一、选择题（共10小题）. 1．下列二次根式中，与A．
是同类二次根式的是（ ） B．
C．
D．
2．我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总 人口为4 400 000 000人，这个数用科学记数法表示为（ ） A．44×108
B．4.4×108
C．4.4×109
D．4.4×1010
3．下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．等边三角形
B．平行四边形
C．正五边形
D．圆
4．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A． B．
C． D．
5．若a+b＝1，则a2﹣b2+2b的值为（ ） A．4 6．函数y＝A．x≥﹣3
B．3
C．1
D．0
中，自变量x的取值范围是（ ）
B．x≥﹣3且x≠1
C．x≠1
D．x≠﹣3且x≠1
7．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（ ）
A． B．1 C． D．2
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，将其折叠使AB落在对角线AC上，得到折痕AE，那么BE的长度为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，P（m，m）是反比例函数y＝在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为（ ）
A． B．3 C． D．
10．如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若
＝2，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．因式分解：a3﹣a＝ ．
12．已知分式方程＝1的解为非负数，则a的取值范围是 ．
13．如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水AB为1.5m 平距离BE为5m，（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是 m．
14．为了了解某班数学成绩情况，抽样调查了13份试卷成绩，结果如下：3个140分，4个135分，2个130分，2个120分，1个100分，1个80分．则这组数据的中位数为 分．
15．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2
，以点A为圆心，AB长为半径画弧，
交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是 ．
y＝x﹣1与x轴交于点A1，16．在平面直角坐标系中，直线l：如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBn∁nCn﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点Bn的坐标是 ．
三、解答题（共9小题，共72分） 17．计算：
+（）﹣1﹣4cos45°﹣2÷×2﹣（2009﹣
）0+|2﹣
|
18．先化简，再求值：实数根． 19．解不等式组：
÷（x﹣），其中x为方程（x﹣6）（x﹣3）＝0的
并写出它的整数解．
20．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．
21．已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC上，且CD＝BE， （1）求证：△ABE≌△BCD； （2）求出∠AFB的度数．
22．为了解全校学生上学的交通方式，该校九年级（8）班的5名同学联合设计了一份调查问卷，对该校部分学生进行了随机调查．按A（骑自行车）、B（乘公交车）、C（步行）、D（乘私家车）、E（其他方式）设置选项，要求被调查同学从中单选．并将调查结果绘制成条形统计图1和扇形统计图2，根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的总人数是 人，并把条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，“步行”的人数所占的百分比是 ，“其他方式”所在扇形的圆心角度数是 ；
（3）已知这5名同学中有2名女同学，要从中选两名同学汇报调查结果．请你用列表法
或画树状图的方法，求出恰好选出1名男生和1名女生的概率．
23．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．
24．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF＝∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG，已知DE＝4，AE＝8．
（1）求证：DF是⊙O的切线； （2）求证：OC2＝OE•OP； （3）求线段EG的长．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D． （1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．
（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？
若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．下列二次根式中，与A．
是同类二次根式的是（ ） B．
C．
D．
【分析】可先将各二次根式化为最简，然后根据同类二次根式的被开方数相同即可作出判断． 解：A、B、C、D、
＝3＝与
＝2，与，与
，与
不是同类二次根式，故本选项错误；
不是同类二次根式，故本选项错误； 是同类二次根式，故本选项正确；
不是同类二次根式，故本选项错误．
故选：C．
2．我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总 人口为4 400 000 000人，这个数用科学记数法表示为（ ） A．44×108
B．4.4×108
C．4.4×109
D．4.4×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 解：将4400000000用科学记数法表示为：4.4×109． 故选：C．
3．下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．等边三角形
B．平行四边形
C．正五边形
D．圆
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义对各选项进行判断．
解：等边三角形为轴对称图形；平行四边形为中心对称图形；正五边形为轴对称图形；圆既是轴对称图形又是中心对称图形． 故选：D．
4．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 解：由于俯视图为三角形．主视图为两个长方形和左视图为长方形可得此几何体为三棱柱． 故选：A．
5．若a+b＝1，则a2﹣b2+2b的值为（ ） A．4
B．3
C．1
D．0
【分析】首先利用平方差公式，求得a2﹣b2+2b＝（a+b）（a﹣b）+2b，继而求得答案．解：∵a+b＝1，
∴a2﹣b2+2b＝（a+b）（a﹣b）+2b＝a﹣b+2b＝a+b＝1． 故选：C． 6．函数y＝A．x≥﹣3
中，自变量x的取值范围是（ ）
B．x≥﹣3且x≠1
C．x≠1
D．x≠﹣3且x≠1
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 解：根据题意得，x+3≥0且x﹣1≠0， 解得x≥﹣3且x≠1． 故选：B．
7．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【分析】根据题意平移AB使A点与P点重合，进而得出，△QPB′是直角三角形，再利用tan∠QMB＝tan∠P＝
，进而求出答案．
解：如图所示：平移AB使A点与P点重合，连接B′Q， 可得∠QMB＝∠P， ∵PB′＝2
，PQ＝2
，B′Q＝4
，
∴PB′2+QB′2＝PQ2， ∴△QPB′是直角三角形， ∴tan∠QMB＝tan∠P＝故选：D．
＝
＝2．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，将其折叠使AB落在对角线AC上，得到折痕AE，那么BE的长度为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据对称性可知：BE＝FE，∠AFE＝∠ABE＝90°，又∠C＝∠C，所以△CEF∽△CAB，根据相似的性质可得出：
＝
，BE＝EF＝
×AB，在△ABC中，由
勾股定理可求得AC的值，AB＝1，CE＝2﹣BE，将这些值代入该式求出BE的值．
解：设BE的长为x，则BE＝FE＝x、CE＝2﹣x 在Rt△ABC中，AC＝
＝
∵∠C＝∠C，∠AFE＝∠ABE＝90°
∴△CEF∽△CAB（两对对应角相等的两三角形相似） ∴
×AB＝，
×1，x＝
，
∴FE＝x＝∴BE＝x＝故选：C．
9．如图，P（m，m）是反比例函数y＝在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为（ ）
A． B．3 C． D．
【分析】易求得点P的坐标，即可求得点B坐标，即可解题． 解：作PD⊥OB，
∵P（m，m）是反比例函数y＝在第一象限内的图象上一点， ∴m＝，解得：m＝3， ∴PD＝3，
∵△ABP是等边三角形， ∴BD＝
PD＝
，
，
∴S△POB＝OB•PD＝（OD+BD）•PD＝故选：D．
10．如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若
＝2，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由菱形的性质得AD＝AB，DC∥AB，根据DH∥AB，DH∥BE分别得△HDF∽△BAF，△DHG∽△EBG，其性质与线段的和差求出算
的值为
．
，
，最后计
解：设DF＝m，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB，DC∥AB， ∴DH∥AB， ∴△HDF∽△BAF， ∴又∵∴
∴AF＝2m， 又∵HB＝HF+BF，
＝2，
＝， ，
∴，
又∵AD＝AF+DF， ∴AD＝AB＝3m， ∴DH＝
，
又∵AE＝DF， ∴AE＝m， 又∵BE＝AB﹣AE， ∴BE＝2m， 又∵DH∥BE， ∴△DHG∽△EBG， ∴
，
∴∴
， ，
∴，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．因式分解：a3﹣a＝ a（a+1）（a﹣1） ． 【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可． 解：原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1）， 故答案为：a（a+1）（a﹣1） 12．已知分式方程
＝1的解为非负数，则a的取值范围是 a≤﹣1且a≠﹣2 ．
【分析】先把分式方程转化为整式方程求出用含有a的代数式表示的x，根据x的取值求a的范围．
解：分式方程转化为整式方程得，2x+a＝x﹣1 移项得，x＝﹣a﹣1，
解为非负数则﹣a﹣1≥0， 又∵x≠1， ∴a≠﹣2
∴a≤﹣1且a≠﹣2， 故答案为：a≤﹣1且a≠﹣2．
13．如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水AB为1.5m平距离BE为5m，（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是 m．
【分析】过A作AD⊥CE于D，根据题意得出AD＝BE＝5m，然后在Rt△ACD中利用锐角三角函数的定义求出CD的长，由CE＝CD+DE即可得出结论． 解：过A作AD⊥CE于D， ∵AB⊥BE，DE⊥BE，AD⊥CE， ∴四边形ABED是矩形， ∵BE＝5m，AB＝1.5m，
∴AD＝BE＝5m，DE＝AB＝1.5m． 在Rt△ACD中，
∵∠CAD＝30°，AD＝5m， ∴CD＝AD•tan30°＝5×∴CE＝CD+DE＝答：这棵树高是（故答案为：
+．
＝
， +）m．
+1.5＝（+）m．
14．为了了解某班数学成绩情况，抽样调查了13份试卷成绩，结果如下：3个140分，42个130分，2个120分，1个100分，1个80分．个135分，则这组数据的中位数为 135
分．
【分析】根据中位数的定义，把13个数据从大到小排列后，中位数是第7个数． 解：∵13份试卷成绩，结果如下：3个140分，4个135分，2个130分，2个120分，1个100分，1个80分， ∴第7个数是135分， ∴中位数为135分； 故答案为135．
15．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2
，以点A为圆心，AB长为半径画弧，
﹣8 ．
交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是 8
【分析】根据题意可以求得∠BAE和∠DAE的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积就是矩形的面积与矩形中间空白部分的面积之差再加上扇形EAF与△ADE的面积之差的和，本题得以解决． 解：连接AE，
∵∠ADE＝90°，AE＝AB＝4，AD＝2∴sin∠AED＝∴∠AED＝45°，
∴∠EAD＝45°，∠EAB＝45°， ∴AD＝DE＝2
，
﹣
）+
，
，
∴阴影部分的面积是：（4×（
故答案为：8
﹣8．
）＝8
﹣8，
y＝x﹣1与x轴交于点A1，16．在平面直角坐标系中，直线l：如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBn∁nCn﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点Bn的坐标是 （2n﹣1，2n﹣1） ．
【分析】先求出B1、B2、B3的坐标，探究规律后即可解决问题． 解：∵y＝x﹣1与x轴交于点A1， ∴A1点坐标（1，0）， ∵四边形A1B1C1O是正方形， ∴B1坐标（1，1）， ∵C1A2∥x轴， ∴A2坐标（2，1），
∵四边形A2B2C2C1是正方形， ∴B2坐标（2，3）， ∵C2A3∥x轴， ∴A3坐标（4，3），
∵四边形A3B3C3C2是正方形， ∴B3（4，7），
∵B1（20，21﹣1），B2（21，22﹣1），B3（22，23﹣1），…， ∴Bn坐标（2n﹣1，2n﹣1）．
故答案为（2n1，2n﹣1）．
﹣
三、解答题（共9小题，共72分） 17．计算：
+（）﹣1﹣4cos45°﹣2÷×2﹣（2009﹣
）0+|2﹣
|
【分析】分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则、数的开方法则及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 解：原式＝2＝2
+2﹣2
．
÷（x﹣
），其中x为方程（x﹣6）（x﹣3）＝0的
+2﹣4×﹣8﹣1+2﹣
﹣2×2×2﹣1+2﹣
＝﹣5﹣
18．先化简，再求值：实数根．
【分析】首先把括号内的分式通分相加，然后把出发转化为乘法，分子和分母分解因式，然后计算乘法即可化简，然后解方程求得x的值代入求解． 解：原式＝＝＝＝
． ÷•
÷
∵（x﹣6）（x﹣3）＝0， ∴x＝6或3．
当x＝3时，原式无意义． 当x＝6时，原式＝
＝
．
19．解不等式组：并写出它的整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 解：解不等式3x﹣1＜x+5，得：x＜3， 解不等式
＜x﹣1，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x＜3， ∴不等式组的整数解为0、1、2．
20．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4＝4k﹣3＞0，求出k的取值范围；
（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2k+1＝k2+1，结合k的取值范围解方程即可．
解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4＝4k﹣3＞0， 解得：k＞； （2）∵k＞，
∴x1+x2＝﹣（2k+1）＜0， 又∵x1•x2＝k2+1＞0， ∴x1＜0，x2＜0，
∴|x1|+|x2|＝﹣x1﹣x2＝﹣（x1+x2）＝2k+1， ∵|x1|+|x2|＝x1•x2， ∴2k+1＝k2+1， ∴k1＝0，k2＝2， 又∵k＞， ∴k＝2．
21．已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC上，且CD＝BE， （1）求证：△ABE≌△BCD； （2）求出∠AFB的度数．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AB＝BC，∠BAC＝∠C＝∠ABE＝60°，根据SAS推出△ABE≌△BCD；
（2）根据△ABE≌△BCD，推出∠BAE＝∠CBD，根据三角形的外角性质求出∠AFB即可．
解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC（等边三角形三边都相等），
∠C＝∠ABE＝60°，（等边三角形每个内角是60°）． 在△ABE和△BCD中，
，
∴△ABE≌△BCD（SAS）． （2）∵△ABE≌△BCD（已证），
∴∠BAE＝∠CBD（全等三角形的对应角相等），
∵∠AFD＝∠ABF+∠BAE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和） ∴∠AFD＝∠ABF+∠CBD＝∠ABC＝60°， ∴∠AFB＝180°﹣60°＝120°．
22．为了解全校学生上学的交通方式，该校九年级（8）班的5名同学联合设计了一份调查问卷，对该校部分学生进行了随机调查．按A（骑自行车）、B（乘公交车）、C（步行）、D（乘私家车）、E（其他方式）设置选项，要求被调查同学从中单选．并将调查结果绘制成条形统计图1和扇形统计图2，根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的总人数是 300 人，并把条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，“步行”的人数所占的百分比是 29.3% ，“其他方式”所在扇形的圆心角度数是 24° ；
（3）已知这5名同学中有2名女同学，要从中选两名同学汇报调查结果．请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选出1名男生和1名女生的概率．
【分析】（1）根据上学方式为“骑自行”的学生数除以所占的百分比即可求出调查的学生总数；根据总学生数求出上学方式为“步行”的学生数，补全条形统计图即可； （2）由
×100%可以求得在扇形统计图中，“步行”的人数所占的百分比；
同理求得“其他方式”所占的百分比，进而求得“其他方式”所在扇形的圆心角度数； （3）根据题意画出树状图，再根据概率公式计算即可． 解：（1）接受调查的总人数是：
＝300（人），
则步行上学的人数为：300﹣54﹣126﹣12﹣20＝88（人）． 故答案是：300；
（2）在扇形统计图中，“步行”的人数所占的百分比是：“其他方式”所在扇形的圆心角度数是：360°×故答案是：29.3%；24°；
（3）画树状图：
×100%≈29.3%；
×100%＝24°．
由图可知，共有20种等可能的结果，其中一男一女有12种结果； 则P（一男一女）＝
＝．
23．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．
【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；
（2）根据利润＝销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；
（3）首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围．
解：（1）设y＝kx+b，
∵直线y＝kx+b经过点（40，300），（55，150）， ∴解得：
， ．
故y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+700， （2）由题意，得 ﹣10x+700≥240， 解得x≤46， ∴30＜x≤46，
设利润为w＝（x﹣30）•y＝（x﹣30）（﹣10x+700）， w＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000， ∵﹣10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x＝46时，w最大＝﹣10（46﹣50）2+4000＝3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元； （3）w﹣150＝﹣10x2+1000x﹣21000﹣150＝3600， ﹣10（x﹣50）2＝﹣250， x﹣50＝±5， x1＝55，x2＝45， 如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
24．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF＝∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG，已知DE＝4，AE＝8．
（1）求证：DF是⊙O的切线； （2）求证：OC2＝OE•OP； （3）求线段EG的长．
【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠DAB＝∠ADO，再由已知条件得出∠ADO＝∠DAF，证出OD∥AF，由已知DF⊥AF，得出DF⊥OD，即可得出结论； （2）由射影定理得出OD2＝OE•OP，由OC＝OD，即可得出OC2＝OE•OP； （3）连接DG，由垂径定理得出DE＝CE＝4，得出CD＝8，由勾股定理求出DG，再由勾股定理求出EG即可．
【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示： ∵OA＝OD， ∴∠DAB＝∠ADO， ∵∠DAF＝∠DAB， ∴∠ADO＝∠DAF， ∴OD∥AF， 又∵DF⊥AF， ∴DF⊥OD， ∴DF是⊙O的切线；
（2）证明：由（1）得：DF⊥OD， ∴∠ODF＝90°， ∵AB⊥CD，
∴由射影定理得：OD2＝OE•OP，
∵OC＝OD， ∴OC2＝OE•OP；
（3）解：连接DG，如图2所示： ∵AB⊥CD， ∴DE＝CE＝4， ∴CD＝DE+CE＝8，
设OD＝OA＝x，则OE＝8﹣x，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE2+DE2＝OD2， 即（8﹣x）2+42＝x2， 解得：x＝5， ∴CG＝2OA＝10， ∵CG是⊙O的直径， ∴∠CDG＝90°， ∴DG＝∴EG＝
＝＝
＝6， ＝2
．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．
（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），可以求得抛物线的解析式；
（2）根据（1）中的解析式化为顶点式，即可得到此抛物线顶点D的坐标和对称轴； （3）首先写出存在，然后运用分类讨论的数学思想分别求出各种情况下点P的坐标即可．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
∴，
解得，，
即此抛物线的解析式是y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴此抛物线顶点D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x＝1； （3）存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形， 设点P的坐标为（1，y）， 当PA＝PD时，
＝
，
解得，y＝﹣，
即点P的坐标为（1，﹣）； 当DA＝DP时，
＝
，
解得，y＝﹣4±
，
即点P的坐标为（1，﹣4﹣2）或（1，﹣4+）；
当AD＝AP时，
＝
，
解得，y＝±4，
即点P的坐标是（1，4）或（1，﹣4），
当点P为（1，﹣4）时与点D重合，故不符合题意，
由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，﹣或（1，﹣4﹣2）或（1，﹣4+
）或（1，4）．
）
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