新高考数学-立体几何与空间向量考点说明

新高考数学-立体几何与空间向量考点说明

考点说明详细

立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系．本单元的学习，可以帮助学生以长方体为载体，认识和理解空间点、直线、平面的位置关系；用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证；了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法；运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质，建立空间观念．学生在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量的共性和差异，运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系，体会向量方法和综合几何方法的共性和差异，运用向量方法解决筒单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具．

内容包括：基本立体图形、基本图形位置关系、空间直角坐标系、空间向量及其运算、向量基本定理及坐标表示、空间向量的应用．

1．基本图形位置关系

①借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解以下基本事实（基本事实1~4也称公理）和定理．

基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．

基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．

定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

②从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出以下判定定理，并加以证明．

◆一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行．

◆两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．

◆垂直于同一个平面的两条直线平行．

◆两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．

③从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出以下性质定理，并加以证明．

◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．

◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．

◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．

◆如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．

2．基本立体图形

①利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．

②知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．

③能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图．

3．空间向量及其运算

①经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．

②经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程．

4．向量基本定理及坐标表示

①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．

②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．

③掌握空间向量的数量积及其坐标表示．

④了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义（参见案例9）．

5．空间直角坐标系

①在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置．

②借助特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标．

探索并得出空间两点间的距离公式．

6．空间向量的应用

①能用向量语言指述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量．

②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系．

③能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理．

④能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，

并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用．