学生排队、士兵列队、横着排叫做行、竖着排叫做列.如果行数与列数都相等、则正好排成一个正方形、这种图形就叫方队、也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
方阵的基本特点是：
① 方阵不论在哪一层、每边上的人（或物）数量都相同.每向里一层、每边上的人数就少2。
② 每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系： 四周人（或物）数=[每边人（或物）数-1]×4； 每边人（或物）数=四周人（或物）数÷4＋1。
③ 中实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数。
例1：有一条公路长900米、在公路的一侧从头到尾每隔10米栽一根电线杆、可栽多少根电线杆？
分析：要以两棵电线杆之间的距离作为分段标准.公路全长可分成若干段.由于公路的两端都要求栽杆、所以电线杆的根数比分成的段数多1。
解：以10米为一段、公路全长可以分成
900÷10＝90（段）共需电线杆根数：90+1=91（根）
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练习与作业
1.四年级同学参加广播体操比赛、要排列成每行11人、共11行的方阵。这个方阵里有多少同学？
2.用棋子排成一个6×6的正方形、共需用棋子多少枚？
3.有1764棵树苗、准备在一块正方形的苗圃（实心方阵）里栽培。这个正方形苗圃的每边要栽多少棵树苗？
4.576人排成一个实心方阵、这个方阵每边多少人？
5.棋子若干只、恰好可以排成每边6只的正方形、棋子的总数是多少？棋子最外层有多少？
6.在大楼的正方形平顶四周装彩灯、四个角都装一盏、每边装25盏、四周共装彩灯多少盏？
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第二讲 方阵问题（二）
例3：某校五年级学生排成一个方阵、最外一层的人数为60人。问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？
分析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：
每边人数=四周人数÷4+1、可以求出方阵最外层每边人数、那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人） 整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）
答：方阵最外层每边有16人、此方阵中共有256人。 例4：晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵、最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？
分析：方阵每向里面一层、每边的个数就减少2个。知道最外面一层每边放14个、就可以求第二层及第三层每边个数。知道各层每边的个数、就可以求出各层总数。
解：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个） 第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个） 第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个） 摆这个方阵共用棋子：52+44＋36＝132（个）
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练习与作业
1. 有16个学生站在正方形场地的四周、四个角上都站1人、如果每边站的人数相等、那么每边站几个学生？
2. 有一个正方形池塘、四个角上都栽1棵树、如果每边栽6棵、四边一共栽多少棵树？
3. 有100个少先队员参加广播操比赛、十人一行、排成了一个正方形队。这个正方形四周站了多少个少先队员？
4. 在一块正方形场地的四周竖电线杆、四个角上都竖1根、一共竖28根、正方形场地每边竖多少根电线杆？
5. 某会议室的天棚是正方形、准备在天棚四周每边安装8灯（包括四个角上都安装1盏）、四周一共安装多少盏灯？
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第三讲 巧求周长（一）
我们已经会计算长方形和正方形的周长了、但对于一些不是长方形、正方形而是多边形的图形、怎样求它的周长呢？可以把求多边形的周长转化为求长方形和正方形的周长。
例1：如图13—1所示、求这个多边形的周长是多少厘米？
分析：要求这个多边形的周长、也就是求线段AB＋BC＋CD＋DE＋EF+FA的和是多少、而在这六条线段中、只有AB和BC这两条线段的长度是已知的、其余四条线段的长度均是未知的.当然、这个多边形的周长还是可以求的.用一个大正方形把这个图形圈起来、如图13—2所示、这个大正方形是ABCG.把线段EF水平向上移动、移到CG边上、这样CD＋EF的长度正好与AB的长度相等.同样把竖直方向上的DE边向左移动、移到AG边上、这样AF＋DE的长度正好与BC边的长度相等.这样虽然CD、DE、EF、FA这四条线段的长度不知道、但这四条线段的长度和我们可以求出来、这样求这个多边形的周长就转化为求一个正方形的周长。
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练习与作业
1.下图的周长与长＿＿厘米、宽＿＿厘米的长方形周长相同、所以它的周长为＿＿厘米（单位：厘米）。
2.下图的周长可以看成一个长由＿＿个1厘米的小线段组成、宽由＿＿个1厘米的小线段成的长方形的周长、所以它的周长是＿＿＿厘米。
3.求下列各图形的周长（单位：厘米）。 ①周长为＿＿厘米。
②周长为＿＿＿厘米（围成图形的小线段长l厘米）。
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第四讲 巧求周长（二）
例2.把长2厘米宽1厘米的长方形一层、两层、三层地摆下去、摆完第十五层、这个图形的周长是多少厘米？
分析：先观察图13—3、第一层有一个长方形、第二层有两个长方形、第三层有三个长方形……找到规律、第十五层有十五个长方形.同样、用一个大长方形把这个图形圈起来.因此求这个多边形的周长就转化为求一个长为2×15=30（厘米）、宽为1×15＝15（厘米）的长方形周长。
解：（2×15＋1×15）×2 =45×2＝90（厘米）
答：这个图形的周长为90厘米。
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练习与作业
1. 求下列各图形的周长（单位：厘米）。 ①周长为多少厘米。
②周长为多少厘米（每条小线段长度都是1厘米）？
2. 用9个边长为2厘米的小正方形摆成下图形状、它的周长为多少厘米？
4.街心公园有一块草坪（如下图）、图上所标数字是线段的米数。在草坪四周从某顶点开始每2米种一棵月季花、一共需种＿＿＿棵。
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第五讲 逻辑推理初步
在有些问题中、条件和结论中不出现任何数和数字、也不出现任何图形、因而、它既不是一个算术问题、也不是一个几何问题。
也有这样的题目、表面看来是一个算术或几何问题、但在解决它们的过程中却很少用到算术或几何知识。
所有这些问题的解决、需要我们深入地理解条件和结论、分析关键所在、找到突破口、由此入手、进行有根有据的推理、做出正确的判断、最终找到问题的答案。这类问题我们称它为逻辑推理。
例1.一桩谋杀案中、两个嫌疑犯甲和乙。另有四个证人正在受到讯问。第一个证人说：“我只知道甲是无罪的。”第二个证人说：“我只知道乙是无罪的。”第三个证人说：“前面两个证词中至少有一个是真的。”第四个证人说：“我可以肯定第三个证人的证词是假的。”通过调查研究、已证实第四个证人说了实话、请你分析一下、凶手是谁？
分析与解：题目中条件较多、且四个人的证词有真有假、在这种情况下、要善于抓住关键、由此入手进行有根有据的逐步推理。本题的关键是：第四个人说了实话。
因为第四个人说了实话、所以第三个人的证词是伪证、也就是说“前两个证词中至少有一个是真的”是句假话。由此可以断定、第一个和第二个证人都说了假话。从而判断出甲和乙都是凶手。
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练习与作业
1. 有甲、乙两同学、其中一个人有奇数根铅笔、一个人有偶数根铅笔。如果再给甲原有的铅笔数、再给乙原有铅笔数的2倍、他们俩共有铅笔数为偶数。那么、甲同学原有铅笔数是＿＿。
2. 有甲、乙、丙、丁、戊五位同学、其中丙同学比丁同学高、比戊同学矮；丁同学比乙同学高；戊同学比甲同学矮。则最高的同学是＿＿、最矮的同学是＿＿。
3. 有四种树的照片、它们是桃树、杏树、李树、梨树、生物老师将照片从1到4编了号、让同学们区分四种树、每人说出两个、学生回答如下；第一个学生：2号是桃树、3号是李树；第二个学生：1号是梨树、2号是杏树；第三个学生：2号是桃树、4号是梨树；第四个学生：4号是梨树d号是李树。老师发现这四个同学都只说对了一半、那么、1号是＿＿、2号是＿＿、3号是＿＿、4号是＿＿。
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第六讲 枚举问题（一）
电工买回一批日光灯、在灯座上逐一试一遍、结果全部日光灯都是好的。像这样将事物一个一个全部列举出来的方法就是枚举法。
问题.小明有1个5分币、4个2分币、8个1分币、要拿出8分钱、你能找出几种拿法？
分析为了不重复、不遗漏地找出所有可能的拿法、“找”就要按照一定的规则进行。
先找只拿一种硬币的拿法、有两种： ①1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＝8（分）； ②2＋2＋2＋2＝8（分）。
再找拿两种不同硬币的拿法、有四种： ①1＋1＋1＋1＋1＋1＋2＝8（分）； ②1＋1＋1＋1＋2＋2＝8（分）； ③1＋1＋2＋2＋2＝8（分）； ④1＋1＋1＋5＝8（分）。
最后找拿三种不同硬币的拿法、只有一种：
①1＋2＋5＝8（分）。由此可见、共有7种不同的拿法。 在上面用枚举法寻找可能拿法的过程中、我们对全部拿法作了适当分类。合理分类是枚举法解题中力求又快又省的技巧。
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练习与作业
1. 用2、5、8三个数字可以组成几个不同的三位数？其中最大的三位数是什么？最小的三位数是什么？
2. 用0、l、3、6可以组成多少个四位数？
3. 有四张卡片分别写有数字0.l、2、3、从中取出2张卡片并排放在一起、可以组成多少个两位数？
4. 用两个1、一个2、一个3可以组成种种不同的四位数、这些四位数一共有多少个？
5. 在两位整数中、十位数字大于个位数字的共有几个？
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第七讲 枚举问题（二）
问题1.假设有A、B、C三个城市、从A到C必须经过B．已知从A到B可以坐汽车或坐火车到达、而从B到C则可以坐汽车或坐火车或坐飞机到达．问：从A到C可以有多少种不同的旅行方式？
分析 从A到C（A→C）可分两个阶段进行：第一阶段、从A到B（A→B）；第二阶段、从B到C（B→C）、按照第一阶段使用的交通工具不同可以分为两类：
A→B B→C A→
所以、从A到C共有2×3＝6种不同的旅行方式。
上述解法中的图示叫做枝形图（图44—1）、在解不太复杂的计数问题中很有用。
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练习与作业
1. 有五顶不同的帽子、两件不同的上衣、三条不同的裤子、从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。问：最多有多少种不同的装束？
2. 从甲地到乙地有2条不同的路可走、从乙地到丙地有4条不同的路可走。问：从甲地到丙地有几条不同的路可走？
3. 从甲地到乙地可以坐飞机、火车、汽车、从乙地到两地可坐飞机、火车、汽车、轮船、某人从甲地经乙地到丙地共有几种走法？
4. 小英从家到学校有三条路可走、从学校到少年之家有四条路可走、小英从家经过学校到少年之家共有几种走法？
5. 有红、黄、绿、蓝、白五种颜色的铅笔、每两种颜色的铅笔
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为一组、最多可以配成不重复的几组？
第八讲 平均数问题（一）
求平均数问题是小学学习阶段经常接触的一类典型应用题、如“求一个班级学生的平均年龄、平均身高、平均分数……”。
平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数。
解答这类应用题时、主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系、根据总数除以它相对应的份数、求出一份数、即平均数。
一、算术平均数
例1.用4个同样的杯子装水、水面高度分别是4厘米、5厘米、7厘米和8厘米、这4个杯子水面平均高度是多少厘米？
分析：求4个杯子水面的平均高度、就相当于把4个杯子里的水合在一起、再平均倒入4个杯子里、看每个杯子里水面的高度。
解：（4＋5+7+8）÷4=6（厘米） 答：这4个杯子水面平均高度是6厘米。
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练习与作业
1. 机械厂前3天平均每天加工零件1259只、后4天共加工零件5379只、这星期内平均每天加工零件多少只？
2. 修路队4天修了两段公路、第一段长430米、第二段长250米、平均每天修多少米？
3. 甲、乙、丙、丁四个队参加田径比赛。甲队得114分、乙队得210分、丙队得186分、丁队得178分。四个队的平均成绩是多少分？
4. 东村小学38名少先队员、在校园内和路旁种蓖麻。在路旁种了190棵、在校园内种的棵数是路旁的3倍。平均每人种蓖麻多少棵？
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第九讲 平均数问题（二） 二、加权平均数
例3.果品店把2千克酥糖、3千克水果糖、5千克奶糖混合成什锦糖.已知酥糖每千克4.40元、水果糖每千克4.20元、奶糖每千克7.20元.问：什锦糖每千克多少元？
分析：要求混合后的什锦糖每千克的价钱、必须知道混合后的总钱数和与总钱数相对应的总千克数。
解：①什锦糖的总价：4.40×2+4.20×3+7.20×5＝57.4（元） ②什锦糖的总千克数：2＋3＋5＝10（千克） ③什锦糖的单价：57.4÷10=5.74（元） 答：混合后的什锦糖每千克5.74元。
我们把上述这种平均数问题叫做“加权平均数”.例3中的5.74元叫做4.40元、4.20元、7.20元的加权平均数.2千克、3千克、5千克这三个数很重要、对什锦糖的单价产生不同影响、有权衡轻重的作用、所以这样的数叫做“权数”。
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练习与作业
1. A、B、C三人储蓄、A储了1240元、B比A少储70元、C比B多储50元。求A、B、C三人平均储蓄额。
2. 甲、乙二数的平均数是72、丙是18。甲、乙、丙三个数的平均数是多少？
3. 甲、乙的平均数是30、乙、丙的平均数是34、甲、丙的平均数是32。求甲、乙、而三个数的平均数。
4. 有A、B、C三个数、A与B的平均数是97、B与C的平均数为132、A与C的平均数为125。问：这三个数的平均数是多少？
5. 小刚参加我学考试、前两次的平均分数是85分、后三次的平均分数是90分。小刚前后几次考试的平均分数是多少？
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第十讲 消去问题（一）
转化法指的是从不同的角度和不同的侧面去分析题目中的数量关系、有的题可以对题中的某些条件进行必要的调整、使这些条件重新组合、解答起来、往往容易一些。
例1 学校买了10盒白粉笔和4盘彩粉笔共花了32元、每盒彩粉笔的价钱是白粉笔的2.5倍、每盒白粉笔、彩粉笔各多少钱？
分析：依题意、用买1盒彩粉笔的钱可以买2.5盒白粉笔、那么、买4盒彩粉笔的钱就可以买4×2.5=10（盒）白粉笔。因此、可以理解为花32元买了10+4×2.5=20（盒）白粉笔、这样、就可以求出1盘白粉笔的价格。
解：（1）4盒彩粉笔能换成几盒白粉笔？ 4×2.5=10（盒） （2）白粉笔每盒多少元？ 32÷（10+10）=32÷20=1.6（元） （3）彩粉笔每盒多少钱？ 1.6×2.5=4（元）
答：白粉笔每盒1.6元、彩粉笔每盒4元。
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练习与作业
1. 买一块橡皮和4支铅笔一共用去2角7分、买同样的一块橡皮和2支铅笔的价钱是1角5分、一块橡皮和一支铅笔各多少钱？
2. 甲班用4元2角钱买了4支铅笔、3支圆珠笔；乙班用10元2角钱买了4支铅笔和8支圆珠笔。问：铅笔、圆珠笔的单价各是多少元？
3. 妈妈买6米白布、8米花布.用去21元3角钱、王大妈买同样的白布6米、同样的花布6米、用去18元钱。问：每米白布和每米花布各多少钱？
4. 妈妈买2千克糖果和1千克饼干、共付7元2角、如果买1千克糖果和2千克饼干得付6元、糖果和饼干每千克多少钱？
5. 小明买6本《红岩》、5本《新华字典》共用7元2角；小刚买5本《红岩》、6本《新华宇典》共用7元1角。《红岩》和《新华字典》每本售价各多少元？
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第十一讲 消去问题（二）
例1.从图2-2中你能称出一只菠萝等于几只桃子的重量？
这样想：根据（1）、（2）、可推出1个梨的重量等于2支香蕉的重量；然后把（3）中的一个梨替换成2支香蕉、这样、（3）中就相当于1个菠萝等于2个桃子和3支香蕉的重量、又回想到（2）中1个菠萝等于4支香蕉的重量、因此、2个桃子实际上是1支香蕉的重量、可推得1个菠萝等于8个桃子的重量。
例2.1头象的重量等于4头牛的重量、1头牛的重量又等于3匹小马的重量、而1匹小马的重量刚好与4头小猪的重量相同、那么1头象的重量等于几头小猪的重量。
这样想：1匹小马刚好是4头小猪的重量、那么3匹小马等于12头小猪的重量、又1头牛相当于3匹小马的重量、也就是12头小猪的重量、因此4头牛等于48头小猪的重量、也就是1头象的重量等于48头小猪的重量。
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练习与作业
1. 美术小组第一天买了3盒彩笔和1支毛笔、付款4元4角4分、第二天又买同样的5盒彩笔和3支毛笔、付款7元9角6分。求每盒彩笔和每支毛笔的价钱？
2. 学校第一次买3只篮球、4只排球用了354元、第二次买2只篮球、3只排球用了252元。问：篮球与排球的单价各是多少元？
3. 甲求乙代买5千克酒、3千克酱油、按售价交给乙6.45元。乙误买为3千克酒、5千克酱油.结果拿回2.10元、问每千克酒、酱油各多少元？
4. 王老师带了30元钱去文具店买钢笔和圆珠笔。他买了3支钢笔和5支圆珠笔后、剩下的钱再买2支圆珠笔还差4角.再买2支钢笔还差2元。每支钢笔多少元？
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第十二讲 行程问题（一）
例1.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发、相向而行。如果两人都按原定速度行进、那么4小时相遇；现在两人都比原计划每小时少走1千米、那么5小时相遇。A、B两地相距多少千米？
分析：可以想象、如果甲、乙两人以现在的速度（比原计划每小时少走1千米）仍然走4小时、那么他们不能相遇、而是相隔一段路。这段路的长度是多少呢？就是两人4小时一共比原来少行的路。由于以现在的速度行走、他们5小时相遇、换句话说、再行1小时、他们恰好共同行完这段相隔的路。这样、就能求出他们现在的速度和了。
解：1×4×2÷（5-4）×5=40（千米）
这道题属于相遇问题、它的基本关系式是：速度和×时间=（相隔的）路程。但只有符合“同时出发、相向而行、经过相同时间相遇”这样的特点才能运用上面的关系式。不过、当出现“不同时出发”或“没有相遇（而是还相隔一段路）”的情况时、应该通过转化条件、然后应用上面的关系式。
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练习与作业
1. 一列火车平均每小时行用千米、这列火车从甲地到乙地共用了4小时、问：甲、乙两地相距多少千米？
2. 一辆汽车5小时行了280千米、这辆汽车平均每小时行多少千米？
3. 小明家到学校1800米、小明早晨上学、平均每分钟走120米、问：小明从家到学校一共用多少分钟？
4. 甲、乙两人同时从东西两村出发相向而行、甲每分钟走85米、乙每分钟走90米,18分钟后两人相遇。东西两村相距多少米？
5. 甲、乙两列火车同时从两地相向而行、甲车每小时行55千米、乙车每小时行60千米、4小时后两车相遇。两地相距多少千米？
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第十三讲 行程问题（二）
例2.小王、小张步行的速度分别是每小时4.8千米和 5.4千米。小李骑车的速度为每小时10.8千米。小王、小张从甲地到乙地、小李从乙地到甲地、他们三人同时出发、在小张与小李相遇5分钟后、小王又与小李相遇。小李骑车从乙地到甲地需多长时间？
分析：为便于分析、画出线段图36-1：
图中C点表示小张与小李相遇地点、D点表示他们相遇时小王所在地点。根据题意、小王从D点、小李从C点同时出发、相向而行、经过5分钟相遇。因此、DC的长为
这段长度也是相同时间内、小张比小王多行的路程。这里的“相同时间”指从三人同时出发到小张与小李相遇所经过的时间。这段时间为
1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分）
这就是说、小张行完AC这段路（也就是小李行完CB这段路）用了130分钟、而小李的速度是小张速度的2（=10.8÷5.4）倍、所以小李行完AC这段路只需小张的一半时间（65分）。
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练习与作业
1. 东西两地相距500千米、甲、乙两车同时从两地相向出发、甲车每小时行45千米、乙车每小时行55千米。甲、乙两车几小时后才能相遇？
2. 甲站到乙站相距1100千米、两列火车同时从两地相向开出,10小时相遇、快车每小时行用千米、慢车每小时行多少千米？
3. 甲、乙两人同时从相距54千米的两地相向而行、甲的速度是每小时5千米、乙的速度是每小时4千米、几个时后两人相遇？
4. 甲、乙两工程队合修一条长935米的公路、甲队以每天45米的速度由西端往东修、乙队以每天40米的速度由东端往西修、6天后两队相距多远？此工程共需多少天？
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第十四讲 填补不完整的算式
数字谜是一类非常有趣的数学问题、在小学数学竞赛中经常出现.解这类问题必须认真审题、根据题目的特点、找出突破口、从而逐步简化题目直至问题完全解决.
问题16.1 在下面这个算式中、不同的文字代表不同的数字、相同的文字代表相同的数字.它们各代表什么数字时、算式才能成立？
分析（1）从“明”字入手.算式中“明+明=明”是本题的突破口.因为在0～9这十个数字中、只有0+0=0、所以：明=0.即
（2）因为两个最大的一位数相加是18、只能向高位进1.因此：分=1.即
（3）再由“是+是=10”可知：是=5.即 （4）由“1+就=5”可知：就=4.即
（5）由“非+非= 4”可知：非= 2.即
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练习与作业
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