椭圆第二定义及其应用

在新课标课本(人教A版)《椭圆》中，有这样一道例题“例6 点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直线l:x254的距离的比是常数，求点M的轨迹”。我们知道，点M的轨迹是长轴、短轴长分别45为10、6的椭圆，如果对这道例题进行推广，就得到椭圆的第二定义（比值定义）.

定义：平面内与一个定点F的距离和一条定直线的距离之比为常数e(0e1)的点的轨迹是椭圆. 定点F称为椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数e是椭圆的离心率.

椭圆第二定义的巧妙运用可以使题目化繁为简,下面举例如下: 一、求距离

x2y21上有一点P，它到椭圆的左准线的距离等于10，求点P到它的右［例1］椭圆的方程为

10064焦点的距离.

解：∵a100,b64，∴c22a2b2100646，∴ec63= a105依椭圆第二定义，设P点到椭圆左焦点的距离为d，则

d3,∴d6 105∴点P到椭圆右焦点距离为2×10－6=14

评述：椭圆第二定义的巧妙运用可以使题目化繁为简，熟练掌握椭圆第二定义灵活地将它应用到解题当中，是我们在学习中的重要训练对象.

二、求最值

x2y21的右焦点，点M在该椭圆上移动时，求［例2］已知定点A（－2，3），点F为椭圆

1612|MA|+2|FM|的最小值，并求出此时点M的坐标.

分析：设M（x,y），则有

MA2FM(x2)2(y3)22(x2)2y2①  ② x2y211612由①可将y用x表示出来，将其代入②，则式子|MA|+2|FM|可转化成一个关于x的一元函数，再求其最小值.

以上解法，思路可行，计算量却很繁琐，不妨换一种思考方法.

解：∵a=4,b=23,c=2

∴e=

1 2设点M到右准线l的距离为d，

右焦点F（2，0），右准线方程l:x=8则

FMde1得2|MF|=d2∴|MA|+2|MF|=|MA|+d

由于点A在椭圆内，过A作AK⊥l，K为垂足，易证|AK|为|MA|+d的最小值，其值为8+2=10

∵M点的纵坐标为3，得横坐标为23

∴|MA|+|2MF|的最小值为10，点M的坐标为（23，3）

评述：（1）以上解法就是椭圆第二定义的巧用，将问题转化成点到直线的距离去求，就可以使题目变得简单易解了.

（2）一般地，如果遇到一个定点到定直线问题应联想到椭圆第二定义. 三、推导公式

x2y2［例3］设P（x0,y0）是离心率为e的椭圆，方程为221上的一点，P到左焦点F1和右焦点

abF2的距离分别为r1和r2.

求证：r1aex0,r2aex0

证明：由椭圆第二定义，得

PF1a2x0ce

a2a2),∴|PF1|=aex0∴|PF1|=ex0=e(x0cc又

PF2x0ac2e,

a2a2), ∴|PF2|=aex0，综上所述r1aex0,r2aex0 ∴|PF2|=ex0=e(x0cc注意：|PF1|=aex0,|PF2|=aex0，称为(x0,y0)点椭圆的焦半径，焦半径公式在解题中的作用应引起我们广大师生的注意.

x2y21，过左焦点F作倾斜角为30°的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长. ［例4］已知椭圆9解法一：∵a=3,b=1,c=22,∴F(－22,0)

x2y21联立消元，得(x22)与∴直线方程为y=

931设A（x1,y1）,B(x2,y2)则依韦达定理，得

x1+x2=－32,x1x2=

4x2+122x+15=0 ①

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∴|AB|=112x1x2(x1x2)24x1x2,∴|AB|=233解法二：由于所求线段AB是椭圆的“焦点弦”，故也可用“焦半径”公式计算：

|AB|=|AF|+|BF|=2a+e(x1+x2)=2

评述：一般地，遇到点到椭圆焦点的距离问题，可采用“焦半径”公式处理.