年北京市中学生数学竞赛２０１５
高一年级初赛试题及参考解答
一、选择题（满分３６分）
｛，｛设集合 １．Ａ＝ ａ ＋２０１５ａ∈Ｎ｝Ｂ＝ ｂ ＋１５ｂ∈ ｜｜
２２如图１，在４×５ 的正方形网格中，点 Ａ、３．Ｂ、Ｃ、Ｄ 都是格点，则ｃＡＢ 与ＣＤ 相交于点Ｐ，ｏｓ∠ＢＰＤ 的值等于（ ）．
３ 槡 （ １Ａ）１３ ５ 槡 （ １Ｂ）１５ ）． （Ｄ）９
，则 Ｎ｝Ａ∩Ｂ 中的元素个数为（
（Ａ）６
（Ｂ）７
（Ｃ）８
答：（Ａ）．
２２２２解 由ａ，得 ｂ＋２０１５＝ｂ＋１５－ａ＝（ｂ＋
（ａ）ｂ－ａ）＝２０００＝２×５． 因为 ２０００＝１×
４３７ 槡 （ １Ｃ）１７ 答：（Ｃ）．
９ 槡 （ １Ｄ）１９ ２０００＝２×１０００＝４×５００
＝５×４００＝８×２５０＝１０×２００ ＝１６×１２５＝２０×１００＝２５×８０ ＝４０×５０．
又ｂ＞ａ 且ｂ＋ａ 与ｂ－ａ 同奇偶，
所以只有２×１０００＝４×５００＝８×２５０＝１０×２００＝ 六组有正整数解． ２０×１００＝４０×５０
若二次函数ｙ＝ｆ（的图像经过原点，且对任意２．ｘ）的ｘ∈Ｒ 都有ｆ（恒成立，则ｆ（ｘ＋２）＝ｆ（ｘ）＋ｘ＋２ ｘ）的解析式为（
）．
１ ２１ （Ａ） （ｘ）＝ －
ｘ ＋ ｘ
ｆ ４ ２
１１ （Ｂ） （ｘ）＝ ２－ ｘ ｘ ｆ ４ ２ １ ２１ （Ｃ） （ｘ）＝ －
ｘ － ｘ ｆ ４ ２ １ ２ １
（（） ｘ ＋ ｘ Ｄ）ｘ＝ｆ４ ２ 答：（Ｄ）．
图１ 图２
解 如图２，取格点Ｅ，连接ＥＡ、ＥＢ，， 则 ∠ＥＡＤ＝ ５°∠ＣＤＡ＝４
所以 ＡＥ∥ＣＤ．
所以 ∠ＢＰＤ＝ ∠ＢＡＥ．
，易见 ∠ＡＥＢ＝９０°ＡＥ＝槡２，ＡＢ＝ ３４． 槡ＡＥ 槡２ １７ 槡 因此 ｃｏｓ＝ ＝ ∠ＢＰＤ＝ ．１７ ３４ ＡＢ 槡
２烄ｘ－４ｘ＋３，ｘ≤０，
（）不等式 已知 函数 ４．ｆｘ＝烅
２ｘ－１，ｘ＞０， 烆－ｘ－
２２解 依题意可设ｆ（其中ａ、为常数． ｆ（在［上恒成立，则实数 ｘ）＝ａｘ＋ｂｘ，ｂ ２ｘ＋ａ）＞ｆ（２ａ－ｘ）ａ－１，ａ＋１］
因为 ｆ（ｘ＋２）＝ｆ（ｘ）＋ｘ＋２，
２ ２所以 ａ（（ｘ＋２）＋ｂｘ＋２）＝ａｘ＋ｂｘ＋ｘ＋２，
的取值范围是（ ａ ）．
３ １ （（，） Ｂ）－ －
２ ２ １ （（，Ｄ）＋ ∞） ２
化简得 ４ａｘ＋４ａ＋２ｂ＝ｘ＋２．
３ （（，） Ａ）－ － ∞
２ １ １ （［，］ Ｃ）－
２ ２ 答：（Ａ）．
烄４ａ＝１，
对比系数可得 烅
，
４ａ＋２ｂ＝２ 烆
１ １
于是 ａ＝ ，ｂ＝ ．
４ ２ １ １ ２
所以 ｆ（ｘ）＝ ＋ ．
ｘ
４ ｘ ２
解 由题意可知，函数ｆ（在 要想ｘ）Ｒ 上单调递减，使“不等式ｆ（在［上恒成 ２ｘ＋ａ）２ａ－ｘ）ａ－１，ａ＋１］＞ｆ（，立”只需ｘ∈［时，即 ａ－１，ａ＋１］２ｘ＋ａ＜２ａ－ｘ 总成立，
ａ ａ ３ 于是，只需ａ＋１＜ ，所以ａ＜ ｘ＜ ，－ ． ３ ３ ２
２二次三项式ｆ（具有两个实根ｔ５．ｘ）＝ｘ ＋ａｘ＋ｂ １ 和ｔ甲将ｆ（的一次项系数变为ａ＋将常数项变为 ｘ）ｔ２，１，
２，的一次项系数 ；乙将 ｆ（ｂ－ｔｘ）ｘ）１ （１ 构成二次三项式ｆ．
ｙ ４
， ＝ ５－ｘ ５－３
答：１２．
解 设ＰＭ＝ｘ，则 ＭＮ＝ｙ，（即 ｙ＝２５－ｘ）．
变为ａ－将常数项变为２构成二次三项式ｆ则 ｔｂ，ｘ）．２，２（（
）．
（具有实根，没有实根 Ａ）ｘ）ｘ）ｆ１（ｆ２（（没有实根，具有实根 Ｂ）ｘ）ｘ）ｆ１（ｆ２（（具有实根，具有实根 Ｃ）ｘ）ｘ）ｆ１（ｆ２（
（没有实根， （没有实根 Ｄ） （ｘ）ｘ）
长方形ＰＭＮＤ 的面积Ｓ（， ｘ）＝２ｘ（５－ｘ）
２
所以 Ｓ（）ｘ）＝ －２（ｘ－２．５＋１２．５，
，所 而ｘ∈［以当 时，有 最大值， ３，５）ｘ＝３ Ｓ（ｘ）｛｝）ｍａｘＳ（ｘ）＝Ｓ（３＝１２．
１ 记２… 求 ２．０１５！＝１×２×３× ×２０１５，＋
ｌｏ２０１５！ｇ ２ｆ１ ｆ２
１ １ 答：（Ｃ）． 的值 ＋… ＋．
！ ！ｌｏ２０１５ｌｏ２０１５ｇｇ ３２０１５解 根据韦达定理，由ｔ是二次三项式ｆ（ｔｘ）＝ １、２
２答案：１． 有 则 ｘ＋ａｘ＋ｂ 的两个实根，ａ＝ －ｔｔｂ＝ｔｔ１ －２ ，１２ ，
２２ｌ）， １ 方程ｆｘ）＝ｘ－ｔｘ＋（ｔｔｔｘ）＝０ 的判别式ｆ１（２１２ －１ （１ 解 １ ＋ １ ＋… ＋！！ ！ ｏ２０１５ｌｏ２０１５ｌｏ２０１５ ｇｇｇ２３２０１５２２２
（为Δ＝这意味ｆ具有ｔ２－ｔｔ４ｔ１＝２ｔｔ０，ｘ）１２ ＋１ －２）≥１（ ４
… ＝ｌｏ２＋ｌｏ３＋ ＋ｌｏ２０１５ ｇｇｇ２０１５！２０１５！２０１５！实根．
２＝ｌｏ２０１５！＝１． ｇ２０１５！（（，而ｆ（）ｘ）＝ｘ－ ｔ１ ＋ｔ２ ）ｘ＋２ｔｔ ｘ＝０ ２ ２ １ ２ 方程 ｆ２ ２２２ 如 图 在 ３．４，ＢＣ＝ △ＡＢＣ 中，（），的判别式为Δ＝ｔ －ｔｔ＋４ｔ２ ＝ｔ－２ｔ０这意味１２ １ ２ ≥１ ４
在∠Ｃ 的平分线ＣＥ 的反 ａ，ＡＣ＝ｂ，着ｆ具有实根． ｘ）２（向延长线上取点Ｄ ，使得∠ＡＤＢ＝ １ 又ｘ）＝１＋ ，已知函数 ｆ（ｆ１ （６．，ｘ）＝ｆ（ｘ）ｘ） １ ｆ２（
，求线段ＣＤ 的长． ＣＢ∠Ａｘ
），）），）·ｆ）· 则ｆ２ ＝ｘ）ｘ）＝ｘ）２０１５２０１５ｆ（ｆ（ｆ３（ｆ（ｆ（ｆ（１（２（
）的整数部分是（ ）２０１５． ｆ３（答：ａｂ． 槡（Ａ）２ （Ｂ）３ （Ｃ）４ （Ｄ）５
解 记 ∠ＡＣＥ ＝ ∠ＢＣＥ ＝
答：（Ｂ）．
∠ＡＤＢ＝θ， 图４ １ ｘ＋１， 解 由 （得 则 ， ｘ）＝１＋ ，（ＣＡＤ ｘ）＝ （） ｘ＝ ｆ ｆ１ ｆ ＋∠ＡＤＣ＝θ＝ ∠ ∠ＡＤＣ＋ ∠ＢＤＣ ｘ ｘ由此得 ∠ＣＡＤ＝ ∠ＢＤＣ． ０１６， （ ） ２所以 ０１５ ＝ ｆ１ ２
２０１５ 考虑到 ∠ＡＣＤ＝１８０°－ＣＤ， θ＝ ∠Ｂ２０１６） ４０３１，）））所以 △ＡＣＤ∽ △ＤＣＢ． ２０１５＝ｆ（２０１５＝ｆ（ｆ２（ｆ１（ ＝２０１５ ２０１６ 因此 ＡＣ∶ＣＤ４０３１） ６０４７ ＝ＣＤ∶ ＢＣ ． ）））２０１５＝ｆ（２０１５＝ｆ（ｆ３（ｆ２（
所以 ＣＤ＝ 槡ＢＣ·ＡＣ＝ ａｂ． ＝ １．槡２０１６ ４０３
２２２２２，正数ｘ，４．ｚ 满足ｘ ＋ｙ ＝９，＋ｚ ＝１６＝ ｙ，ｙ ｙ ）·ｆ）·ｆ） 所以 ｆ２０１５２０１５２０１５１（２（３（
确定ｘ的值． ｘｚ，ｚ ２０１６ ４０３１ ６０４７ ６０４７ ２ ｙ＋ｙ＝ × × ＝ ＝３ ． ２０１５ ２０１６ ４０３１ ２０１５ ２０１５
答：１２． ）·ｆ（）·ｆ（）因此ｆ的整数部分２０１５２０１５２０１５１（２ ３
解 由第一个方程可以得出，数ｘ，是直角为 ３ Ｄｙ，是３．
二、填空题（满分６４分） 在 直角梯形 Ａ１．ＢＣＤ 中， ，ＡＤ＝ Ｃ＝９０°ＡＢ＝３， ∠Ｂ∠ＡＤ如图３，求内接 ＡＤ＝４，ＤＣ＝５，长方 形 最 大 面 积 ＰＭＮＤ 的 图３
的直角三角形ＡＢＤ 的直角边和斜边，由第二个方程得出，数ｙ，ｚ 和４是直角为 Ｄ 的直角三角形ＢＣＤ 的直角边和斜边，由第三个方程得出，数ｙ 是数ｘ 和ｚ 的比例中项．
根据在直角三角形中比例线段的逆定理，得∠ＡＢＣ
是直角．
上述关系可以构成图５，则 （ｘｚ＝ ｘ＋ｚ）Ｓ△ＡＢＣ ｙ＋ｙｙ＝２＝３×４＝１２．
２０１５
写出数２的数字和 ５． Ｓ１，
１ １ １ １ ２， ＝ａ＋２０１４·２＋ ＋ ＋… ＋ ＋
１ ２ ２ ２ ２ ２０
ａ ａ ａ １４ １ ２ ２０１３ ａ２２２一方面，ａ ２０１５ ａ ２×２０１４＝４１２８＞４０９６＝６４， ＞１＋２２另一方面，２０１４ ４ａ ＜ａ １２８＋２１＝
２０１５ ＋２×２０１４＋ ＜ １２
１０
图５
４１４９＜６４．５．
所以 ６４ａ６４．５． ＜２０１５ ＜所以与ａ２０１５ 最接近的整数６４． 如图７，已知动点Ｐ 在边长８．
为３ 的正方形 ＡＢ包括ＣＤ 内部（边界），且满足ＰＡ∶ＰＢ＝２∶１．试确定点Ｐ 的轨迹与正方形的边所围成的较小一块图形的面积．
２３ π 槡答： － ．
３ ２ 图７
２再写出数Ｓ的数字和Ｓ依次这样写下去，直写到Ｓ１ ２，ｋ－１ 的数字和Ｓｋ 是一位数ａ 为止，确定ａ 的值．
答：５．
解 注意到对自然数ｎ 和它的数字和Ｓ（满足ｎ ｎ）（）ｎ）ｍｏｄ９． ≡Ｓ（
２０１５６３５５３５
）· 方法 １ ２ ＝ （２ ２ ≡１· ２ ≡ ３２ ≡ （），所以ａ＝５． ５ｍｏｄ９）， 方法２ 由于８≡ －１（ｍｏｄ９
６７１
· 因此 ２ ＝ ８ · ２ ≡ （－ １）４≡ － ４≡ ５
２０１５６７１２（）， ｍｏｄ９
所以ａ＝５．
由正五边形 ＡＢＣＤＥ 的６．对角线相交构成新的正五边形Ａ′如图６）正五边 Ｂ′Ｃ′Ｄ′Ｅ′（．形 的面积为４平方厘 ＡＢＣＤＥ 米，试确定正五边形 Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′ Ｅ′的面积是多少平方厘米．
答：１４－６５． 槡
图６
解 若Ｐ 在边ＡＢ 上的Ｅ 点，则 ＡＥ＝２，ＥＢ＝１，ＡＥ由条件，对于△ＡＰＢ，总有ＰＡ ＝ ，
ＰＢ ＢＥ
即ＰＥ 是∠ＡＰＢ 的平分线．
，又因为∠ＡＰＢ 的内、外角平分线的夹角为９画０°出∠ＡＰＢ 的外角平分线交直线ＡＢ 于点Ｆ，则∠ＥＰＦ＝ ＰＡＡＦ
，且有９０° ＝ ，得ＡＦ＝２即Ｆ 是定点． ＢＦ，
ＰＢ ＢＦ
于是点Ｐ 在以ＥＦ 为直 径的圆上，所 以，点 Ｐ 的轨 迹为ＥＦ 的中点Ｏ 的圆心、 半径为２的圆在正方形内的弧段，与正方形围成的较小 一块图形的面积就是图８中
图８
解 设五边形 五边形 ＡＢＣＤＥ 的边长为ａ，Ａ′Ｂ′Ｃ′ 边 长 为 易 得 且 Ｄ′Ｅ′的 ｘ，Ａ′Ｂ ＝ａ－ｘ，Ｂ′Ａ′ △Ｂ∽
２
得 （ＣＡ′，ａ－ｘ）＝ａｘ， △Ｂｘ ２ · ｘ ｘ ）（即 （）－３＋１＝０＜１，
ａ ａ
３－槡５， ＝ ａ ２
ＳＡ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′Ｅ′ ｘ ２ （３－槡５）７－３槡５， ２
＝（）＝
＝ ＳＡＢＣＤＥ ａ
２ ２
因为 ＳＡＢＣＤＥ ＝４，
ａ 解得 ｘ
阴影部分的面积．
综上，ＡＥ＝２，ＥＢ＝１，ＡＦ＝６，ＢＦ＝３，ＥＦ＝４，ＥＯ＝ ，ＯＦ＝２∠ＥＰＦ＝９０°．
当点Ｐ 运动到Ｇ 时，由于ＧＡ＝２所以∠ＧＡＢ＝ ＧＢ，，因此，３０°＝６０°． ∠ＧＯＥ１ 扇形ＯＥＧ 的面积是半径ＯＥ＝２的圆面积的 ．
６ 因此所求图形面积＝扇形ＯＥＧ 的面积－ △ＯＢＧ 的 １ ·２ １ ２３π 槡面积＝ ·３ ＝ － ． π２－ ·１·槡６ ２ ３ ２ 所以 Ｓ１４－６５． Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′Ｅ′ ＝槡
一串数ａ ，… ，… 满足：，７．ａ ，ａ ，ａ ＝１０ａ ＝ａ ＋
１ ２
ｎ
１
ｎ＋１
ｎ １ ，试确定与ａ最接近的整数． ｎ∈Ｎ，２０１５ａｎ
答：６４． 解 ａ２ ＝ａ２
２０１５
＝（ａ
１ ２ ２ １
）＝＋ ａ ＋２＋
２０１４
２ ２０
１４
ａ２０１４
＋２·２＋１ １
＋
ａ ａ
２０１４
ａ （ ２０１３
２ ２０１３
２
２０１４
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