2015-2016学年安徽省安庆市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为( ) A．y=（x﹣1）2+4 B．y=（x﹣4）2+4 C．y=（x+2）2+6 D．y=（x﹣4）2+6
2．抛物线y=ax2+bx﹣3经过点（1，1），则代数式a+b的值为( ) A．2 B．3 C．4 D．6 3．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是( )
A．﹣1＜x＜5
B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5
4．点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
5．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是( )
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．= D．=
6．图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是( )
A．点M B．点N C．点O D．点P
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是( ) A．2
B．3
C．
D．
8．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则cos∠OBC的值为( )
A． B． C． D．
9．如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为( )
A．80° B．100° C．110° D．130°
10．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为( )
A． B． C．
D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
11．把一个长、宽、高分别为3cm，2cm，1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积s（cm2）与高h（cm）之间的函数关系式为__________．
12．若△ADE∽△ACB，且__________．
=，若四边形BCED的面积是2，则△ADE的面积是
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2
，则sin=__________．
14．一个矩形的长为a，宽为b（a＞b），如果把这个矩形截去一个正方形后所余下的矩形与原矩形相似，那么=__________．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知函数y=x2+x﹣．请用配方法写出这个函数的对称轴和顶点坐标．
16．计算：tan30°cos60°+tan45°cos30°．
四.（本大题共2小题，每小题8分满分16分）
17．如图，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆AB的高度，在C点测得旗杆顶端A的仰角∠BCA=30°，向前走了20米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角∠BDA=60°，求旗杆AB的高度．（结果保留根号）
18．AB是⊙O的直径，CD=8cm，已知如图，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠A=22.5°，求⊙O的半径．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N． （1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．
20．B两点． 如图，在坐标系中，正比例函数y=﹣x的图象与反比例函数y=的图象交于A、①试根据图象求k的值；
②P为y轴上一点，若以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，试直接写出满足条件的点P所有可能的坐标．
六.（本题满分12分）
21．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题： （1）试证明三角形△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：不写作法与证明）．
七、（本题满分12分）
22．一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶5分钟后离开轨道，前2分钟其速度v（米/分）与时间t（分）满足二次函数v=at2，后三分钟其速度v（米/分）与时间t（分）满足反比例函数关系，如图，轨道旁边的测速仪测得弹珠1分钟末的速度为2米/分，求： （1）二次函数和反比例函数的关系式． （2）弹珠在轨道上行驶的最大速度． （3）求弹珠离开轨道时的速度．
八.（本题满分14分） 23． （14分）已知线段OA⊥OB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点．
（1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求的值；
（2）如图2，当OA=OB，
时，求tan∠BPC．
2015-2016学年安徽省安庆市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为( ) A．y=（x﹣1）2+4 B．y=（x﹣4）2+4 C．y=（x+2）2+6 D．y=（x﹣4）2+6 【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式． 【解答】解：将y=x2﹣2x+3化为顶点式，得y=（x﹣1）2+2．
将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y=（x﹣4）2+4， 故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上加下减．
2．抛物线y=ax2+bx﹣3经过点（1，1），则代数式a+b的值为( ) A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】把点（1，1）代入函数解析式即可求出a+b的值．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx﹣3（a≠0）的图象经过点（1，1）， ∴a+b﹣3=1， ∴a+b=4， 故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，整体思想的利用是解题的关键． 3．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是( )
A．﹣1＜x＜5
B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 【考点】二次函数与不等式（组）． 【专题】压轴题．
D．x＜﹣1或x＞5
【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c＜0的解集．
【解答】解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0）， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）． 利用图象可知：
ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集， ∴x＜﹣1或x＞5． 故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，很好地利用数形结合，题目非常典型．
4．点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
D．y1＜y2＜y3
【分析】直接把点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）代入函数y=，求出y1，y2，y3的值，并比较出其大小即可．
【解答】解：∵点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数y=的图象上， ∴y1=
=﹣1，y2=，y3=，
∵﹣1＜＜， ∴y1＜y3＜y2． 故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
5．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是( )
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC
C．= D．=
【考点】相似三角形的判定．
【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【解答】解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误； B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误； C、当
=
时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
6．图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是( )
A．点M B．点N C．点O D．点P 【考点】位似变换． 【专题】网格型．
【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．
【解答】解：点P在对应点M和点N所在直线上，再利用连接另两个对应点，得出相交于P点，即可得出P为两图形位似中心， 故选：D．
【点评】此题主要考查了位似图形的概念，根据位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上得出是解题关键．
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是( ) A．2
B．3
C．
D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】根据勾股定理求出AC，根据正切的概念计算即可． 【解答】解：设BC=x，则AB=3x， 由勾股定理得，AC=则tanB=
=2
，
=2
x，
故选：A．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义以及勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
8．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则cos∠OBC的值为( )
A． B． C． D．
【考点】圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义． 【专题】计算题．
【分析】连接CD，由∠COD为直角，根据90°的圆周角所对的弦为直径，可得出CD为圆A的直径，再利用同弧所对的圆周角相等得到∠CBO=∠CDO，在直角三角形OCD中，由CD及OC的长，利用勾股定理求出OD的长，然后利用余弦函数定义求出cos∠CDO的值，即为cos∠CBO的值．
【解答】解：连接CD，如图所示： ∵∠COD=90°，
∴CD为圆A的直径，即CD过圆心A， 又∵∠CBO与∠CDO为所对的圆周角， ∴∠CBO=∠CDO， 又∵C（0，5）， ∴OC=5，
在Rt△CDO中，CD=10，CO=5， 根据勾股定理得：OD=∴cos∠CBO=cos∠CDO=故选B
=
==5
， ．
【点评】此题考查了圆周角定理，勾股定理，坐标与图形性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理是解本题的关键．
9．如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为( )
A．80° B．100° C．110° D．130° 【考点】圆周角定理．
【分析】连接OC，然后根据等边对等角可得：∠OCB=∠OBC=40°，然后根据三角形内角和定理可得∠BOC=100°，然后根据周角的定义可求：∠1=260°，然后根据圆周角定理即可求出∠A的度数．
【解答】解：连接OC，如图所示，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°， ∴∠BOC=100°，
∵∠1+∠BOC=360°， ∴∠1=260°， ∵∠A=∠1， ∴∠A=130°． 故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，解题的关键是：熟记在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
10．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为( )
A． B． C．
D．
【考点】动点问题的函数图象． 【专题】压轴题；数形结合．
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：
①0≤x≤4时，根据四边形PBDQ的面积=△ABD的面积﹣△APQ的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象；
②4≤x≤8时，根据四边形PBDQ的面积=△BCD的面积﹣△CPQ的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解． 【解答】解：①0≤x≤4时， ∵正方形的边长为4cm， ∴y=S△ABD﹣S△APQ， =×4×4﹣•x•x， =﹣x2+8， ②4≤x≤8时，
y=S△BCD﹣S△CPQ，
=×4×4﹣•（8﹣x）•（8﹣x）， =﹣（8﹣x）2+8，
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合． 故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．
二、填空题（每小题5分，共20分）
11．把一个长、宽、高分别为3cm，2cm，1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积s（cm2）与高h（cm）之间的函数关系式为s=． 【考点】根据实际问题列反比例函数关系式．
【分析】利用长方体的体积=圆柱体的体积，进而得出等式求出即可． 【解答】解：由题意可得：sh=3×2×1，
则s=． 故答案为：s=．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数解析式，得出长方体体积是解题关键．
12．若△ADE∽△ACB，且
=，若四边形BCED的面积是2，则△ADE的面积是．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据题意求出△ADE与△ACB的相似比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵△ADE∽△ACB，且∴△ADE与△ACB的面积比为：，
=，
∴△ADE与四边形BCED的面积比为：，又四边形BCED的面积是2， ∴△ADE的面积是， 故答案为：．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2
，则sin=．
【考点】特殊角的三角函数值． 【专题】推理填空题．
【分析】根据在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2以求得∠A的度数，进而可求得sin的值．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2∴sinA=∴∠A=60°， ∴sin=sin30°=，
，
，可以求得∠A正弦值，从而可
，
故答案为：．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是明确特殊角的三角函数值．
14．一个矩形的长为a，宽为b（a＞b），如果把这个矩形截去一个正方形后所余下的矩形与原矩形相似，那么=
．
【考点】相似多边形的性质．
【分析】根据截去的最大的正方形的边长应该是b，把这个矩形截去一个最大的正方形后余下的矩形与原矩形相似，根据对应边的比相等列出算式，计算即可． 【解答】解：由题意得， =
，
整理得，a2﹣ab﹣b2=0， 解得，a=则=
，
． b，
故答案为：
【点评】本题考查矩形的性质以及相似多边形的识别．要注意相似矩形的对应的边分别是哪条，不要弄混淆了． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．已知函数y=x2+x﹣．请用配方法写出这个函数的对称轴和顶点坐标． 【考点】二次函数的三种形式．
【分析】利用配方法整理，然后根据顶点式解析式写出对称轴和顶点坐标即可．
【解答】解：y=x2+x﹣， =（x2+2x+1）﹣﹣， =（x+1）2﹣3，
所以，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣3）．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法的操作是解题的关键．
16．计算：tan30°cos60°+tan45°cos30°． 【考点】特殊角的三角函数值．
【专题】计算题．
【分析】根据特殊角的三角函数值可以计算出tan30°cos60°+tan45°cos30°的值． 【解答】解：tan30°cos60°+tan45°cos30° ===
．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是明确特殊角的三角函数值．
四.（本大题共2小题，每小题8分满分16分）
17．如图，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆AB的高度，在C点测得旗杆顶端A的仰角∠BCA=30°，向前走了20米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角∠BDA=60°，求旗杆AB的高度．（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】根据题意得∠C=30°，∠ADB=60°，从而得到∠DAC=30°，进而判定AD=CD，得到CD=20米，在Rt△ADB中利用sin∠ADB求得AB的长即可． 【解答】解：∵∠C=30°，∠ADB=60°， ∴∠DAC=30°， ∴AD=CD， ∵CD=20米， ∴AD=20米， 在Rt△ADB中，
=sin∠ADB， ∴AB=AD×sin60°=20×
=10
米．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中整理出直角三角形并正确的利用边角关系求解． 18．AB是⊙O的直径，CD=8cm，已知如图，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠A=22.5°，求⊙O的半径．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】连接OC，由圆周角定理得出∠COE=45°，根据垂径定理可得CE=DE=4cm，证出△COE为等腰直角三角形，利用特殊角的三角函数可得答案． 【解答】解：连接OC，如图所示： ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=DE=CD=4cm， ∵∠A=22.5°，
∴∠COE=2∠A=45°，
∴△COE为等腰直角三角形， ∴OC=CE=4cm， 即⊙O的半径为4cm．
【点评】此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、以及三角函数的应用；关键是掌握圆周角
定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N． （1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质． 【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC， ∴∠AMB=∠EAF， 又∵EF⊥AM， ∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE， ∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5， ∴AM=
=13，AD=12，
∵F是AM的中点， ∴AF=AM=6.5， ∵△ABM∽△EFA， ∴即
， ，
∴AE=16.9，
∴DE=AE﹣AD=4.9．
【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
20．B两点． 如图，在坐标系中，正比例函数y=﹣x的图象与反比例函数y=的图象交于A、①试根据图象求k的值；
②P为y轴上一点，若以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，试直接写出满足条件的点P所有可能的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【专题】计算题．
【分析】①利用点A在直线y=﹣x上确定A点坐标，然后把A点坐标代入y=即可求出k的值；
②设P（0，t），而B点坐标为（1，﹣1），分类讨论：当∠PAB=90°，则PA2+AB2=PB2；当∠PBA=90°，则PB2+AB2=PA2；当∠APB=90°，则PA2+PB2=AB2，然后利用两点间的距离公式列出关于t的3个方程，再解方程求出t即可得到P点坐标． 【解答】解：①把x=﹣1代入y=﹣x得y=1， ∴A的坐标是（﹣1，1）， 把A（﹣1，1）代入y=得k=﹣1×1=﹣1； ②∵点A与点B关于原点中心对称， ∴B点坐标为（1，﹣1），
∴AB=2，
设P点坐标为（0，t），
当∠PAB=90°，则PA2+AB2=PB2，即12+（t﹣1）2+（2）2=12+（t+1）2，解得t=2； 当∠PBA=90°，则PB2+AB2=PA2，即12+（t+1）2+（2）2=12+（t﹣1）2，解得t=﹣2； 当∠APB=90°，则PA2+PB2=AB2，即12+（t﹣1）2+12+（t+1）2=（2）2，解得t=± ∴点P的所有可能的坐标是（0，），（0，﹣），（0，2），（0，﹣2）． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了分类讨论的思想和两点间的距离公式．
六.（本题满分12分）
21．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题： （1）试证明三角形△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：不写作法与证明）．
【考点】作图—相似变换；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定． 【分析】（1）利用网格得出AB2=20，AC2=5，BC2=25，再利用勾股定理逆定理得出答案即可；
（2）利用AB=2，AC=，BC=5以及DE=4，DF=2，EF=2，利用三角形三边比值关系得出即可；
（3）根据△P2P4 P5三边与△ABC三边长度得出答案即可． 【解答】解：（1）∵AB2=20，AC2=5，BC2=25； ∴AB2+AC2=BC2，
根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形；
（2）△ABC和△DEF相似．
由（1）中数据得AB=2，AC=，BC=5， DE=4，DF=2，EF=2． =
=
=
=
，
∴△ABC∽△DEF．
（3）如图：连接P2P5，P2P4，P4P5， ∵P2P5=，P2P4=，P4P5=2， AB=2，AC=，BC=5， ∴
=
=
=
，
∴，△ABC∽△P2P4 P5．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及勾股定理与逆定理应用，根据已知得出三角形各边长度是解题关键． 七、（本题满分12分）
22．一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶5分钟后离开轨道，前2分钟其速度v（米/分）与时间t（分）满足二次函数v=at2，后三分钟其速度v（米/分）与时间t（分）满足反比例函数关系，如图，轨道旁边的测速仪测得弹珠1分钟末的速度为2米/分，求： （1）二次函数和反比例函数的关系式． （2）弹珠在轨道上行驶的最大速度． （3）求弹珠离开轨道时的速度．
【考点】反比例函数的应用． 【分析】（1）二次函数图象经过点（1，2），反比例函数图象经过点（2，8），利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）把t=2代入（1）中二次函数解析式即可；
（3）把t=5代入（1）中反比例函数解析式即可求得答案． 【解答】解：（1）v=at2的图象经过点（1，2）， ∴a=2．
∴二次函数的解析式为：v=2t2，（0≤t≤2）；
设反比例函数的解析式为v=， 由题意知，图象经过点（2，8）， ∴k=16，
∴反比例函数的解析式为v=
（2）∵二次函数v=2t2，（0≤t≤2）的图象开口向上，对称轴为y轴， ∴弹珠在轨道上行驶的最大速度在2秒末，为8米/分；
（2＜t≤5）；
（3）弹珠在第5秒末离开轨道，其速度为v==3.2（米/分）．
【点评】本题考查了反比例函数和二次函数的应用．解题的关键是从图中得到关键性的信息：
自变量的取值范围和图象所经过的点的坐标．
八.（本题满分14分） 23． （14分）已知线段OA⊥OB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点．（1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求（2）如图2，当OA=OB，
的值；
时，求tan∠BPC．
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形． 【专题】几何图形问题．
CO=AD：【分析】（1）过D作BO的平行线，根据平行线分线段成比例定理，在△ACO中ED：
AO，ED：BC=PE：PC，PC=1：在△ADE和△PCB中，再根据C是BO的中点，可以求出PE：
2，再根据三角形中位线定理，E是AC的中点，利用比例变形求出AP与PC的比值等于2；
（2）同（1）的方法，先求出PC=AC，再过D作DF⊥AC于F，设AD为a，利用勾股定a，再利用相似三角形对应边成比例求出DF、AF的值，而PF=AC﹣理求出AC等于2
AF﹣PC，也可求出，又∠BPC与∠FPD是对顶角，所以其正切值便可求出． 【解答】解：（1）过D作DE∥CO交AC于E， ∵D为OA中点，∴AE=CE=∵点C为OB中点， ∴BC=CO，∴∴PC=
=，
， ，
，
，
∴=2；
（2）过点D作DE∥BO交AC于E， ∵
，∴
=
=，
， =
，
∵点C为OB中点，∴∴
，∴PC=
过D作DF⊥AC，垂足为F，设AD=a，则AO=4a， ∵OA=OB，点C为OB中点，∴CO=2a， 在Rt△ACO中，AC=又∵Rt△ADF∽Rt△ACO，∴∴AF=
，DF=
， a﹣=．
﹣
=
，
=
，
=2
a，
PF=AC﹣AF﹣PC=2 tan∠BPC=tan∠FPD=
【点评】本题难度较大，需要对平行线分线段成比例定理灵活运用，根据勾股定理构造出直角三角形并求出其直角边的长，准确作出辅助线是解决本题的关键，也是求解的难点，这就要求同学们在平时的学习中对公式定理要熟练掌握并灵活运用，不断提高自己的数学学习能力．
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