2019中考数学试题分类汇编：考点21 全等三角形
一．选择题（共9小题）
1．（2019•安顺）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．
【解答】解：∵AB=AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD； B、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件． 故选：D．
2．（2019•黔南州）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙
【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等． 【解答】解：乙和△ABC全等；理由如下：
在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS， 所以乙和△ABC全等；
在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，
2020
所以丙和△ABC全等； 不能判定甲与△ABC全等； 故选：B．
3．（2019•河北）已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（ ）
A．作∠APB的平分线PC交AB于点C B．过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC C．取AB中点C，连接PC D．过点P作PC⊥AB，垂足为C
【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论．
【解答】解：A、利用SAS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；
C、利用SSS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；
D、利用HL判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意， B、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意； 故选：B．
4．（2019•南京）如图，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为（ ）
A．a+c B．b+c C．a﹣b+c D．a+b﹣c
2020
【分析】只要证明△ABF≌△CDE，可得AF=CE=a，BF=DE=b，推出AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b﹣c；
【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB=∠CED=90°，∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°， ∴∠A=∠C，∵AB=CD， ∴△ABF≌△CDE， ∴AF=CE=a，BF=DE=b， ∵EF=c，
∴AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b﹣c， 故选：D．
5．（2019•临沂）如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（ ）
A． B．2 C．2 D．
【分析】根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值．
【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E=∠ADC=90°， ∴∠EBC+∠BCE=90°． ∵∠BCE+∠ACD=90°， ∴∠EBC=∠DCA． 在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
2020
∴BE=DC=1，CE=AD=3． ∴DE=EC﹣CD=3﹣1=2 故选：B．
6．（2019•台湾）如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（ ）
A．115 B．120 C．125 D．130
【分析】根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等，进而得出∠B=∠E，利用多边形的内角和解答即可． 【解答】解：∵正三角形ACD， ∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°， ∵AB=DE，BC=AE， ∴△ABC≌△AED，
∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE， ∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°， ∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°， 故选：C．
7．（2019•成都）如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
2020
A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DBC C．AC=DB D．AB=DC
【分析】全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可． 【解答】解：A、∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
B、∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误； C、∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确；
D、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误； 故选：C．
8．（2019•黑龙江）如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．15 B．12.5 C．14.5 D．17
【分析】过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，判定△ACD≌△AEB，即可得到△ACE是等腰直角三角形，四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，根据S△ACE=×5×5=12.5，即可得出结论．
【解答】解：如图，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E， ∵∠DAB=∠DCB=90°，
∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC， ∴∠D=∠ABE，
又∵∠DAB=∠CAE=90°， ∴∠CAD=∠EAB， 又∵AD=AB，
2020
∴△ACD≌△AEB，
∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形， ∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等， ∵S△ACE=×5×5=12.5， ∴四边形ABCD的面积为12.5， 故选：B．
9．（2019•绵阳）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE=
，AD=
，则两个三角形重叠部分的面积为（ ）
A． B．3 C． D．3
【分析】如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．想办法求出△AOB的面积．再求出OA与OB的比值即可解决问题；
【解答】解：如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．
∵∠ECD=∠ACB=90°， ∴∠ECA=∠DCB， ∵CE=CD，CA=CB， ∴△ECA≌△DCB， ∴∠E=∠CDB=45°，AE=BD=∵∠EDC=45°，
，
2020
∴∠ADB=∠ADC+∠CDB=90°， 在Rt△ADB中，AB=∴AC=BC=2， ∴S△ABC=×2×2=2，
∵OD平分∠ADB，OM⊥DE于M，ON⊥BD于N， ∴OM=ON，
=2
，
∵====，
∴S△AOC=2×故选：D．
=3﹣，
二．填空题（共4小题）
10．（2019•金华）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是 AC=BC ．
【分析】添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC． 【解答】解：添加AC=BC， ∵△ABC的两条高AD，BE， ∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°， ∴∠EBC=∠DAC， 在△ADC和△BEC中
，
2020
∴△ADC≌△BEC（AAS）， 故答案为：AC=BC．
11．（2019•衢州）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 AB=ED （只需写一个，不添加辅助线）．
【分析】根据等式的性质可得BC=EF，根据平行线的性质可得∠B=∠E，再添加AB=ED可利用SAS判定△ABC≌△DEF． 【解答】解：添加AB=ED， ∵BF=CE， ∴BF+FC=CE+FC， 即BC=EF， ∵AB∥DE， ∴∠B=∠E， 在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）， 故答案为：AB=ED．
12．（2019•绍兴）等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP=BA，则∠PBC的度数为 30°或110° ． 【分析】分两种情形，利用全等三角形的性质即可解决问题； 【解答】解：如图，当点P在直线AB的右侧时．连接AP． ∵AB=AC，∠BAC=40°， ∴∠ABC=∠C=70°，
，
2020
∵AB=AB，AC=PB，BC=PA， ∴△ABC≌△BAP， ∴∠ABP=∠BAC=40°， ∴∠PBC=∠ABC﹣∠ABP=30°，
当点P′在AB的左侧时，同法可得∠ABP′=40°， ∴∠P′BC=40°+70°=110°， 故答案为30°或110°．
13．（2019•随州）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD且BC＞AB，BD=8．给出以下判断：
①AC垂直平分BD；
②四边形ABCD的面积S=AC•BD；
③顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形可能是正方形； ④当A，B，C，D四点在同一个圆上时，该圆的半径为
；
⑤将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，当BF⊥CD时，点F到直线AB的距离为
．
其中正确的是 ①③④ ．（写出所有正确判断的序号）
2020
【分析】依据AB=AD=5，BC=CD，可得AC是线段BD的垂直平分线，故①正确；依据四边形ABCD的面积S=
，故②错误；依据AC=BD，可得顺次连接四边形ABCD的四边中点得到
的四边形是正方形，故③正确；当A，B，C，D四点在同一个圆上时，设该圆的半径为r，则r=（r﹣3）+4，得r=
2
2
2
，故④正确；连接AF，设点F到直线AB的距离为h，由折叠
可得，四边形ABED是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4，依据S△BDE=×BD×OE=×BE×DF，可得DF=
，进而得出EF=，再根据S△ABF=S梯形ABFD﹣S△ADF，即可得到h=
，故⑤错误．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD， ∴AC是线段BD的垂直平分线，故①正确； 四边形ABCD的面积S=
，故②错误；
当AC=BD时，顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形是正方形，故③正确； 当A，B，C，D四点在同一个圆上时，设该圆的半径为r，则 r2=（r﹣3）2+42， 得r=
，故④正确；
将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，如图所示， 连接AF，设点F到直线AB的距离为h，
由折叠可得，四边形ABED是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4， ∴AO=EO=3，
∵S△BDE=×BD×OE=×BE×DF， ∴DF=
=
，
∵BF⊥CD，BF∥AD， ∴AD⊥CD，EF=
=，
2020
∵S△ABF=S梯形ABFD﹣S△ADF， ∴×5h=（5+5+）×解得h=
，故⑤错误；
﹣×5×
，
故答案为：①③④．
三．解答题（共23小题）
14．（2019•柳州）如图，AE和BD相交于点C，∠A=∠E，AC=EC．求证：△ABC≌△EDC．
【分析】依据两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等进行判断． 【解答】证明：∵在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA）．
15．（2019•云南）如图，已知AC平分∠BAD，AB=AD．求证：△ABC≌△ADC．
【分析】根据角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC，利用SAS定理判断即可． 【解答】证明：∵AC平分∠BAD，
2020
∴∠BAC=∠DAC， 在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC．
16．（2019•泸州）如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求证：∠F=∠C．
【分析】欲证明∠F=∠C，只要证明△ABC≌△DEF（SSS）即可； 【解答】证明：∵DA=BE， ∴DE=AB，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）， ∴∠C=∠F．
17．（2019•衡阳）如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE． （1）求证：△ABE≌△DCE； （2）当AB=5时，求CD的长．
【分析】（1）根据AE=DE，BE=CE，∠AEB和∠DEC是对顶角，利用SAS证明△AEB≌△DEC即可．
（2）根据全等三角形的性质即可解决问题．
2020
【解答】（1）证明：在△AEB和△DEC中，
，
∴△AEB≌△DEC（SAS）．
（2）解：∵△AEB≌△DEC， ∴AB=CD， ∵AB=5， ∴CD=5．
18．（2019•通辽）如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF． （1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）由AF∥BC得∠AFE=∠EBD，继而结合∠EAF=∠EDB、AE=DE即可判定全等； （2）根据AB=AC，且AD是BC边上的中线可得∠ADC=90°，由四边形ADCF是矩形可得答案． 【解答】证明：（1）∵E是AD的中点， ∴AE=DE， ∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB， ∴△AEF≌△DEB（AAS）；
2020
（2）连接DF，
∵AF∥CD，AF=CD，
∴四边形ADCF是平行四边形， ∵△AEF≌△DEB， ∴BE=FE， ∵AE=DE，
∴四边形ABDF是平行四边形， ∴DF=AB， ∵AB=AC， ∴DF=AC，
∴四边形ADCF是矩形．
19．（2019•泰州）如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．
【分析】因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以AB=CD，证明△ABO与△CDO全等，所以有OB=OC． 【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， ∴∠OBC=∠OCB， ∴BO=CO．
20．（2019•南充）如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．
2020
求证：∠C=∠E．
【分析】由∠BAE=∠DAC可得到∠BAC=∠DAE，再根据“SAS”可判断△BAC≌△DAE，根据全等的性质即可得到∠C=∠E． 【解答】解：∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE﹣∠CAE=∠DAC﹣∠CAE，即∠BAC=∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ∵
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴∠C=∠E．
21．（2019•恩施州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．
求证：AD与BE互相平分．
【分析】连接BD，AE，判定△ABC≌△DEF（ASA），可得AB=DE，依据AB∥DE，即可得出四边形ABDE是平行四边形，进而得到AD与BE互相平分． 【解答】证明：如图，连接BD，AE， ∵FB=CE， ∴BC=EF，
又∵AB∥ED，AC∥FD，
2020
∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE， 在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴AB=DE， 又∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AD与BE互相平分．
22．（2019•哈尔滨）已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE． （1）如图1，求证：AD=CD；
（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．
【分析】（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得；
（2）设DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知S△ADC=2a2=2S△ADE，证△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分别求出S△ABE、S△ACE、S△BHG，从而得出答案． 【解答】解：（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF， ∴∠ADE=∠CGF，
2020
∵AC⊥BD、BF⊥CD，
∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF， ∴∠DAE=∠GCF， ∴AD=CD；
（2）设DE=a，
则AE=2DE=2a，EG=DE=a， ∴S△ADE=AE•DE=•2a•a=a2， ∵BH是△ABE的中线， ∴AH=HE=a， ∵AD=CD、AC⊥BD， ∴CE=AE=2a，
则S△ADC=AC•DE=•（2a+2a）•a=2a2=2S△ADE； 在△ADE和△BGE中， ∵
，
∴△ADE≌△BGE（ASA）， ∴BE=AE=2a，
∴S△ABE=AE•BE=•（2a）•2a=2a， S△ACE=CE•BE=•（2a）•2a=2a2， S△BHG=HG•BE=•（a+a）•2a=2a2，
综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．
23．（2019•武汉）如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．
2
2020
【分析】求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．
【解答】证明：∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF， ∴BF=CE， 在△ABF和△DCE中
∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴∠GEF=∠GFE， ∴EG=FG．
24．（2019•咸宁）已知：∠AOB． 求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'=∠AOB
（1）如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；
（2）如图2，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径间弧，交O′A′于点C′； （3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所而的弧交于点D′； （4）过点D′画射线O′B'，则∠A'O'B'=∠AOB． 根据以上作图步骤，请你证明∠A'O'B′=∠AOB．
【分析】由基本作图得到OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，则根据“SSS“可证明△OCD≌△O′C′D′，然后利用全等三角形的性质可得到∠A'O'B′=∠AOB． 【解答】证明：由作法得OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′， 在△OCD和△O′C′D′中
，
∴△OCD≌△O′C′D′，
2020
∴∠COD=∠C′O′D′， 即∠A'O'B′=∠AOB．
25．（2019•安顺）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：AF=DC；
（2）若AC⊥AB，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）连接DF，由AAS证明△AFE≌△DBE，得出AF=BD，即可得出答案；
（2）根据平行四边形的判定得出平行四边形ADCF，求出AD=CD，根据菱形的判定得出即可； 【解答】（1）证明：连接DF， ∵E为AD的中点， ∴AE=DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE， 在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）， ∴EF=BE， ∵AE=DE，
∴四边形AFDB是平行四边形， ∴BD=AF， ∵AD为中线， ∴DC=BD， ∴AF=DC；
（2）四边形ADCF的形状是菱形，理由如下：
2020
∵AF=DC，AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AC⊥AB， ∴∠CAB=90°， ∵AD为中线， ∴AD=BC=DC，
∴平行四边形ADCF是菱形；
26．（2019•广州）如图，AB与CD相交于点E，AE=CE，DE=BE．求证：∠A=∠C．
【分析】根据AE=EC，DE=BE，∠AED和∠CEB是对顶角，利用SAS证明△ADE≌△CBE即可． 【解答】证明：在△AED和△CEB中，
，
∴△AED≌△CEB（SAS），
∴∠A=∠C（全等三角形对应角相等）．
27．（2019•宜宾）如图，已知∠1=∠2，∠B=∠D，求证：CB=CD．
2020
【分析】由全等三角形的判定定理AAS证得△ABC≌△ADC，则其对应边相等． 【解答】证明：如图，∵∠1=∠2， ∴∠ACB=∠ACD． 在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（AAS）， ∴CB=CD．
28．（2019•铜仁市）已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF．
【分析】可证明△ACE≌△BDF，得出∠A=∠B，即可得出AE∥BF； 【解答】证明：∵AD=BC，∴AC=BD，
2020
在△ACE和△BDF中，∴△ACE≌△BDF（SSS） ∴∠A=∠B， ∴AE∥BF；
，
29．（2019•温州）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED=∠B． （1）求证：△AED≌△EBC． （2）当AB=6时，求CD的长．
【分析】（1）利用ASA即可证明；
（2）首先证明四边形AECD是平行四边形，推出CD=AE=AB即可解决问题； 【解答】（1）证明：∵AD∥EC， ∴∠A=∠BEC， ∵E是AB中点， ∴AE=EB， ∵∠AED=∠B， ∴△AED≌△EBC．
（2）解：∵△AED≌△EBC， ∴AD=EC， ∵AD∥EC，
∴四边形AECD是平行四边形， ∴CD=AE， ∵AB=6， ∴CD=AB=3．
2020
30．（2019•菏泽）如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．
【分析】结论：DF=AE．只要证明△CDF≌△BAE即可； 【解答】解：结论：DF=AE． 理由：∵AB∥CD， ∴∠C=∠B， ∵CE=BF，
∴CF=BE，∵CD=AB， ∴△CDF≌△BAE， ∴DF=AE．
31．（2019•苏州）如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求证：BC∥EF．
【分析】由全等三角形的性质SAS判定△ABC≌△DEF，则对应角∠ACB=∠DFE，故证得结论． 【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠A=∠D， ∵AF=DC， ∴AC=DF．
∴在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
2020
∴∠ACB=∠DFE， ∴BC∥EF．
32．（2019•嘉兴）已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．
【分析】只要证明Rt△ADE≌Rt△CDF，推出∠A=∠C，推出BA=BC，又AB=AC，即可推出AB=BC=AC；
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F， ∴∠AED=∠CFD=90°， ∵D为AC的中点， ∴AD=DC，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF， ∴∠A=∠C， ∴BA=BC，∵AB=AC， ∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形．
33．（2019•滨州）已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点． （1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE=AF；
（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE=AF吗？请利用图②说明理由．
2020
【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△BDE≌△ADF（ASA），再根据全等三角形的性质即可证出BE=AF；
（2）连接AD，根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△EDB≌△FDA（ASA），再根据全等三角形的性质即可得出BE=AF．
【解答】（1）证明：连接AD，如图①所示． ∵∠A=90°，AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD=45°． ∵点D为BC的中点， ∴AD=BC=BD，∠FAD=45°．
∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°， ∴∠BDE=∠ADF． 在△BDE和△ADF中，∴△BDE≌△ADF（ASA）， ∴BE=AF；
（2）BE=AF，证明如下： 连接AD，如图②所示． ∵∠ABD=∠BAD=45°， ∴∠EBD=∠FAD=135°．
∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°， ∴∠EDB=∠FDA． 在△EDB和△FDA中，
， ，
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∴△EDB≌△FDA（ASA）， ∴BE=AF．
34．（2019•怀化）已知：如图，点A．F，E．C在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D． （1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可； （2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可． 【解答】证明：（1）∵AB∥DC， ∴∠A=∠C， 在△ABE与△CDF中∴△ABE≌△CDF（ASA）；
（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点， ∴ED=CD， ∵EG=5， ∴CD=10，
，
2020
∵△ABE≌△CDF， ∴AB=CD=10．
35．（2019•娄底）如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F． （1）求证：△AOE≌△COF；
（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．
【分析】（1）首先证明四边形ABCD是平行四边形，再利用ASA证明△AOE≌△COF； （2）结论：四边形BEDF是菱形．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明； 【解答】（1）证明：∵OA=OC，OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO=∠FCO， 在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF．
（2）解：结论：四边形BEDF是菱形， ∵△AOE≌△COF， ∴AE=CF， ∵AD=BC，
∴DE=BF，∵DE∥BF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵OB=OD，EF⊥BD， ∴EB=ED，
2020
∴四边形BEDF是菱形．
36．（2019•桂林）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF． （1）求证：△ABC≌DEF；
（2）若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数．
【分析】（1）求出AC=DF，根据SSS推出△ABC≌△DEF．
（2）由（1）中全等三角形的性质得到：∠A=∠EDF，进而得出结论即可． 【解答】证明：（1）∵AC=AD+DC，DF=DC+CF，且AD=CF ∴AC=DF
在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS） （2）由（1）可知，∠F=∠ACB ∵∠A=55°，∠B=88°
∴∠ACB=180°﹣（∠A+∠B）=180°﹣（55°+88°）=37° ∴∠F=∠ACB=37°
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