高中数学用构造法解三角求值题学法指导 试题

高中数学用构造法解三角求值题

用构造法求值极具巧思，关键是根据题中信息恰当创作一个新形式，使复杂

问题简捷获解。本文举例介绍几种方法，供大家参考。 一、构造互余式

例1. 求sin10sin30sin50sin70的值。

解：设Asin10sin30sin50sin70

Bcos10cos30cos50cos70

1sin20sin60sin100sin140 16那么AB1cos70cos30cos10cos5016

1B16∵B0，∴A116116

∴sin10sin30sin50sin70

二、构造和差式

例2. 求sin210cos240sin10cos40的值。

解：设sin10ab，cos40ab，那么

创作；朱本晓 2022年元月元日

创作；朱本晓 2022年元月元日

11asin10cos40sin30cos20cos202213bsin10cos40cos30sin20sin2022∴sin210cos240sin10cos40

abababab3a2b233cos220sin220443422

三、构造方程〔组〕

1 例3. sincos，0，，求cot。

5 解法一：将sincos1的两边平方，得： 5 sincos12 25

112构造方程x2x0，那么

525sin与cos是此方程的两个根。 解此方程，得x143，x2 55由0，知sin0

∴sin433，cos，cot 554

解法二：由sincos1得，5sin5cos1 5设x5sin00，，y5cos

创作；朱本晓 2022年元月元日

创作；朱本晓 2022年元月元日

x2y225于是有，消去y，得：

xy1

x2x120

解之，得：x4x30，舍

∴x4，y3，coty3 x4

四、构造图形 例4. sincos60，且，试求sin与cos的值。 16942

解：

60125，且12252132 1691313

依数字特征，构造Rt△ABC〔如图〕。 由

42，知sincos

125 ，cos1313 据图形得sin

五、构造数列 例5. sincos2，0，，试求3cos2sin的值。 3

1解：构造等差数列sin，，cos，那么

3创作；朱本晓 2022年元月元日

创作；朱本晓 2022年元月元日

sin11d，cosd〔d为公差〕 3322

11两式平方、相加，得dd1

33解之，得d714 186

由0，知sin1d0 3 即d114，∴d 36

1114141014∴3cos2sin32 66633

例6. 在锐角△ABC中，A＜B＜C，且lgtanAlgtanC2lgtanB，

tan(AC)2，试求tan(AC)的值。

解：∵0ABC90及lgtanAlgtanC2lgtanB

∴0tanAtanBtanC，且tanA·tanCtan2B

构造等比数列tanA，tanB，tanC 那么tanAtanB，tanCqtanB，〔q为公比，且q1〕 q∵tanBtan(AC)tan(AC)2

12tanBqtanB2qtanAtanCqq2 又tan(AC)21tanAtanC141tanB∴22q6，即q23q10 q

创作；朱本晓 2022年元月元日

创作；朱本晓 2022年元月元日

35351，舍〕 解之，得q〔q221tanBqtanBtanAtanCq∴tan(AC) 21tanAtanC1tanB

2352235 142552

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创作；朱本晓 2022年元月元日

创作；朱本晓 2022年元月元日

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创作；朱本晓 2022年元月元日