经典楼梯计算(手算)详解

楼梯的平面布置，踏步尺寸、栏杆形式等由建筑设计确定。板式楼梯和梁式楼梯是最常见的现浇楼梯，宾馆和公共建筑有时也采用一些特种楼梯，如螺旋板式楼梯和剪刀式楼梯(图8-1)。此外也有采用装配式楼梯的。这里主要介绍板式楼梯和梁式楼梯的计算机构造特点。

(a)剪刀式楼梯 (b)螺旋板式楼梯

图8-1 特种楼梯

楼梯的结构设计包括以下内容：

1) 根据建筑要求和施工条件，确定楼梯的结构型式和结构布置；

2) 根据建筑类别，按《荷载规范》确定楼梯的活荷载标准值。需要注意的是楼梯的活荷载往往比所在楼面的活荷载大。生产车间楼梯的活荷载可按实际情况确定，但不宜小于3.5kN／m(按水平投影面计算)。除以上竖向荷载外，设计楼梯栏杆时尚应按规定考虑栏杆顶部水平荷载0.5kN／m(对于住宅、医院、幼儿园等)或1.0kN／m(对于学校、车站、展览馆等)； 3).进行楼梯各部件的内力计算和截面设计;

4) 绘制施工图，特别应注意处理好连接部位的配筋构造。

1．板式楼梯

板式楼梯由梯段板、休息平台和平台梁组成(图8-2)。梯段是斜放的齿形板，支承在平台梁上和楼层梁上，底层下端一般支承在地垄墙上。板式楼梯的优点是下表面平整，施工支模较方便，外观比较轻巧。缺点是斜板较厚，约为梯段板斜长的1／25—1／30，其混凝土

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图8-2 板式楼梯的组成

图8-3 梯段板的内力

用量和钢材用量都较多，一般适用于梯段板的水平跨长不超过3m时。

板式楼梯的计算特点：梯段斜板按斜放的简支梁计算(图8-3)，斜板的计算跨度取平台梁间的斜长净距ln。

设楼梯单位水平长度上的竖向均布荷载pgq(与水平面垂直)，则沿斜板单位斜长上的竖向均布荷载ppcos(与斜面垂直)，此处为梯段板与水平线间的夹角(图8-4)，

'p将分解为:

''

px'p'cospcoscos

1

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此处

py'p'sinpcossinpx',py'

p'

分别为p'在垂直于斜板方向及沿斜板方向的分力，忽略y对梯段板的影

响，只考虑px'对梯段板的弯曲作用。

设ln为梯段板的水平净跨长， ln'为其斜向净跨长, 因 lnln'cos 故斜板弯矩:

MmaxVmax1112px'(ln')2pcos2(lncos)2pln888

斜板剪力:

111px'ln'pcos2(lncos)plncos222

因此，可以得到简支斜板(梁)计算的特点为：

1) 简支斜梁在竖向均布荷载p(沿单位水平长度)作用下的最大弯矩，等于其水平投影长度的简支梁在户作用下的最大弯矩;

2) 最大剪力等于斜梁为水平投影长度的简支粱在p作用下的最大剪力值乘以cos; 3) 截面承载力计算时梁的截面高度应垂直于斜面量取。

虽然斜板按简支计算，但由于梯段与平台梁整浇，平台对斜板的变形有一定约束作用，故计算板的跨中弯矩时，也可以近似取Mmaxqln10。为避免板在支座处产生裂缝，应在板上面配置一定量钢筋，一般取Ф8@200mm，长度为ln4。分布钢筋可采用Ф6或Ф8，每级踏步一根。

平台板一般都是单向板，可取lm宽板带进行计算，平台板一端与平台梁整体连接，另

2一端可能支承在砖墙上，也可能与过梁整浇，跨中弯矩可近似取为

M12pl8，或取

M12pl10。考虑到板支座的转动会受到一定约束，一般应将板下部受力钢筋在支座附近

ln4, 如图(8-5)所

弯起一半,必要时可在支座处板上面配置一定量钢筋,伸出支承边缘长度为示。

2

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图8-4 斜板上的荷载 图8-5 平台板配筋

例8-1 某公共建筑现浇板式楼梯，楼梯结构平面布置见图(8-6)。层高3.6m，踏步尺寸150× 300mm。采用混凝土强度等级C25，钢筋为HPB235 和 HRB335。楼梯上均布活荷载标准值=3.5kN／m2，试设计此楼梯。 1. 楼梯板计算

板倾斜度 tg1503000.5, cos0.894 设板厚h=120mm；约为板斜长的1／30。 取lm宽板带计算 (1) 荷载计算

图8-6 例8-1的楼梯结构平面

1.4荷载分项系数 G1.2 Q

基本组合的总荷载设计值 p6.61.23.51.412.82kN/m 表8-1 梯段板的荷载

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(2) 截面设计

板水平计算跨度ln3.3m

弯矩设计值

M112pln12.823.3213.96kNm1010

h012020100mm

sM1fcbh0213.961060.11711.910001002

112s1120.1170.124b0.614

As1fcbh0fy11.910001000.124703mm2210

1Asf7031.270.59%min0.45t0.450.27%bh1000120fy210

选配ø10@110mm, As=714mm2

分布筋ø8，每级踏步下一根，梯段板配筋见图(8-7)。

表8-2 平台板的荷载

2. 平台板计算

设平台板厚h=70mm, 取lm宽板带计算。 (1) 荷载计算

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总荷载设计值

p1.22.741.43.58.19kN/m

(2) 截面设计 板的计算跨度

l01.80.2/20.12/21.76m

弯矩设计值

M112pl08.191.7622.54kNm1010

h0702050mm

sM1fcbh022.541060.085211.9100050

As112s1120.0850.09b0.6141fcbh011.91000500.092fy210255mm

1Asf2551.270.364%min0.45t0.450.27%bh100070fy210

选配ø6/8@140mm, As=281mm2 平台板配筋见图(8-7)。

图8-7 梯段板和平台板配筋

3. 平台梁B1计算

设平台梁截面 b200mm h350mm (1) 荷载计算

总荷载设计值 p14.951.28.931.430.44kN/m

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(2) 截面设计

计算跨度 l01.05ln1.05(3.60.24)3.53m 弯矩设计值

M112pl030.443.53247.4kNm88

剪力设计值

V11pln30.443.3651.1KN22

bf'b5hf'200570550mm

截面按倒L形计算,

h035035315mm 经计算属第一类T形截面, 采用HRB335钢筋

s

M1fcbf'h0247.41060.07211.9550315

112s1120.070.074b0.55

As1fcbf'h0fy11.95503150.074508mm2300

1Asf5080.73%min0.45t0.2%bh200350fy

选2ø14+1ø16，As=509.1mm2 斜截面受剪承载力计算 配置箍筋ø6@200mm

Vu0.7ftbh01.25fyvAsv228.3h00.71.272003151.25210315S20079.41kNV51.1kN

满足要求

平台梁配筋见图(8-8)。

图8-8 平台梁配筋

2．梁式楼梯

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梁式楼梯由踏步板，斜梁和平台板、平台梁组成(图8-9)。其荷载传递为：

1)踏步板

踏步板按两端简支在斜梁上的单向板考虑，计算时一般取一个踏步作为计算单元，踏步板为梯形截面，板的计算高度可近似取平均高度h(h1h2)/2(图8-10)板厚一般不小于30mm~40mm，每一踏步一般需配置不少于2ø6的受力钢筋，沿斜向布置间距不大于300mm的ø6分布钢筋。

图8-9 梁式楼梯的组成 图8-10 踏步板

2)斜边梁

斜边梁的内力计算特点与梯段斜板相同。踏步板可能位于斜梁截面高度的上部，也可能位于下部，计算时可近似取为矩形截面。图(8-11)为斜边梁的配筋构造图。 3)平台梁

平台梁主要承受斜边梁传来的集中荷载(由上、下楼梯斜梁传来)和平台板传来的均布荷载，平台梁一般按简支梁计算。

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图8-11 斜梁的配筋

例8-2 某数学楼楼梯活荷载标准值为2.5kN／m2，踏步面层采用30mm厚水磨石，底面为20mm厚，混合砂浆抹灰，混凝土采用C25，梁中受力钢筋采用HRB335，其余钢筋采用HPB235，楼梯结构布置如图(8-12)所示。试设计此楼梯。

(a)楼梯结构平面 (b)楼梯结构剖面

图8-12 梁式楼梯结构布置图

解: 1. 踏步板(TB一1)的计算

(1)荷载计算 (踏步尺寸a1b1300mm150mm。底板厚d=40mm) 恒荷载

踏步板自重

1.20.1950.0450.3251.08kN/m2

踏步面层重 1.2(0.30.15)0.650.35kN/m

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(计算踏步板自重时，前述ABCDE五角形踏步截面面积可按上底为

d/cos40/0.89445mm，下底为b1d/cos15040/0.894195mm，高为

a1=300mm的梯形截面计算。)

踏步抹灰重

1.20.30.02170.14kN/m0.894

g=1.08+0.35+0.14=1.57kN/m 使用活荷载 q1.42.50.31.05kN/m 垂直于水平面的荷载及垂直于斜面的荷载分别为

gq2.62kN/m

g'q'2.620.8942.34kN/m

(2)内力计算

斜梁截面尺寸选用150mmX350mm，则踏步的计算跨度为

l0lnb1.530.151.68m

踏步板的跨中弯矩

112M(g'q')l02.341.6820.826kNm88

(3)截面承载力计算

0coscos2656'0.894,等效(ab300mm150mm)11取一踏步(为计算单元, 已知

矩形截面的高度h和宽度b为

h22b1cosd1500.89440129.4mm33

b0.75a1/cos0.75300/0.894251.7mm

则:

h0has129.420109.4mm

sM1fcbh028.261050.0248211.9251.7109.4

112s1120.02480.0252b0.614

As1fcbh0fy11.9251.7109.40.025236.4mm2210

1Asf36.41.270.112%min0.45t0.450.27%bh251.7129.4fy210

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2Abh0.0027251.7129.487.9mmsmin则:

踏步板应按min配筋，每米宽沿斜面配置的受力钢筋

As87.910000.894261.9mm2/m300，为保证每个踏步至少有两根钢筋，故选用

ø8@150(As=335mm2)

2. 楼梯斜梁(TL一1)计算 (1) 荷载

112.62(1.5320.15)7.99kN/m20.3踏步板传来

斜梁自重

1.2(0.350.04)0.152511.56kN/m0.894

斜梁抹灰

1.2(0.350.04)0.0217210.28kN/m0.894

楼梯栏杆 1.20.10.12kN/m 总计 gq9.95kN/m (2) 内力计算

取平台梁截面尺寸bh200mm450mm,则斜梁计算跨度:

l0lnb3.60.23.8m

斜梁跨中弯矩和支座剪力为:

112M(gq)l09.953.8218.0kNm88 V11(gq)ln9.953.617.9kN22

(3) 截面承载能力计算

取h0ha35035315mm 翼缘有效宽度按梁跨考虑

bf'

bf'l0/6633mm按梁肋净距考虑 由于

bf's01530b150915mm22

可不按翼缘厚度考虑，最后应取

hf'/h40/3500.1,bf'bf'633mm.

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判别T形截面类型：

1fcbf'hf'(h00.5hf')11.963340(3150.540)82kNmM18kNm故按等一类T型截面计算

sM1fcbf'h02181060.025211.9633315

112s1120.0250.0264b0.550

As1fcbf'h0fy11.96333150.0264187mm2300

1Asf1870.36%min0.45t0.2%bh150350fy

212, As226mm

故选用2

由于无腹筋梁的抗剪能力:

Vc0.7ftbh00.71.2715031542005.25NV17900N

可按构造要求配置箍筋, 选用双肢箍ø6@300.

3. 平台梁(TL一2)计算 (1) 荷载

斜梁传来的集中力 平台板传来的均布恒荷载

GQ19.953.818.9kN2

1.61.2(0.650.06250.0217)(0.2)2.99kN/m2

1.61.4(0.2)2.53.5kN/m2平台板传来的均布活荷载

平台梁自重 1.20.2(0.450.06)252.34kN/m 平台梁抹灰 21.20.02(0.450.06)170.32kN/m 总计 gq9.15kN/m (2) 内力计算(计算简图见图8-13) 平台梁计算跨度

l0lna3.760.244.00m l01.05ln1.053.763.95m4.00m

故取 l03.95m

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跨中弯矩

l1bb2M(gq)l02(GQ)0(GQ)(a)822213.950.250.259.153.952218.918.9(1.68)56kNm8222

支座剪力

V1(gq)ln2(GQ)219.153.76218.955.0kN2

考虑计算的斜截面应取在斜梁内侧，故

V19.153.7618.936.1kN2

图8-13 平台梁计算简图

(3) 正截面承载力计算 翼缘有效宽度bf’， 按梁跨度考虑

bf'l0/63950/6658mm

按梁肋净距考虑 最后应取

bf'

s01600b2001000mm22

bf'658mm判别T型截面类型:

1fcbf'hf'(h00.5hf')11.965860(4150.560)167kNmM56kNm按第一类T形截面计算

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sM1fcbf'h02561060.04511.96584152

112s1120.0450.046b0.550

As1fcbf'h0fy11.96584150.046498mm2300

1Asf4980.55%min0.45t0.2%bh200450fy

18(As＝509m2)

选用2

(4) 斜截面承载力计算 由于无腹筋梁的承载力

Vc0.7ftbh00.71.2720041573787NV36100N

可按构造要求配置箍筋， 选用双肢箍ø6@200。

(a)TB—1; (b)TL一1; (c)TL一2 图8-14 踏步板、斜梁和平台梁配筋图

(5)附加箍筋计算

采用附加箍筋承受由斜梁传来的集中力，若附加箍筋仍采用双肢箍筋ø6，则附加箍筋总数为:

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m

GQ189001.59nAsv1fyv228.3210个

斜梁侧需附加2个ø6的双肢箍筋。

踏步板(TB一1)、斜梁(TL一1)和平台梁(TL一2)的配筋图如图(8-14a、b、 c)所示。

3．现浇楼梯的一些构造处理

1) 当楼梯下净高不够，可将楼层梁向内移动(图8-15)，这样板式楼梯的梯段就成为折线形。对此设计中应注意两个问题：(1)梯段中的水平段，其板厚应与梯段相同，不能处理成和平台板同厚；(2)折角处的下部受拉纵筋不允许沿板底弯折，以免产生向外的合力将该处的混凝土崩脱，应将此处纵筋断开，各自延伸至上面再行锚固。若板的弯折位置靠近楼层梁，板内可能出现负弯矩，则板上面还应配置承担负弯矩的短钢筋(图8-16)。

图8-15 楼层梁内移时 图8-16 板内折角时的配筋

2) 若遇折线形斜梁，梁内折角处的受拉纵向钢筋应分开配置，并各自延伸以满足锚固要求，同时还应在该处增设箍筋。该箍筋应足以承受未伸入受压区域的纵向受拉钢筋的合力，且在任何情况下不应小于全部纵向受拉钢筋合力的35％。由箍筋承受的纵向受拉钢筋的合力，可按下式计算(图8-17)。

未伸人受压区域的纵向受拉钢筋的合力

Ns12fyAs1cos2

全部纵向受拉钢筋合力的35％为

Ns20.7fyAscos2

式中 As——全部纵向受拉钢筋的截面面积; As1——未伸人受压区域的纵向受拉钢

筋的截面面积：

——构件的内折角。

图8-17 折线形斜梁内折角处配筋

按上述条件求得的箍筋, 应设置在长度为

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3shtg8的范围内。

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