椭圆方程的求法例题

椭圆的方程的求法

一、定义法

【例1】已知ABC的周长是18，A(4,0),B(4,0)，求点C的轨迹方程。

【变式】：在周长为定值的△ABC中,已知|AB|=6,且当顶点C位于定点P时,cosC有最

7小值为.建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.

25【解】:以AB所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系, 设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值,所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆, 所以焦距 2c=|AB|=6

|CA|2|CB|262(|CA||CB|)22|CA||CB|362a218因为 cosC1

2|CA||CB|2|CA||CB||CA||CB|2a218)a2,所以 cosC12, 2a又 |CA||CB|(由题意得 11872,a25 225a此时,|PA|=|PB|,P点坐标为 P(0,±4).

x2y21(y0) 所以C点的轨迹方程为

2516【例2】已知椭圆C以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为

361,0，点M2,2在椭圆上，求椭圆C的方程；

36【解法1】：有定义可得F1(1,0),F2(1,0)，点M2,2在椭圆上。

所以2aMF1MF223，又c1

x2y21 故椭圆方程为：32x2y2【解2】设椭圆方程221(ab0)

abc1a2b21

363644点2,2在椭圆上，a2b21 x2y24b5b60b2,a31

324222y 【例3】已知圆F1:(x1)2y216，定点F2(1,0)．动圆M过点F2，且与圆F1相内切．求点M的轨迹C的方程.

【解析】设圆M的半径为r．

因为圆M与圆F1相内切，所以MF1＝4－r． 因为圆M过点F2，所以MF2＝r．

所以MF1＝4－MF2，即MF1＋MF2＝4．

所以点M的轨迹C是以F1，F2为焦点的椭圆．

x2y2

且此椭圆的方程形式为a2＋b2＝1(a＞b＞0)．

其中2a＝4，c＝1，所以a＝2，b＝3． x2y2

所以曲线C的方程4＋3＝1．

M O F2 F1 x y M O F2 F1 x 【例4】设x,yR,i,j为直角坐标系内x,y轴正方向的单位向量，axi(y2)j,

bxi(y2)j，且|a||b|8．求点M(x,y)的轨迹C的方程； 【解析】由已知可得ax，y2,bx，y2,又|a||b|8知，

x2(y2)2x2(y2)28

即点M(x,y)到两定点F1(0,2),F2(0,2)的距离之和为定值8，又8>4 所以M(x,y)的轨迹为以F1(0,2),F2(0,2) 为焦点椭圆，

x2y21 故方程为

1216|【例5】已知ABC的三边长|CB|,|AB|,|CA成等差数列,若点A,B的坐标分别为

(1,0),(1,0).求顶点C的轨迹W的方程;

【解析】:因为|CB|,|AB|,|CA|成等差数列,点A,B的坐标分

lCy别为(1,0),(1,0)

所以|CB||CA|2|AB|4且4|AB| 由椭圆的定义可知点C的轨迹是以A,B为焦点长轴为4的椭圆(去掉长轴的端点), 所以a2,c1,b3.

x2y21(y0) 故顶点C的轨迹W方程为43EOADBx【例6】一束光线从点F1(1,0)出发,经直线l:2xy30上一点D反射后,恰好穿过

点F2(1,0)．求以F1、F2为焦点且过点D的椭圆C的方程;

【解析】设点F1关于直线l:2xy30的对称点F1(m,n),

9n1m925m12则,解得,∴F1(,)

552m1n30n2522∵|PF1||PF1|,根据椭圆的定义,得

922a=|PF1||PF2|=|F1F2|=(1)2(0)222,

55∴a2,c1,b211．

x2∴椭圆C的方程为y21．

2【例7】已知圆M:x5y236，定点N(5,0)，点P为圆M上的动点，点Q在

2NP上，点G在MP上，且满足NP2NQ,GQNP0，求点G的轨迹方程。 【解析】由题意可得：GQ垂直平分NP，所以GP=GN，

所以GMGNGP6

二、待定系数法

高考试题整理中的试题

1．（2009广东）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为

x2y2G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，椭圆G的方程．1

369y2x23．（2009浙江理）已知椭圆C1：221(ab0)的右顶点为A(1,0)，过C1的焦

aby2点且垂直长轴的弦长为1．求椭圆C1的方程．x21

43，且216．（2009宁海理）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它

x2y21 的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．求椭圆C的方程．167x2y27．（2009山东理）设椭圆E:221（a,b0）过M(2,2)，N(6,1)两点，Oabx2y21 为坐标原点，求椭圆E的方程。84x2y239．（2009全国Ⅱ）已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，直线l过右焦点

ab3F，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为

2，求a，b的值． 2a3,b2

x2y2310．（2009安徽文）已知椭圆221(ab0)的离心率为，以原点为圆心，

ab3以椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切．求a与b． a3,b． 214．（2009湖南文）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）．求椭圆C的方

x2y21． 程．84

三、转化已知条件

【例1】已知点A,B的坐标分别是(0,1),(0,1),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜

1率之积为.求点M轨迹C的方程;

2【解析】:设点M的坐标为(x,y), ∵kAMkBM1y1y11 ,∴2xx2x2整理,得y21(x0),这就是动点M的轨迹方程

2【例2】设Q、G分别为ABC的外心和重心,已知A(1,0),B(1,0),QG//AB｡求点C的轨迹E

xy【解析】:设C(x,y),∵A(1,0),B(1,0) ∴G(,)

33又∵Q是外心,且QG//AB

y∴Q(0,)

3∵|QA||QC|

y24y2y222x1(y0) ∴1,即x993【例3】已知动点P到直线x点P的轨迹方程;

4233的距离是到定点(3,0)的距离的倍.求动33【解析】:设动点P(x,y),由题意知x4233(x3)2y2. 33x2x22y1. 即动点P的轨迹方程是y21. 44【例4】在平面直角坐标系中,长度为6的线段PQ的一个端点P在射线y=0(x≤0)上滑动,另一端点Q在射线x=0(y≤0)上滑动,点M在线段PQ上,且

PM1.求点M的轨迹方程; MQ2【解】:设点P、Q、M的坐标分别是P(x1, 0)、Q(0,y1)、M(x, y) 其中x1≤0,y1≤0,依条件可得x12y1236(*)

PM13.∴PQ3PM可得：x1x

2MQ2y13y代入(*)式,得xy21(x,y0) 1642

22xy即点M的轨迹方程为1(x0,y0) 164【例5】已知M（4，0）、N（1，0），若动点P满足MNMP6|PN|。求动点P的轨迹方程；

【解】设动点P（x，y），

则MP(x4,y),MN(3,0),PN(1x,y) 由已知得3(x4)6(1x)2(y)2，

x2y21 化简得3x4y12,即4322x2y21 ∴点P的轨迹是椭圆43【例7】已知点F0,1，直线l：y1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，

垂足为Q，且QPQFFPFQ．求动点P的轨迹C的方程； 【解析】设Px,y，则Qx,1，∵QPQFFPFQ， ∴0,y1x,2x,y1x,2．

即2y1x22y1，即x24y，所以动点P的轨迹C的方程x24y． 【例8】已知平面上一个定点C（－1，0）和一条定直线L：x=－4，P为该平面上一

动点，作PQ⊥L，垂足为Q，(PQ2PC)(PQ2PC)0. （1）求点P的轨迹方程；

22【解析】由(PQ2PC)(PQ2PC)0，|PQ|4|PC|

x2y2设P（x，y），得|x4|4[(x1)y]，3x4y12，∴ 点P的轨迹方程为1．

4322222