角的平分线

　　一、内容和内容解析

　　（一）内容

　　角的平分线的性质定理的逆定理.

　　（二）内容解析

　　本节课是学生在学习了角平分线的性质的基础上，进一步研究角平分线性质定理的逆命题是否正确.

　　教科书首先提出了一个具有实际背景的问题，在公路和铁路的交叉区域内建一个集贸市场，学习了角平分线的性质，学生可能猜想到集贸市场应建在公路和铁路夹角的平分线上.教科书没有直接给出答案，而是从另一个角度引导，将角的平分线的性质的题设和结论交换位置，所得到的结论是否仍然成立？这就引出了“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”.接着让学生利用三角形全等证明这个结论.

　　本节课学习的内容是全等三角形知识的运用和延续，是今后学习圆的内心的基础.

　　基于以上分析，本节课的教学重点是：角的平分线的性质定理的逆定理.

　　二、目标和目标解析

　　（一）目标

　　1.探索并证明角平分线性质定理的逆定理.

　　2.会用角平分线性质定理的逆定理解决问题.

　　（二）目标解析

　　达成目标1的标志是：学生能准确表述角平分线性质定理的逆定理的内容.能正确地写出已知、求证，能运用三角形全等的“hl”判定方法和三角形的性质证明角平分线的性质的逆定理.

　　达成目标2的标志是：学生能利用角的平分线的性质的逆定理证明与角相等的有关简单问题.

　　三、教学问题诊断分析

　　本节课的学习中，学生在分清角的平分线的判定的条件和结论，并进行严格的逻辑证明过程中常常感到困难.例如，在用符号语言表述判定条件和结论时，不知“距离”应为“条件”还是“结论”.其主要原因是角的平分线的判定是以文字命题的形式给出的，其条件和结论具有一定的隐蔽性.教学时，教师要引导学生分析性质中的条件和结论，正确写出已知和求证.

　　基于以上分析，本节课的教学难点是：证明角平分线的判定定理.

　　四、教学过程设计

　　（一）引言

　　上节课我们已经学习了角的平分线的性质，如果把它的题设和结论调换位置，得到的命题还是真命题吗？

　　【设计意图】通过实际问题，复习角平分线的性质定理.

　　（二）探索角平分线的判定定理

　　问题1　写出角的平分线的性质的逆命题.

　　师生活动：教师提出问题，学生独立思考.

　　追问1：上述逆命题成立吗？你能证明这个结论的正确性吗？

　　已知：如图，qd⊥oa，qe⊥ob，点d、e为垂足，qd＝qe.

　　求证：点q在∠aob的平分线上.

　　证明：∵ qd⊥oa，qe⊥ob，

　　∴ ∠qdo和∠qeo都是直角.

　　在rt△qdo和rt△qeo中，

　　∴ rt△qdo≌rt△qeo（hl）.

　　∴ ∠ qod＝∠qoe.

　　∴点q在∠aob的平分线上.

　　师生活动：教师首先引导学生写出逆命题，分析命题的条件和结论，如果学生感到困难，可以让学生将命题写成“如果……那么……”的形式，最后让学生画出图形，用符号语言写出已知和求证，并独立完成证明过程.

　　角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.

　　用几何语言表示为：

　　∵qd⊥oa，qe⊥ob，qd＝qe，

　　∴点q在∠aob的平分线上.

　　师生活动：让学生分别用文字语言和符号语言概括角平分线的判定定理.

　　让学生理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合.

　　（1）角平分线上任意一点（运动显示）到角的两边的距离都相等（渗透集合的纯粹性）.

　　（2）在角的内部，到角的两边距离相等的点（运动显示）都在这个角的平分线上（而不在其他位置，渗透集合的完备性）.

　　由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.

　　问题2　比较分析角平分线的性质和判定，填写下表：

　　角平分线的性质

　　角平分线的判定

　　图形

　　已知

　　结论

　　师生活动：学生独立完成表格，教师点评补充.

　　【设计意图】让学生通过观察、猜想、推理证明角平分线的判定定理，体会研究几何问题的基本思路.通过表格将角平分线的性质和判定进行比较，让学生体会类比的思想.反思判定，可以让学生进一步体会证明两个角相等可以利用角平分线的判定，比证两个三角形全等更简捷.

　　（三）巩固应用

　　1.如图，要在s 区建一个广告牌p，使它到两条高速公路的距离相等，离两条公路交叉处500 m，请你帮忙设计一下，这个广告牌p 应建于何处？（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）

　　分析：根据角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，可知点p在两条公路形成的夹角的平分线上，设公路的交点为点o，计算可知op=2.5cm.

　　2.如图， △abc的角平分线bm，cn相交于点p.

　　求证：点p到三边ab、bc、ca的距离相等.

　　分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点p到三边的垂线段.

　　证明：过点p作pd⊥ab于d，pe⊥bc于e，pf⊥ac于f，

　　∵bm是∠abc的角平分线且点p在bm上，

　　∴pd＝pe.（角平分线上的点到角的两边的距离相等）

　　同理pf＝pe.

　　∴pd=pe=pf.

　　即点p到三边ab、bc、ca的距离相等.

　　追问：点p在∠a的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？

　　∵pd=pf，pd⊥ab，pf⊥ac，

　　∴点p在∠a的平分线上.（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）

　　结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.

　　3.如图，已知△abc的外角∠cbd和∠bce的平分线相交于点f，求证：点f在∠dae的平分线上.

　　分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点f到三边的垂线段.

　　证明：过点f作fg⊥ae于g，fh⊥ad于h，fm⊥bc于m，

　　∵点f在∠bce的平分线上，fg⊥ae，fm⊥bc，

　　∴fg＝fm.

　　又∵点f在∠cbd的平分线上，fh⊥ad， fm⊥bc，

　　∴fm＝fh.

　　∴fg＝fh.

　　∴点f在∠dae的平分线上.

　　师生活动：学生独立思考，然后小组交流，派代表回答，教师适时点拔，并板演证明过程.此时教师主要关注学生是否能够想到如何构造辅助线，并准确地描述辅助线的作法.

　　【设计意图】通过训练，提高学生运用角的平分线的性质和判定解决问题的能力，培养学生的推理能力.

　　（四）小结与反思

　　1.角平分线的性质定理和判定定理有什么区别和联系？

　　2.应用角平分线的性质定理和判定定理时，怎样做辅助线？

　　【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，建立知识之间的联系.

　　（五）课后作业

　　教科书第50页练习第1、2题.

　　五、目标检测设计

　　1.如图，在△abc中，∠a=90°，∠c=50°，点d在ac上，ad=2cm，de⊥bc于e，且de=2cm，则∠abd=       

　　2.平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点有（　　）.

　　a.4个            b.3个           c.2个           d.1个

　　3.如图，已知be平分∠abc，ce平分∠acd交be于点e，求证：ae平分∠fac.