2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(新课标Ⅱ卷)文科(解析版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)

数 学 (文科)

注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前考生将自己的姓名准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合M{x|3x1}，N{3,2,1,0,1}，则MN（ ） （A）{2,1,0,1} （B）{3,2,1,0} （C）{2,1,0} （D）{3,2,1}

2、2（ ） 1i（A）22 （B）2 （C）2 （D）1

xy10,3、设x,y满足约束条件xy10,，则z2x3y的最小值是（ ）

x3,（A）7 （B）6 （C）5 （D）3 4、ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b2，B面积为（ ）

（A）232 （B）31 （C）232 （D）31 6，C4，则ABC的

x2y25、设椭圆C:221(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2，P是C上的点，

abPF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为（ ）

（A）3311 （B） （C） （D） 63322，则cos2()（ ） 341

1

6、已知sin2

1112 （B） （C） （D） 63237、执行右面的程序框图，如果输入的N4，那么输出的S（A）（ ） 111 234111（B）1 2324321111（C）1

23451111（D）1 2324325432（A）18、设alog32，blog52，clog23，则（ ） （A）acb （B）bca （C）cba （D）cab

9、一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别

是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）

(A) (B) (C) (D)

10、设抛物线C:y4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，若|AF|3|BF|，B两点。则l的方程为（ ）

（A）yx1或yx! （B）y233(x1)或y(x1) 3322(x1)或y(x1) 22（C）y3(x1)或y3(x1) （D）y3211、已知函数f(x)xaxbxc，下列结论中错误的是（ ） （A）x0R，f(x0)0

（B）函数yf(x)的图象是中心对称图形

2 2

（C）若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(,x0)单调递减 （D）若x0是f(x)的极值点，则f'(x0)0

12、若存在正数x使2(xa)1成立，则a的取值范围是（ ）

（A）(,) （B）(2,) （C）(0,) （D）(1,)

x第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。第22题~第24题为选考题，考生根据

要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是_______。

（14）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AEBD_______。

（15）已知正四棱锥OABCD的体积为径的球的表面积为________。

（16）函数ycos(2x)()的图象向右平移

32，底面边长为3，则以O为球心，OA为半22个单位后，与函数

ysin(2x)的图象重合，则_________。

3三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

已知等差数列{an}的公差不为零，a125，且a1,a11,a13成等比数列。 （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）求a1a4+a7a3n2；

3

3



（18）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，。

（Ⅰ）证明：BC1//平面A1CD1；

（Ⅱ）设AA1ACCB2，AB22，求三棱锥CA1DE的体积。

（19）（本小题满分12分）

A1B1ADBEC1C经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品。以X（单位：t，100X150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。 （Ⅰ）将T表示为X的函数；

（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；

（20）(本小题满分12分)

在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23。

（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程； （Ⅱ）若P点到直线yx的距离为

4

4

2，求圆P的方程。 2

（21）（本小题满分12分）

已知函数f(x)xe。 （Ⅰ）求f(x)的极小值和极大值；

（Ⅱ）当曲线yf(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲 如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAEDCAF，B、E、F、C四点共圆。 （Ⅰ）证明：CA是ABC外接圆的直径； （Ⅱ）若DBBEEA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值。

（23）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程

2xx2cost,已知动点P、Q都在曲线C:（t为参数）上，对应参数分别为t=与t=2y2sint（02），M为PQ的中点。

（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程；

（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点。

（24）（本小题满分10分）选修4——5；不等式选讲 设a、b、c均为正数，且abc1，证明：

a2b2c211 （Ⅰ）abbcac；（Ⅱ）bca3

5

5

2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标2）

文科数学试题参考答案

一、选择题

1．C【解析】∵M{x|3x1}，N{3,2,1,0,1}，∴MN{2,1,0}. 2．C【解析】∵22(1i)2(1i)2==1i,∴|||1i|2，故选C.

21i1i(1i)(1i)3．B【解析】由题画出如图所示的可行域；由图可知当直线z2x3y经过点B(3,4)时，

zmin23346，故选B. 64yB(3,4)z=2x-3yx = 3Ox+y-1=0510x-y+1=02A2C(3,-2) 4．B【解析】∵b2，B646，C4，∴由正弦定理得bsin6csin4，解得c22，又A(BC)16271，SABCbcsinA=222=31，故选B. 241225．D【解析】如图所示：∵PF2F1F2，PF1F2300，∴PF12PF2，又因PF1PF22a2aPF23c3tan300，所以e且F1F22c，∴，故选D. F1F22ca34P25F1O2F251046．A【解析】因为sin262111，所以cos2()[1cos2()]=(1sin2)=，342426 故选A. 7．B【解析】由框图可知第1次运算结果为T11,S11,k12，第2次运算结果为

86 6

11111T2,S21,k23，第3次运算结果为T3,S31,k34，第4次

22232231111运算结果为T4，k45N4，终止循环，输出运,S41234223234111算结果为S41并结束，故选B. 2232348．D【解析】因为log23log32log52，所以cab，故选D.

9．A【解析】根据题意可画出如图所示的四面体OABC，以zOx平面为投影面，则A与A'重合，B与B'重合，故其正视图可以为如图所示，故选A.

zCB'CBxA'AOyA'正视图B'O 2y2y14y14x110．C【解析】如图所示：设A(x1,y1)，则，作差得：=，B(x2,y2)，k2xxyy2121y24x2又因|AF|3|BF|，则有y13y2，所以k22，∴直线l为y(x1)，则y2y2y22122，所以2(x21)4x22(x21)x2，则y2(x21)y23y23k2=3，∴直线l的方程为y3(x1)，故选C. y264Al2OB2F5x104 3211．C【解析】对于选项C：取a3，b9，c0，即f(x)x3x9x，则

6f'(x)3x26x9，所以当x3或x1时，f'(x)0，当3x1时，f'(x)0，

所以f(x)在(,3)和(1,)内为增，(3,1)内为减，则x1时为极小值点，但在区间

8(,1)不单调递减，显然错误，故选C.

7

7

x12．D【解析】因为“存在正数x，使2(xa)1成立”，的否定为“任意非正数x，使

2x(xa)1成立”令f(x)2x(xa)，显然f(x)在(,0]是单调递增函数，所以f(x)maxf(0)，即a1，所以a1的补集为(1,)，故选D.

二、填空题 13．1【解析】从1,2,3,4,5中任取2个数使其为5的情况有(1,4)、(2,3)两种，所以概率为5P21=. C525114．2【解析】设ABa，ADb，则|a||b|2，ab0，AEab，BDba，

21所以AEBD(ab)(ba)=2. 215．24【解析】如图所示：连接BD，AC相交于E，连接OE，∴SABCD3，VOABCD32，2∴13232162，AEAC，∴ROA6，∴S球4R= SABCDhh3222224 ODAEBC 16．5 【解析】因为ycos(2x)=cos(2x)=sin[(2x)]= 6225合，所以，解得. 236三、解答题

17．解析：

sin(2x2)，图像向右平移个单位后为：ysin(2x)，与ysin(2x)重238 8

【点评】近几年高考每年必考一数列大题，但新课标高考考查的难度已大为降低，所考查的的热点为求数列的通项公式、等差(比)数列的性质及数列的求和问题.

18．解析：（Ⅰ）连结AC1交AC1于O，连结OD，„„

【点评】第（I）问的证明的突破口是利用矩形AAC11C的性质，找出ABC1的中位线OD，

9 9

连结AC1交AC1于O，连结OD，就做出了解决这个问题的关键辅助线。(II)本题关键要找到点C与平面A1DE的距离，即证明CD面A1DE，并求A1D,A1E,DE的长，易知A1DE为直角三角形.

.19． 解析：（Ⅰ）T500X300(130X)=800X39000

【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率统计问题来考查，且常考常新,.对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为概率模型即可，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键.

20．解析：

【点评】近年高考中解析几何大题已成必考题型,重点考查求圆锥曲线的方程、“设点法”求点的轨迹、直线与圆锥曲线的位置关系以及含参问题，其中直线与圆锥曲线的相交问题一般联立方程，设而不求,有时还要借助根的判别式及韦达定理进行转化.

21．解析：（Ⅰ）

（Ⅱ）

【点评】已知函数单调性求参数取值范围时，容易忽略f(x)0这一特殊情况，从而造成漏解,需记住：f(x)在区间I上为增函数f(x)0在区间I上恒成立, f(x)在区间I上为减函数f(x)0在区间I上恒成立.

10

10

四、选做题

22． 解析：

23． 解析：

24．解析：

11 11

12 12