非等差等比数列前n项和计算方法

1、数列中an与Sn之间的关系： ,(n1)S1注意通项能否合并。 anSnSn1,(n2).2、等差数列: ⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即an－

an1=d ,（n≥2，n∈N)，

那么这个数列就叫做等差数列。

⑵等差中项：若三数a、A、b成等差数列A⑶通项公式:ana1(n1)dam(nm)d 或anpnq(p、q是常数）. ⑷前n项和公式：

ab 2Snna1nn1na1and 22⑸常用性质：

①若mnpqm,n,p,qN,则amanapaq； ②下标为等差数列的项ak,akm,ak2m,,仍组成等差数列； ③数列anb（,b为常数）仍为等差数列;

④若{an}、{bn}是等差数列,则{kan}、{kanpbn} （k、p是非零常数）、

{apnq}(p,qN*)、,…也成等差数列。

⑤单调性：an的公差为d，则：

ⅰ）d0an为递增数列； ⅱ）d0an为递减数列； ⅲ）d0an为常数列;

⑥数列{an｝为等差数列anpnq（p，q是常数）

⑦若等差数列an的前n项和Sn，则Sk、S2kSk、S3kS2k… 是等差数列. 3、等比数列 ⑴定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。 ⑵等比中项：若三数a、。反之不一定成立。 G、b成等比数列Gab,（ab同号）

2⑶通项公式：ana1qn1amqnm ⑷前n项和公式：Sn⑸常用性质

①若mnpqm,n,p,qN，则amanapaq；

②ak,akm,ak2m,为等比数列，公比为qk(下标成等差数列,则对应的项成等比数列） ③数列an(为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列;正项等比数列an；则

a11qn1qa1anq

1qlgan是公差为lgq的等差数列；

④若an是等比数列，则can，an ，a21 ，n21ra(rZ)q，q，，qr. 是等比数列,公比依次是nq⑤单调性：

a10,q1或a10,0q1an为递增数列；a10,0q1或a10,q1an为递减数列;

q1an为常数列; q0an为摆动数列;

⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。

⑦若等比数列an的前n项和Sn,则Sk、S2kSk、S3kS2k… 是等比数列。 4、非等差、等比数列通项公式的求法 类型Ⅰ 观察法:已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。

类型Ⅱ 公式法：若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列an的通项an可用公式 an,(n1)S1构造两式作差求解。

SnSn1,(n2)用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”,即分段式；另一种是“合二为一\"，即a1和an合为一个表达，（要先分n1和n2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）。

类型Ⅲ 累加法： 形如an1anf(n)型的递推数列（其中f(n)是关于n的函数）可构造：

anan1f(n1)aaf(n2)n1n2 ...a2a1f(1)将上述n1个式子两边分别相加,可

得:anf(n1)f(n2)...f(2)f(1)a1,(n2)

①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ③若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和； ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。

类型Ⅳ 累乘法： 形如an1anf(n)an1f(n)型的递推数列（其中f(n)是关于n的函数）可构造：ananaf(n1)n1an1f(n2)a n2...a2af(1)1将上述n1个式子两边分别相乘，可得：

anf(n1)f(n2)...f(2)f(1)a1,(n2)

有时若不能直接用，可变形成这种形式,然后用这种方法求解. 类型Ⅴ 构造数列法： ㈠形如an1panq（其中p,q均为常数且p0）型的递推式： （1）若p1时，数列{an}为等差数列; (2）若q0时，数列{an｝为等比数列;

（3)若p1且q0时，数列{an｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种:

法一：设an1p(an)，展开移项整理得an1pan(p1),与题设

an1panq比较系数（待定系数法）得

qqqqq,(p0)an1p(an)anp(an1)，即p1p1p1p1p1qq构成以为首项,以p为公比的等比数列。再利用等比数列的通项公式aan1p1p1求出anq的通项整理可得an. p1an1anp,即

anan1法二:由an1panq得anpan1q(n2)两式相减并整理得

an1an构成以a2a1为首项,以p为公比的等比数列。求出an1an的通项再转化为

类型Ⅲ（累加法）便可求出an.

㈡形如an1panf(n)(p1)型的递推式： ⑴当f(n)为一次函数类型(即等差数列)时： 法一：设anAnBpan1A(n1)B，通过待定系数法确定A、B的值，转化

成以a1AB为首项，以p为公比的等比数列anAnB，再利用等比数列的通项公式求出anAnB的通项整理可得an.

法二：当f(n)的公差为d时，由递推式得：an1panf(n),anpan1f(n1)两

式相减得:an1anp(anan1)d，令bnan1an得：bnpbn1d转化为类型Ⅴ㈠求出 bn，再用类型Ⅲ(累加法）便可求出an. ⑵当f(n)为指数函数类型（即等比数列)时: 法一:设anf(n)pan1f(n1)，通过待定系数法确定的值，转化成以

以p为公比的等比数列anf(n),再利用等比数列的通项公式求出a1f(1)为首项，

anf(n)的通项整理可得an.

法二：当f(n)的公比为q时，由递推式得：an1panf(n)——①，

anpan1f(n1),两边同时乘以q得anqpqan1qf(n1)——②,由①②两式相减

得an1anqp(anqan1)，即

an1qanp，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出an.

anqan1法三：递推公式为an1panqn（其中p，q均为常数）或an1panrqn(其中p，

q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以qn1，得：

an1pan1•n,引入n1qqqq辅助数列bn（其中bnanp1)，得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。 bbn1nqqqn⑶当f(n)为任意数列时，可用通法：

在an1panf(n)两边同时除以pn1可得到

an1anf(n)anbn，则，令n1nn1nppppbn1bnf(n)，在转化为类型Ⅲ（累加法）,求出bn之后得anpnbn. n1p

类型Ⅵ 对数变换法： 形如an1paq(p0,an0)型的递推式: 在原递推式an1paq两边取对数得lgan1qlganlgp,令bnlgan得：

bn1qbnlgp，化归为an1panq型，求出bn之后得an10bn.（注意：底数不一定

要取10，可根据题意选择).

类型Ⅶ 倒数变换法： 形如an1anpan1an（p为常数且p0)的递推式:两边同除于an1an，转化为

11p形式，化归为an1panq型求出1的表达式，再求an; anan1an还有形如an1man的递推式，也可采用取倒数方法转化成1m1m形式，化归为

panqan1qanpan1panq型求出

1的表达式，再求a.

nan类型Ⅷ 形如an2pan1qan型的递推式：

用待定系数法，化为特殊数列{anan1}的形式求解。方法为：设k，于是an2kan1h(an1kan)，比较系数得hkp,hkq,可解得h、{an1kan}是公比为h的等比数列，这样就化归为an1panq型。

总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列,可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式an.

5、非等差、等比数列前n项和公式的求法 ⑴错位相减法 ①若数列an为等差数列，数列bn为等比数列，则数列anbn的求和就要采用此法. ②将数列anbn的每一项分别乘以bn的公比，然后在错位相减，进而可得到数列

anbn的前n项和。

此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法.

⑵裂项相消法 一般地，当数列的通项anc (a,b1,b2,c为常数）时,往往可将an(anb1)(anb2)变成两项的差,采用裂项相消法求和.

可用待定系数法进行裂项：

设ananb1anb2，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得

c，从而可得

b2b1cc11=().

(anb1)(anb2)(b2b1)anb1anb2

常见的拆项公式有： ①

111；

n(n1)nn11111();

(2n1)(2n1)22n12n111(ab);

abab②

③m1mm④CnCnC1n;

⑤nn!(n1)!n!.

⑶分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步:①找通向项公式②由通项公式确定如何分组。

⑷倒序相加法 如果一个数列an，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和,这种求和方法称为倒序相加法。特征：

a1ana2an1...

⑸记住常见数列的前n项和： ①123...nn(n1); 2②135...(2n1)n2;

2222③123...n1n(n1)(2n1). 6