理】）

x2y2已知F为双曲线C：2−2=1（a0，b0）的右焦点，A为C的右顶点，B为C上

ab的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．

24.（2020·全国Ⅱ【理&文】）

若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为（ ）

A.

55B.

255C.

355D.

45525.（2020·全国Ⅱ【理&文】）

x2y2设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C：2−2=1（a0，b0）的两条渐近线分别

ab交于D，E两点．若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）

A.4B.8C.16 D.32-96 -《高中数学知识清单》

26.（2020·全国Ⅲ【理&文】）

2设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y=2px（p0）交于D，E两点，若

OD⊥OE，则C的焦点坐标为（ ）

A. 

1,04B. 

1,02C.(1,0)D.(2,0)27.（2020·全国Ⅲ【理】）若直线l与曲线y=A.y=2x+11x和圆x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）

51111B. y=2x+C. y=x+1D. y=x+222228.（2020·全国Ⅲ【理】）

x2y2设双曲线C：2−2=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5．Pab是C上一点，且F1P⊥F2P．若PF1F2的面积为4，则a=（ A.1

B.2C.4） D.8-97 -《高中数学知识清单》

29.（2020·全国II【理】）

x2y2已知椭圆C1：2+2=1（ab0）的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与

abC2的顶点重合，过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且

CD=4AB． 3（1）求C1的离心率．

（2）设M是C1与C2的公共点，若MF=5，求C1与C2的标准方程．

30.（2020·全国I【理&文】）

x22已知A，B分别为椭圆E：2+y=1（a1）的左、右顶点，G为E的上顶点，

aAGGB=8．P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为

D．

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点．

-98 -《高中数学知识清单》

第七章 立体几何 高考导航

考试要求 1．利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单空间几何体 物体的结构； 2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如：纸板）制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图； 3．通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式； 命题走向 近几年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，解答题常常立足于棱柱、棱锥和正方体位置关系的证明和夹角距离的求解，而选择题、填空题又经常研究空间几何体的几何特征和体积表面积．因此复习时我们要首先掌握好空间几何体的空间结构特征．培养好空间想能力． 平面的基本性质与推论以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操空间中的平行关系 作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．通过直观感知、操作确认，归纳出判定定理： 理科要求，文科不要求的内容 1．掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理；（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）． 2．掌握点、直线到平面的距离，直线和平面所成的角； 3．掌握平行平面间的距离，会求二面角及其平面角； 立体几何在高考中占据重要的地位，通过近几年的高考情况分析，考察的重点及难点稳定，高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定作为考察重点．在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重． -99 -《高中数学知识清单》

知识精讲

第一节 空间几何体

一、 柱、锥、台、球的结构特征 1、 柱

棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．

底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．

棱柱与圆柱统称为柱体； 2、 锥

棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．

底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……

圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面．

棱锥与圆锥统称为锥体． 3、 台

棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点．

圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴．

圆台和棱台统称为台体． 4、 球

以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径． 5、 组合体

由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体． 二、 空间几何体的三视图

三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，具体包括： （1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度；三、 空间几何体的直观图 1、 斜二测画法

-100 -《高中数学知识清单》

①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX,OY，建立直角坐标系； ②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的OX'、OY'，使X'O'Y'=45(或135)，它们确定的平面表示水平平面；

③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X'轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y'轴，且长度变为原来的一半；

④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）．2、 平行投影与中心投影

平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点． 四、 空间几何体的表面积和体积 1、 多面体的面积和体积公式

名称 棱 柱 棱 锥 棱 台 棱柱 直棱柱 棱锥 正棱锥 棱台 正棱台 侧面积（S侧） 直截面周长×l 全面积（S全） S侧+2S底 体 积（V） S底·h=S直截面·hS底·hS底·hch各侧面积之和 1ch2各侧面面积之和 S侧+S底 1(c+c')h' 2S侧+S上底+S下底 1h(S上底+S下底+S上底S下底) 3表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长． 2．旋转体的面积和体积公式

名称 S侧 S全 V 圆柱 圆锥 圆台 球 2rl2r(l+r)rlr(l+r)12rh3(r1+r2)l(r1+r2)l+(r21+r22) 12h(r21+rr12+r2)34R243R3r2h(即r2l) 表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径，R表示半径．

第二节 空间中的平行与垂直

一、 平面概述

1、 平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度）． 2、 平面的画法：通常画平行四边形来表示平面．

3、 平面的表示：用一个小写的希腊字母、、等表示，如平面、平面；用表示平行四边形的

两个相对顶点的字母表示，如平面AC． 二、 三公理三推论:

-101 -《高中数学知识清单》

公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内：

Al,Bl,A,Bl ．

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．

公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面． 推论一：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论二：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论三：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 三、 空间直线:

1、 空间两条直线的位置关系：

相交直线——有且仅有一个公共点； 平行直线——在同一平面内，没有公共点；

异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点．相交直线和平行直线也称为共面直线． 2、 异面直线的画法常用的有下列三种：

ab3、 平行直线：

αβabbααa在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的．即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 4、 异面直线定理

连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．推理模式：

A,B,a,BaAB与a是异面直线．

5、 直线和平面的位置关系

（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；

（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．

它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a，a=A，a//．

aaaα6、 线面平行的判定定理

ααabpabp如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：

-102 -《高中数学知识清单》

a,b,a//ba//．

7、 线面平行的性质定理

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：

a//,a,=ba//b．

βaβbαbaα8、 两个平面的位置关系有两种

两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点）

（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行． 定理的模式：

abab=P//a//b//推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行． 推论模式：ab=P,a,b,ab=P,a,b,a//a,b//b//

（2）两个平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 四、 空间中的垂直关系 1、 线线垂直

判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条． 2、 三垂线定理

在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．

PaOPO⊥,O推理模式： PA=Aa⊥AOa,a⊥APαA注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直内的直线a其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用． 3、 线面垂直

-103 -《高中数学知识清单》

abob'α1)

定义

如果一条直线l和一个平面相交，并且和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面

互相垂直，其中直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面，直线与平面的交点叫做垂足．直线l与平面垂直记作：l⊥ ．

2)3)

直线与平面垂直的判定定理直线和平面垂直的性质定理

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 4、 面面垂直

1)1)2)个平面．

定义

两平面垂直的判定定理两平面垂直的性质定理

相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面．

线面垂直面面垂直，如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 面面垂直线面垂直，若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一

第三节 空间中的距离与角度（理）

一、 空间中的距离 1、 两条异面直线的距离

两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度． 2、 点到平面的距离

平面外一点p在该平面上的射影为p'，则线段pp'的长度就是点到平面的距离；求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来．②等体积法． 3、 直线与平面的距离

一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离． 4、 平行平面间的距离

两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离．

求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用等积法计算求之．异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a、b所成的角为，它们的公垂线AA′的长度为d，在a上有线段AE=m，b上有线段AF=n，那么EF ＝d2+m2+n22mncos（“±”符号由实际情况选定） 二、 空间中的夹角

-104 -《高中数学知识清单》

空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为[0， 180]．90]、[0，90]和[0，1、 两条异面直线所成的角

求法：①先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；②通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是(0,]，向量

2所成的角范围是[0,]，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角． 2、 直线和平面所成的角

求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来．除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”． 3、 二面角的度量是通过其平面角来实现的

解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键．通常的作法有：①定义法；②利用三垂线定理或逆定理；③自空间一点作与棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cos=斜面面积，S'为射影面积，为斜面与射影面所成的二面角． 4、 等角定理

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等．

S其中S为S第四节 空间向量与立体几何（理）

一、 空间直角坐标系

1、 空间直角坐标系中的坐标：

在空间直角坐标系O−xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使OA=xi+yj+zk，有序实数组(x,y,z)叫作向量OA在空间直角坐标系O−xyz中的坐标，记作OA=(x,y,z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标．

zoyx2、 若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{i,j,k}表示． 3、 空间向量的直角坐标运算律：

①若a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3)，则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)，

-105 -《高中数学知识清单》

a−b=(a1−b1,a2−b2,a3−b3)，a=(a1,a2,a3)(R)， ab=a1b1+a2b2+a3b3，

a//ba1=b1,a2=b2,a3=b3(R)， a⊥ba1b1+a2b2+a3b3=0．

②若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB=(x2−x1,y2−y1,z2−z1)．

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． 4、 模长公式：若a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3)，

则|a|=aa=a12+a22+a32，|b|=bb=b12+b22+b325、 夹角公式：cosab=ab=|a||b|a1b1+a2b2+a3b3a+a2+a32122b+b2+b32122．

6、 两点间的距离公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，

则|AB|=AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2，

2222或dA,B=(x2−x1)+(y2−y1)+(z2−z1)二、 空间向量的数量积 1、 空间向量的数量积．

（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OA=a,OB=b，则

AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b；且规定0a,b，显然有a,b=b,a；若

a,b=2，则称a与b互相垂直，记作：a⊥b．

（2）向量的模：设OA=a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|． （3）向量的数量积：已知向量a,b，则|a||b|cosa,b叫做a,b的数量积，记作ab，即ab=|a||b|cosa,b．

（4）空间向量数量积的性质：

①ae=|a|cosa,e．②a⊥bab=0．③|a|2=aa． 2、 空间向量数量积运算律：

①(a)b=(ab)=a(b)．②ab=ba（交换律）． ③a(b+c)=ab+ac（分配律）． 三、 空间角的求法 1、 异面直线所成的角

点Aa,Ba,Cb,Db，A、B、C、D构成向量AB,CD，cosAB,CD=所对应的锐角或直角即为直线a与b所成的角． 2、 线面角

ABCDABCD,AB,CD-106 -《高中数学知识清单》

AP与n的角所对应的锐角的余角或直角即为直线AP与平面所成的角，所以AP与n的角的余弦值的绝对值为直线AP与平面所成的角的正弦值，其中n为平面的法向量，

=arcsincosAP,n．

PnAαO要点解析

一、 三视图画法规则

高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐，长对正；主视图与俯视图的长应对正；宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等．

二、 画水平放置的多边形的直观图的关键

画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法．强调斜二测画法的步骤． 三、 正四面体的性质

设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的

2（1）全面积：S全=3a；（2）体积：V=232a；a； （3）对棱中点连线段的长：d=12266（5）外接球半径R=a；a． 124（6）正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值（等于正四面体的高）．四、 证明空间线面平行或垂直需注意以下几点：

①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路．

②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一．③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论．④三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑．应用时常需先认

（4）内切球半径：r=-107 -《高中数学知识清单》

清所观察的平面及它的垂线，从而明确斜线、射影、面内直线的位置，再根据定理由已知的两直线垂直得出新的两直线垂直．另外通过计算证明线线垂直也是常用的方法之一． 五、 求空间距离与角度注意事项

求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点：

①注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置．②作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两“足”（斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理．

⑤

求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视．二面角的平角的常用作法有三种：

根据定义或图形特征作；根据三垂线定理（或其逆定理）作，难点在于找到面的垂线．解决办法，先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线；作棱的垂面．作二面角的平面角应把握先找后作的原则．此外在解答题中一般不用公式“cos=S”求二面角否则要适当扣分． S-108 -《高中数学知识清单》

高考特训

1.（2018·全国I【理&文】）

某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如下图，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）

A.217B.25C.3D.22.（2018·全国I【理】）

已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）

A.

334B.

233C.

324D.

323.（2018·全国II【理】）

在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（ A.

）

B.

1556C.

55D.

22-109 -《高中数学知识清单》

4.（2018·全国II【理】）

已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为

7，SA与圆锥底面所成角为45，8若SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．

5.（2018·全国II【文】）

在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（ ） A.

22B.

32C.

52D.

726.（2018·全国III【理&文】）

设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上的四点，ABC为等边三角形且其面积

‐ABC体积的最大值为（ ） 为93，则三棱锥DA.12 3B.18 3C.243D.5437.（2018·全国I【理】）

如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF． （1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；

（2）求直线DP与平面ABFD所成角的正弦值．

-110 -《高中数学知识清单》

8.（2019·全国I【理】）

已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF=90，则球O的体积为（ A.86πB.46πC.26πD. 6π）

9.（2019·全国II【理&文】） 设，为两个平面，则的充要条件是（ ）

B. 内有两条相交直线与平行D.，垂直于同一平面

A. 内有无数条直线与平行C. ，平行于同一条直线

10.（2019·上海）

在ABC中，C=90，BC=2AC=2，将三角形绕AC旋转一周，得到圆锥，记其体

积为V1；将三角形绕BC旋转一周，得到圆锥，记其体积为V2，则V1:V2=（ A.1:1

B.2:1C.1: 2

D.4:1）

11.（2019·全国III【理&文】）

如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（ ） A.B.C.D.

BMBMBMBM=EN，且直线BM，EN是相交直线 EN，且直线BM，EN是相交直线 =EN，且直线BM，EN是异面直线 EN，且直线BM，EN是异面直线

-111 -《高中数学知识清单》

12.（2019·全国I【理】）

如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，

M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

（1）证明：MN平面C1DE； （2）求二面角A−MA1−N的正弦值．

13.（2019·全国II【理】）

如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1． （1）证明：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，求二面角B−EC−C1的正弦值．

-112 -《高中数学知识清单》

14.（2019·上海）

‐A1B1C1D1中，M为BB1上一点，如图，在长方体ABCD已知BM=2，AD=4，CD=3，AA1=5．

（1）求直线A1C与平面ABCD的夹角；（2）求点A到平面A1MC的距离．

15.（2020·全国I【理&文】）

埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高

为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）

A.

5−145−125+145+12-113 -《高中数学知识清单》

B.

C.

D.

16.（2020·全国I【理&文】）

已知A、B、C为球O的球面上的三个点，O1为ABC的外接圆，若

O1的面积为4π，

AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为（ ）

A.64πB.48πC.36D.32π17.（2020·全国II【理】）

下图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（ ） A.B.C.D.

EFGH18.（2020·全国II【理&文】） 已知ABC是面积为

93的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为4）

C.1

D.

16π，则O到平面ABC的距离为（

A. 3B.

3232-114 -《高中数学知识清单》

19.（2020·全国II【理&文】） 设有下列四个命题：

p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平． p4：若直线l平面，直线m⊥平面，则m⊥l．

则下述命题中所有真命题的序号是________． ①p1p4②p1p2p2p3③¬p3¬p4④¬20.（2020·天津）

若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ A.12 B.24πC.36）

D.144 π-115 -《高中数学知识清单》

21.（2020·全国I【理】）

如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD．ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=6DO． 6（１）证明：PA⊥平面PBC．

‐PC‐E的余弦值． （２）求二面角B22.（ 2020·北京）

‐A1B1C1D1中，E为BB1的中点． 如图，在正方体ABCD（1）求证：BC1平面AD1E．

（2）求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．

-116 -《高中数学知识清单》

第八章 概率及统计 高考导航

考试要求 命题走向 （1）以基本题（中、低档题为主），多以选统计 理解随机抽样的必要性和重要性；学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法； 择题、填空题的形式出现，以实际问题为背景，综合考察学生学习基础的知识、应用基础知识、解决实际问题的能力； （2）热点是随机抽样方法中的分层抽样、系统抽样方法． 本讲内容在高考中所占比重不大，纵贯1、了解概率的意义，了解频率与概率的区别； 2、了解两个互斥时间的概率加法公式 3、理解古典概型及其计算公式 概率 4、会计算随机事件所含的基本时间数及事件发生的概率 5、了解随机数的几何意义，运用模拟方法估算概率 6、了解几何概率的意义 近几年的高考形式对涉及到有关概念的某些计算要求降低，但试题中具有一定的灵活性、机动性． （1）对于理科生来讲，对随机事件的考察，结合选修中排列、组合的知识进行考察，多以选择题、填空题形式出现； （2）对概率考察的重点为互斥事件、古典概型的概率事件的计算为主，而以实际应用题出现的形式多以选择题、填空题为主． 1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理排列组合及二项式 通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题； 2．排列与组合 通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题； 3．二项式定理 能用计数原理证明二项式定理； 会用二项本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和． 排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察． -117 -《高中数学知识清单》

式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 知识精讲

第一节 随机抽样及统计

一、 简单随机抽样

设一个总体的个数为N．如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样．实现简单随机抽样，常用抽签法和随机数表法． （1）抽签法

制签：先将总体中的所有个体编号（号码可以从1到N），并把号码写在形状、大小相同的号签上，号签可以用小球、卡片、纸条等制作，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌；

抽签：抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取成样：对应号签就得到一个容量为（2）随机数表法

编号：对总体进行编号，保证位数一致；

数数：当随机地选定开始读数的数后，读数的方向可以向右，也可以向左、向上、向下等等．在读数过程中，得到一串数字号码，在去掉其中不合要求和与前面重复的号码后，其中依次出现的号码可以看成是依次从总体中抽取的各个个体的号码．

成样：对应号签就得到一个容量为n的样本． 结论：

①用简单随机抽样，从含有N个个体的总体中抽取一个容量为一个体被抽到的概率为

n次；

n的样本．

抽签法简便易行，当总体的个体数不多时，适宜采用这种方法．

n的样本时，每次抽取一个个体时任

1n；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为； NN②基于此，简单随机抽样体现了抽样的客观性与公平性；

③简单随机抽样的特点：它是不放回抽样；它是逐个地进行抽取；它是一种等概率抽样．二、 系统抽样

当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）．

-118 -《高中数学知识清单》

系统抽样的步骤可概括为：

（1）将总体中的个体编号．采用随机的方式将总体中的个体编号；

（2）将整个的编号进行分段．为将整个的编号进行分段，要确定分段的间隔k．当当

NNk=；是整数时，

nnNN不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体数N´能被n整除，这时k=； nn（3）确定起始的个体编号．在第1段用简单随机抽样确定起始的个体边号l；

（4）抽取样本．按照先确定的规则（常将l加上间隔k）抽取样本：l,l+k,l+2k,,l+(n−1)k．

三、 分层抽样

当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层．

结论：

（1）分层抽样是等概率抽样，它也是公平的．用分层抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为样本时，在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，都等于

n的

n； N（2）分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样的基础上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它获取的样本更具有代表性，在实践的应用更为广泛． 四、 用样本的数字特征估计总体的数字特征 （1）众数、中位数

在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；

将一组数据按照从大到小（或从小到大）排列，处在中间位置上的一个数据（或中间两位数据的平均数）叫做这组数据的中位数； （2）平均数与方差

如果这n个数据是x1,x2,.........,xn，那么x=如果这n个数据是x1,x2,.........,xn，那么S2=叫做这n个数据的标准差．

五、 频率分布直方图、折线图与茎叶图

样本中所有数据（或数据组）的频率和样本容量的比，就是该数据的频率．所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做频率分布，可以用频率分布直方图、折线图、茎叶图来表示． 1、 频率分布直方图具体做法如下：

（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；（2）决定组距与组数；（3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5）画频率分布直方图．

注：频率分布直方图中小正方形的面积=组距×

1nxi叫做这n个数据平均数； ni=11n1ns=叫做这n个数据方差；同时(x−x)(xi−x)ini=1ni=1频率=频率． 组距2、 折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图．

总体密度曲线：当样本容量足够大，分组越多，折线越接近于一条光滑的曲线，此光滑曲线为总体密度

-119 -《高中数学知识清单》

曲线． 3、 线性回归

回归分析：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系或回归关系．

回归直线方程：设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n个观测值的n个点大致分布在某ˆ=a+bx．其中一条直线的附近，就可以认为y对x的回归函数的类型为直线型：yb=(xi−x)(yi−y)i=1n(x−x)ii=1n=xyii=1nni−nxy−nx2，a=y−bx．我们称这个方程为y对x的回归直线方程．

2xi=12i-120 -《高中数学知识清单》

第二节 随机事件及概型

一、 随机事件 1、 随机事件的概念

在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件．（1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；（2）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；（3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件． 2、 随机事件的概率

事件A的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)．

由定义可知0P(A)1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0． 3、 事件间的关系

（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；

（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；

（3）包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B（或事件B包含事件A）；4、 事件间的运算

（1）并事件（和事件）

若某事件的发生是事件A发生或事件B发生，则此事件称为事件A与事件B的并事件． 注：当A和B互斥时，事件A+B 的概率满足加法公式：

（A、B互斥）；且有PP（A+B）=P（A）+P（B）（A+B）=P（A）+P（B）=1 ．（2）交事件（积事件）

若某事件的发生是事件A发生和事件B同时发生，则此事件称为事件A与事件B的交事件． 二、 古典概型

1、 古典概型的两大特点

1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；2、 古典概型的概率计算公式

m总接近于某个常数，在它附近摆动，nP(A)=A包含的基本事件个数；

总的基本事件个数一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成．如果一次试验中可能出现的结果有n个，即此试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一基本事件的概率都是

1．如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率nP(A)=mn三、 几何概型 1、 几何概型的概念

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；

2、 几何概型的概率公式：

-121 -《高中数学知识清单》

P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体积）．

试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）3、 几种常见的几何概型

（1）设线段l是线段L的一部分，向线段L上任投一点．若落在线段l上的点数与线段L的长度成正比，而与线段l在线段L上的相对位置无关，则点落在线段l上的概率为：P=l（长度之比）； Lg（面积G（2）设平面区域g是平面区域G的一部分，向区域G上任投一点，若落在区域g上的点数与区域

g的面积成正比，而与区域g在区域G上的相对位置无关，则点落在区域g上概率为：P=之比）；

（3）设空间区域上v是空间区域V的一部分，向区域V上任投一点．若落在区域v上的点数与区域

V的体积成正比，而与区域v在区域V上的相对位置无关，则点落在区域v上的概率为：P=之比）．

v（体积V第三节 排列组合

一、 计数原理 1、 分类加法计数原理

完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有：N=m1+m2+m3+mn种不同的方法．

注意：（1）分类加法计数原理的使用关键是分类，分类必须明确标准，要求每一种方法必须属于某一类方法，不同类的任意两种方法是不同的方法，这时分类问题中所要求的“不重复”、“不遗漏”．

（2）完成一件事的n类办法是相互独立的．从集合角度看，完成一件事分A、B两类办法，则

AB=,AB=I（I表示全集）．

（3）明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事．

2、 分步乘法计数原理

完成一件事，需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第

n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1m2m3mn种不同的方法．

注意：（1）明确题目中所指的“做一件事”是什么事，单独用题中所给的某种方法是不是能完成这件事，是不是要经过几个步骤才能完成这件事．

（2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成．

（3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步去做，才能完成这件事，各步之间不能重复也不能遗漏．

3、 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别

联系：两个计数原理，都是关于完成一件事的不同方法种数的问题．

-122 -《高中数学知识清单》

区别：分类计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．

分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决，是推导排列数与组合数计算公式的依据．要注意“类”间互相独立，“步”间互相联系． 二、 排列 1、 排列的概念

从n个不同元素中，任取m(mn)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

注意：（1）排列定义包含两个基本内容：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序”排列．

（2）定义中“一定顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件决定，这一点是与组合的根本区别． 2、 排列数

从n个不同元素中取出m(mn)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号Anm表示．

m排列数公式： An=n(n−1)(n−2)...(n−m+1)=n!(nm,n、mN)(n−m)!注意：我们把正整数由1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示．规定0!=1．当m=n时，nn个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，记为An=n(n−1)(n−2)21=n!．

m注意：（1）排列数公式An=n(n−1)(n−2)...(n−m+1)适用于具体计算以及解当m较小时含排列数的

方程和不等式．在运用该公式时要注意它的特点：第一个因数是n，最后一个因数是n−m+1，m个连续自然数的连乘积．

m（2）排列数公式An=n!，适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，

(n−m)!则应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件mn,mN*,nN*”的运用． 三、 组合 1、 组合的概念

从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 注意：（1）取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的本质． （2）组合与排列的异同：组合与排列的相同点是“从n个不同元素中任意取出m个不同元素”；不同点是组合“不管元素的顺序并成一组”，而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”，因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的元素有无顺序． 2、 组合数与组合数公式

从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表示．组合数公式： Cnm=Anmn(n−1)(n−2)(n−m+1)=mAmm!Cmn=n!(n,mN,且mn)m!(n−m)!0规定：Cn=1

-123 -《高中数学知识清单》

注意：（1）组合与组合数是两个不同的概念．

0（2）在公式Anm中，我们规定0!=1，因而有Cn=1．

3、 组合数的性质

mn−m性质1：Cn一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n−m个元素．因为从n个不=Cn同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n−m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元

mn−m素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n−m个元素的组合数，即：Cn．在这里，=Cn主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想注意：（1）该性质反映了组合数的对称性．

n−m（2）若m＞，通常不直接计算Cnm，而改为计算Cnmm−1性质2：＝Cnm+Cn一般地，从a1,a2,Cn+1n2,an+1这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是Cnm+1，

,an+1这n个元素中

这些组合可以分为两类：一类含有元素a1，一类不含有a1．含有a1的组合是从a2,a3,m−1取出m−1个元素与a1组成的，共有Cn个；不含有a1的组合是从a2,a3,,an+1这n个元素中取出

m个

m元素组成的，共有Cn个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到

一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．

注意：（1）左端下标为n+1，右端下标都为n，相差1；上标左端与右端的一个一样，右端的另一个比它们少1．

mmm−1（2）要注意性质Cn＝Cn+Cn的顺用、逆用、变形应用，顺用是将一个组合数拆成两个，逆用则是+1“合二为一”．

mm−1m（3）变形：Cn＝Cn． −Cn+14、 几个常用组合数公式

012Cn+Cn+Cn+nCn=2n024+Cn+Cn+CnmmCmn+Cm+1+Cm+2k−1kCkn=nCn−1135=Cn+Cn+Cn+=2n−1Cmm+n+1=Cm+mn+111+1CkCkn=n+1k+1n+1第四节 二项式定理

一、 二项式定理

一般地，对于任意正整数n，都有(a+b)=Cna+Cnab+nn0n1nrn−rr+Cnab+nn+Cnb(nN)，这

r个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a+b)的二项展开式．其中各项的系数Cn(r=0,1,2,3...n)叫做二项式系数．

注意：（1）二项展开式有n+1项；

（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；

-124 -《高中数学知识清单》

（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开；（4）二项式定理通常有如下变形：

0n1n−1rn−rrnn(a−b)n=Cna−Cnab+...+(−1)rCnab+...+(−1)nCnb1122rr(1+x)n=1+Cnx+Cnx+...+Cnx+xn；

（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．二、 二项展开式的通项公式

rn−rr二项展开式的第n+1项Tr+1=Cn它体现了二项展开ab(r=0,1,2,3...n)叫做二项展开式的通项公式．

式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．

𝑟，而不是𝐶𝑟+1；注意：（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是𝐶𝑛𝑛

（2）字母b的次数和组合数的上标相同； （3）a与b的次数之和为n 三、 二项式系数的性质

0 𝑛，𝐶1 𝑛−1， 𝐶2 𝑛−2，…，（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即𝐶𝑛=𝐶𝑛𝑛=𝐶𝑛𝑛=𝐶𝑛0=𝐶𝑛．𝐶𝑛𝑛

n−12

（2）增减性与最大值：当k＜

n−1

2

n+12

时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减

小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的二项式系数𝐶𝑛与𝐶𝑛相等，且同时取得最大值．

求展开式系数的最大问题，首先要区分“展开式系数最大”“二项式系数最大”以及“最大项”等；其次要注意展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正数的前提下，它们的最大值只需比较相邻两个的大小，根据通项公式正确地列出不等式组即可．

0123n（3）各二项式系数的和：Cn奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数+Cn+Cn+Cn+...+Cn=2n．

之和相等且都等于2n−1．

要点解析

一、 常用的抽样方法及它们之间的联系和区别

类别 简单随机抽样 抽样过程中系统抽样 每个个体被抽取的概率是相同的 分层抽样 将总体分成几层，分层进行抽取 共同点 各自特点 从总体中逐个抽取 将总体均匀分成几个部分，按照事先确定的规则在各部分抽取 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 各层抽样时采用简单抽样或者相同抽样 相互联系 适用范围 总体中的个数比较少 总体中的个数比较多 总体由差异明显的几部分组成 -125 -《高中数学知识清单》

二、 对立事件

对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作A，从集合的角度来看，事件A所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即AA=U,AA=,对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．

事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生．当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的．

当计算事件A的概率P(A)比较困难时，有时计算它的对立事件A的概率则要容易些，为此有

P（A）=1−P（A），An，其加法公式为P(A1+A2++An) 对于n个互斥事件A1，A2，=P（A1）+P（A2）++P（An）．分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想．

三、 解决基本计数原理问题所用的思想方法及技巧

（1）建模法：建立数学模型，将排列组合问题转化为数学问题，是计数方法中的基本方法．（2）枚举法：利用枚举法（如树状图）可以使问题的分析更直观、清楚，便于发现规律，从而形成恰当的分类或分步的设计思想．

总之，对于一些较复杂的既要用分类加法计数原理又要用分步乘法计数原理的问题，恰当地画出表格，合理建模或用树状图枚举全部结果是解决问题的基本思想方法． 四、 两个原理的综合运用

（1）必须分清楚两个原理的条件和结论．

如果完成一件事情有两类方案，这两类方案彼此之间是相互独立的，无论哪一类方案中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类计数原理．

如果完成一件事情需要分成几个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事情，而完成每一个步骤有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理．

（2）在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么简单地说“分类互斥”“分步互依”，关键是看能否独立完成这件事．与此同时还要注意分类、分步不能重复和遗漏．

（3）对于较为复杂的既要用分类计数原理，又要用分步计数原理的问题，我们可以根据题意恰当合理的画出示意图或列出表格，使问题的实质直观地显现出来，从而便于我们解题．

（4）分类计数原理和分步计数原理是排列、组合问题的最基本的原理，同时也是推导排列数、组合数公式的理论依据，还是求解排列、组合问题的基本思想方法． 五、 关于排列组合问题的一些解题技巧：

①特殊元素优先安排；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排；④相邻问题捆绑处理；⑤不相邻问题插空处理；⑥定序问题除法处理；⑦分排问题直排处理；⑧“小集团”排列问题先整体后局部；⑨构造模型；⑩正难则反、等价转化．

对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数． 六、 排列、组合问题几大解题方法：

（1）直接法；（2）排除法；

（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它

__-126 -《高中数学知识清单》

们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；

（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；

（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；

（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；

（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；

（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都

−r排在某r个指定位置则有ArrAkn−r；

nnCknC(k−1)nnCnAkk；

（10）指定元素排列组合问题：

①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后

rk−rkA策略，排列CrCn−rAk；组合CrCn−r；

rk−r⑥ 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C

后A策略，排列Cn−rkAk；组合Cn−kr； k⑦

从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某

sk−skr个元素中的s个元素．先C后A策略，排列CrCn−rAk；组合CrCn−r．

sk−s-127 -《高中数学知识清单》

高考特训

1.（2018·全国Ⅰ【理】）

从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种.（用数字填写答案）．

2.（2018·全国Ⅲ【理】）

224x+的二项展开式中x的系数为（ ）

xA.10

B.20C.40D.8053.（2018·天津【理】）

12在二项式x−的展开式中，的系数为________． x2x54.（2018·浙江）

设0p1，随机变量的分布列是

P−11201p21−p2则当p在(0,1)内变化时，（ ）A.D()随p的增大而增大

B.D()随p的增大而减小

-128 -《高中数学知识清单》

C.D()随p的增大先增大后减小 D.D()随p的增大先减小后增大

5.（2018·天津【理】）

已知某单位甲，乙，丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．

（Ⅰ）应从甲，乙，丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．

（ⅰ）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望； （ⅱ）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A

6.（2019·全国Ⅲ【理】）

(1+2x)(1+x)24的展开式中x3的系数为（

B.16

） C.20D.24A.12

7.（2019·上海）

在二项式(2x+1)展开式中，x项的系数是________．

258.（2019·天津【理】）

12x−的展开式中的常数项为________． 38x8-129 -《高中数学知识清单》

9.（2019·全国Ⅱ【理】）

11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束． （1）求P(X=2)；

（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率．

10.（2020·全国Ⅰ【理】）

y2533x+x+y的展开式中xy的系数为（ ()xA.5B.10

）

D.20C.15

11.（2020·全国Ⅱ【理】）

4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．

12.（2020·全国Ⅲ【理】）

22． x+的展开式中常数项是________（用数字作答）

x613.（2020·山东）

6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）

A.120 种

B.90种

C.60种

D.30种

-130 -《高中数学知识清单》

14.（2020·天津）

已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为

11和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙23两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．

15.（2020·全国Ⅲ【理】）

在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A. p1=p4=0.1，p2=p3=0.4 C. p1=p4=0.2，p2=p3=0.3B. p1=p4=0.4，p2=p3=0.1D. p1=p4=0.3，p2=p3=0.2pi=14i=1，则

16.（2020·江苏）

已知一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则a的值是________．

17.（2020·全国Ⅰ【理】）

甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：

累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都为（1）求甲连胜四场的概率；

（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率．

1． 2-131 -《高中数学知识清单》

18.（2020·山东&海南）

为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：g/m），得下表：

3SO2PM2.50,50326(50,150188(150,475412100,35(35,75(75,11537（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率．（2）根据所给数据，完成下面的22列联表：SO2PM2.50,150(150,4750,75(75,115（3）根据上一问中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与

SO2浓度有关？

n(ad−bc)2附：K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)2P(K2k)k0.0503.8410.0106.6350.00110.828-132 -

《高中数学知识清单》

第九章不等式 高考导航

考试要求 1．不等关系不等式与不等关系 通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景； 命题走向 预测的高考命题趋势： 1．从题型上来看，选择题、填空题都有可能考察，把不等式的性质与函数、三角结合起来综合考察不等式的性质、函数单调性等，多以选择题的形式出现，解答题以含参数的不等式的证明、求解为主； 2．利用基本不等式解决像函数a+bab(a,b0)2．基本不等式：2①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最大（小）问题． af(x)=x+,(a0)的单调性或解决有关x最值问题是考察的重点和热点，应加强训练． 1．不等关系通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景； 不等式与线性规划 2．一元二次不等式 ①．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程； ②通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系； ③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图． 3二元一次不等式组与简单线性规划问题 ①从实际情境中抽象出二元一次不等式组； ②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组； ③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 预测高考的命题趋势： 1．结合指数、对数、三角函数的考察函数的性质，解不等式的试题常以填空题、解答题形式出现； 2．以当前经济、社会、生活为背景与不等式综合的应用题仍是高考的热点，主要考察考生阅读以及分析、解决问题的能力； 3．在函数、不等式、数列、解析几何、导数等知识网络的交汇点命题，特别注意与函数、导数综合命题这一变化趋势； 4．对含参数的不等式，要加强分类讨论思想的复习，学会分析引起分类讨论的原因，合理分类，不重不漏． -133 -《高中数学知识清单》

知识精讲

第一节 不等式的解法与证明

一、 不等式的性质

1、 定理1：若ab，则ba；若ba，则ab．即abba．

说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性． 2、 定理2：若ab，且bc，则ac．

说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数；定理2称不等式的传递性．

3、 定理3：若ab，则a+cb+c．

说明：（1）不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向；（2）定理3的证明相当于比较a+c与b+c的大小，采用的是求差比较法；（3）定理3的逆命题也成立；（4）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．

定理3推论：若ab,且cd,则a+cb+d．

说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（3）同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式． 4、 定理4．如果ab且c0，那么acbc；如果ab且c0，那么acbc．

推论1：如果ab0且cd0，那么acbd．

说明：（1）不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变；（2）两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向；（3）推论1可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘．这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向．

nn推论2：如果ab0， 那么ab (nN且n1)．

定理5：如果ab0，那么nanb (nN且n1)． 二、 基本不等式

1、 定理1：如果a,bR，那么a+b2ab（当且仅当a=b时取“

说明：（1）指出定理适用范围：a,bR；

（2）强调取“

22=”）．

=”的条件a=b．

a+bab（当且仅当a=b时取“=”） 22、 定理2：如果a,b是正数，那么

说明：（1）这个定理适用的范围：a,bR+；

（2）我们称

a+b是a,b的算术平均数，称ab是a,b的几何平均数．即：两个正数的算术平均数2不小于它们的几何平均数．

-134 -《高中数学知识清单》

第二节 不等式的解法与应用

一、 不等式的解法

解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形”，是研究数学的基本手段之一． 1、 同解不等式

（1）f(x)＞g(x)与f(x)+F(x)＞g(x)+F(x)同解

0,f(x)＞g(x)与mf(x)＞mg(x)同解；m＜0,f(x)＞g(x)与mf(x)＜mg(x)同解 （2）m＞（3）

f(x)0（g(x)0）同解 ＞0 与f(x)g(x)＞g(x)2、 一元一次不等式

解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用．

ax＞b 要分a＞0;a=0;a＜0三种情况分别求解．

3、 一元二次不等式

0及a＜0情况分别解之，还要注意三种情况，ax2+bx+c＞0(a0)或ax2+bx+c＜0(a0)分a＞即＞0;=0;＜0，最好联系二次函数的图像． 二、 线性规划 1、 平面区域

一般地，二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把直线画成实线．

说明：由于直线Ax+By+C=0同侧的所有点的坐标(x,y)代入Ax+By+C，得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点(x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0表示直线哪一侧的平面区域．特别地，当C0时，通常把原点作为此特殊点．

要点解析

一、 常用的证明不等式的方法

（1）比较法

比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论；为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负．

（2）综合法

利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法；利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件．

综合法证明不等式的逻辑关系是：AB1B2BnB，及从已知条件A出发，逐步推演不

-135 -《高中数学知识清单》

等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论B．

（3）分析法

证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法．

（1）“分析法”是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”；

（2）综合过程有时正好是分析过程的逆推，所以常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程．

二、 几个重要不等式

2（1）若aR,|a|0,a0．

（2）

若a、bR+,则a2+b22ab(或a2+b22|ab|2ab)（当仅当a=b时取等号）．

aba+b（当仅当

.2（3）如果a，b都是正数，那么a=b时取等号）．

(4)若a、b、cR+,则a+b+c3abc（当仅当a=b=c时取等号）． 3-136 -《高中数学知识清单》

高考特训

1.（2018·全国I【理&文】）

x−2y−20若x，y满足约束条件x−y+10，则z=3x+2y的最大值为________．

y02.（2018·北京【理】）

)x−y1，ax+y4，x−ay2}，则（ 设集合A={(x,y∣）

a，(2,1)A A.对任意实数 a0时，(2,1)A C.当且仅当

a，(2,1)A B.对任意实数

D.当且仅当a3时，(2,1)A 23.（2018·北京【理&文】）

若x，y满足x+1y2x，则2y−x的最小值是________．

4.（2018·天津【理&文】）

已知a，bR，且a−3b+6=0，则2+a1的最小值为________．b85.（2019·全国Ⅱ【理】）若ab，则（ ） A.ln(a−b)0B.3a3bC.a3−b30《高中数学知识清单》

D. ab-137 -

6.（2019·北京【理】）

若x，y满足x1−y，且y−1，则3x+y的最大值为（ ） A.−7B.1

C.5D.77.（2019·北京【理】）

李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．

（1）当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；（2）在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．

8.（2019·天津【理】）

设x0，y0，x+2y=5，则(x+1)(2y+1)的最小值为________．

xy9.（2019·江苏）

设xR，解不等式x+2x−12．

10.（2020·天津）

已知a0，b0且ab=1，则

118的最小值为________． ++2a2ba+b-138 -《高中数学知识清单》

11.（2020·浙江）

x−3y+10若实数x，y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（

x+y−30A.(−,4]B.[ 4,+)C.[ 5,+)

）

D.(−,+)12.（2020·全国Ⅰ【理&文】）

2x+y−20若x，y满足约束条件x−y−10，则z=x+7y的最大值为________．

y+1013.（2020·全国Ⅲ【理&文】）

x+y0若x，y满足约束条件2x−y0，则z=3x+2y的最大值为________．

x114.（2020·全国Ⅱ【理&文】）

已知函数f(x)=x−a+x−2a+1．

2（1）当a=2时，求不等式f(x)4的解集．（2）若f(x)4，求a的取值范围．

-139 -《高中数学知识清单》

第十章 数系的扩充 高考导航

考试要求 （1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联复数 系； （2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件； （3）了解复数的代数表示法及其几何意义； （4）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义． 预计高考将会有较多题目用到推理证明的方法． 复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义，一般是选择题、填空题，难度不大，预计今后的高考还会保持这个趋势． 预测高考对本讲的试题难度不会太大，重视对基本问题诸如：复数的四则运算的考查，题目多以选择、填空为主． 命题走向 知识精讲

一、 基本概念 1、 复数的概念：

（1）虚数单位i；

（2）复数的代数形式z=a+bi，(a, bR)； （3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数．2、 复数集

复数a+bi(a, bR)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当b0时，a+bi是虚数，其中a=0且b0时称为纯虚数．应特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数． 二、 复数的四则运算

若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i2=-1结合到实际运算过程中去．

-140 -《高中数学知识清单》

（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i； （2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i；

z2=(a1a2-bb（3）乘法：z1· 12)+(a1b2+a2b1)i；1、 复数的除法：

复数的除法是复数乘法的逆运算，由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即

a1+bi(a+bi)(a−bi)1=1122．

a2+b2i(a2+b2i)(a2−b2i)222、 复数z=a+bi的模，|a|=a+b3、 共轭复数

定义：对于复数z=a+bi，称复数z=a−bi为z的共轭复数．即两个实部相等，虚部（虚部不等于0）互为相反数的复数互为共轭复数．复数z的共轭复数记作z．表示方法为在字母z上方加一横线即共轭符号．

根据定义，若z=a+bi(a，bR），则z=a−bi．共轭复数所对应的点关于实轴对称．在复平面上．表示两个共轭复数的点关于X轴对称．而这一点正是\"共轭\"一词的来源．两头牛平行地拉一部犁，它们的肩膀上要共架一个横梁，这横梁就叫做\"轭\"． 4、 共轭复数的性质：

______︱︱=a−bi︱（1）︱a+bi

（2）(a+bi)(a−bi)=a2+b2

-141 -《高中数学知识清单》

要点解析

一、 根据两个复数相等的定义

设a, b, c, dR，两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+di． 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等．

两个复数相当的定义实际上给出了将复数问题转化为实数问题的方法，是求复数值、在复数集中解方程得重要依据． 二、 共轭复数

复数a+bi的共轭复数是a−bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称．若b=0，则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上．复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离．

三、 复数的表达形式．

①几何形式

在直角坐标系中，以x为实轴，y为虚轴，o为原点形成的坐标系叫做复平面． 这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定 ．

z(a，b)表示．这种形式使复数的问题可以借助图形来研究．也可反过复数z=a+bi用复平面上的点 来用复数的理论解决一些几何问题．

②向量形式

z(a，b)为终点的向量oz表示．这种形式使复数的加、减法复数z=a+bi用一个以原点o为起点，点 运算得到恰当的几何解释．

③三角形式

22复数z=a+bi化为三角形式z=r(cos+isin)中r=a+b，是复数的模（即绝对值）．

④指数形式

将复数的三角形式z=r( cos+isin)中的cos+isin换为exp(i)，复数就表为指数形式

z=r exp(i)．

-142 -《高中数学知识清单》

高考特训

1.（2018·设z=1−新课标iⅠ【理＆文】）

1+i+2i，则z=（ ）

A.0B.

12C.1

2.1（+2i2018·新课标Ⅱ【理】）

1−2i=（ ） A. − 435−5iB. −435+5iC. −

35−45i3.（2018·新课标Ⅲ【理＆文】）已知i为虚数单位，则(1+i)(2−i)=（ ） A.−3−iB.−3+iC.3−i4.（2018·北京【理＆文】） 在复平面内，复数11−i的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

5.（2019·北京【理＆文】）

已知复数z=2+i，则zz=（ ） A. 3B.

5C.3《高中数学知识清单》

D. 2D. −35+45iD.3+iD.第四象限

D.5-143 -6.（2019·全国Ⅲ【理＆文】）若z(1+i)=2i，则z=（ ）A.−1−iB.−1+iC.1 −iD.1+i7.（2019·全国Ⅱ【理】）

设z=−3+2i，则在复平面内z对应的点位于（ A.第一象限

B.第二象限

）

D.第四象限

C.第三象限

8.（2019·全国Ⅰ【理】）

设复数z满足z−i=1，z在复平面内对应的点为(x,y)，则（A.(x+1)+y2=1C. x2+(y−1)=122）

B.(x−1)+y2=1D.x2+(y+1)=1229.（2020·新课标Ⅰ【理】）若z=1+i，则z−2z=（ A.0B.1

2）

C.

2D.210.（2020·新课标Ⅱ【理】）

设复数z1，z2满足z1=z2=2，z1+z2=3+i，则z1−z2=________．

-144 -《高中数学知识清单》

11.（2020·1新课标Ⅲ【理】）复数

1−3i的虚部是（ ） A. − 310B. −11012.（2020·山东）

2−i1+2i=（ ） A.1

B.−113.（2020·天津）

i是虚数单位，复数

8−i2+i=________．《高中数学知识清单》C.

110D.

310C.iD.−i-145 -