第３７卷第６期 ２０１ ６年６月 东北大学学报（ 自然科学版） Ｖｏ１．３７，Ｎｏ．６ Ｊｕｎ．２ ０ １ ６ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎｏｒｔｈｅａｓｔｅｒｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００５—３０２６．２０１６．０６．０１６ 基于Ｋｒｉｇｉｎｇ模型的数据拟合及多场 耦合动力学特性分析 杨文军 ，袁惠群 ，赵天宇 （１．东北大学机械工程与自动化学院，辽宁沈阳１１０８１９；２．东北大学理学院，辽宁沈阳１１０８１９） 摘 要：航空发动机日益向高负荷、高效率和高可靠性的趋势发展，使得多物理场耦合问题越来越受到 重视．以某型航空发动机压气机的叶盘系统为研究对象，采用循环对称分析法，建立了其单扇区三维流场和结 构模型．考虑前一级静叶尾迹的影响，模拟了压气机内部的三维流场．基于Ｋｒｉｇｉｎｇ模型实现了流场气动、温度 载荷向结构场的传递，并讨论了气动、温度、离心力的耦合作用对压气机叶盘系统的疲劳寿命的影响．结果表 明：利用Ｋｒｉｇｉｎｇ模型进行多场耦合界面载荷数据的传递可以满足多场耦合动力学的计算要求．在低压压气 机中，离心力载荷对叶盘系统的变形、应力起到主要作用，气动压强、温度载荷引起的弯曲应力可以抵消一部 分离心力载荷引起的弯曲应力，但温度载荷会使得叶盘系统的最大变形增加． 关键词：压气机转子；循环对称分析法；Ｋｒｉｇｉｎｇ模型；多场耦合；动力学特性 文献标志码：Ａ 文章编号：１００５—３０２６（２０１６）０６—０８３４—０５ 中图分类号：Ｖ ２３１．３ Ｍｕｌｔｉ－ｆｉｅｌｄ Ｃｏｕｐｌｉｎｇ Ｄｙｎａｍｉｃ Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ａｎｄ Ｄａｔａ Ｆｉｔｔｉｎｇ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｋｒｉｇｉｎｇ Ｍｏｄｅｌ ＹＡＮＧ Ｗｅｎ－ｊｕｎ ，ＹＵＡＮＨｕｉ—ｑｕｎ ，ＺＨＡＯ Ｔｉａｎ—ｙｕ （１．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ＆Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ，Ｎｏｒｔｈｅａｓｔｅｒｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ １ １０８ １９，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｎｏｒｔｈｅａｓｔｅｒｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ １ １０８１９，Ｃｈｉｎａ．Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ａｕｔｈｏｒ：ＹＵＡＮ Ｈｕｉ— ｑｕｎ，Ｅ—ｍａｉｌ：ｙｕａｎ＿ｈｑ＠１６３．ｃｏｍ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｅｒｏ－ｅｎｇｉｎｅ ｉｓ ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇｌｙ ｔｏ ｆａｃｅ ｔｈｅ ｔｒｅｎｄ ｏｆ ｈｉｇｈｅｒ ｌｏａｄ，ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ａｎｄ ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ， ＳＯ ｔｈａｔ ｍｕｌｔｉ—ｆｉｅｌｄ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ａｒｅ ｔａｋｅｎ ｍｏｒｅ ａｎｄ ｍｏｒｅ ａｔｔｅｎｔｉｏｎ．Ｔｈｉｓ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｔｏｏｋ ｔｈｅ ｓｅｍａｌ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ａｎ ａｅｒｏ—ｅｎｇｉｎｅ ｃｏｍｐｒｅｓｓｏｒ ａｓ ｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｂｊｅｃｔ，３Ｄ ｆｌｏｗ ｆｉｅｌｄ ｉｎ ｔｈｅ ｓｉｎｇｌｅ ｓｅｃｔｏｒ ａｎｄ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｍｏｄｅｌｓ ｗｅｒｅ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｃｙｃｌｉｃ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ．Ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｔｈｅ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ ｆｏｒｍｅｒ ｓｔａｔｏｒ ｗａｋｅｓ，ｃｏｍｐｒｅｓｓｏｒ ｆｌｏｗ ｆｉｅｌｄ ｗａｓ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ．Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ Ｋｒｉｇｉｎｇ ｍｏｄｅｌ，ｌｏａｄ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｏｆ ａｅｒｏｄｙｎａｍｉｃ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ａｎｄ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ａｃｈｉｅｖｅｄ ｆｒｏｍ ｆｌｏｗ ｆｉｅｌｄ ｔｏ ｂｌａｄｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ．Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｆ ａｅｒｏｄｙｎａｍｉｃ ｐｒｅｓｓｕｒｅ，ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ａｎｄ ｃｅｎｔｒｉｆｕｇａｌ ｓｔｒｅｓｓ ｏｎ ｃｏｍｐｒｅｓｓｏｒ ｆａｔｉｇｕｅ ｌｉｆｅ ｗｅｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｌｏａｄ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｗｉｔｈ ｔｈｅ Ｋｒｉｇｉｎｇ ｍｏｄｅｌ ｃａｎ ｍｅｅｔ ｔｈｅ ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔ ｏｆ ｍｕｌｔｉ—ｆｉｅｌｄ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｄｙｎａｍｉｃ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ．Ｉｎ ｔｈｅ ｌｏｗ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ｃｏｍｐｒｅｓｓｏｒ，ｃｅｎｔｒｉｆｕｇａｌ ｆｏｒｃｅ ｐｌａｙｓ ａ ｍａｊｏｒ ｒｏｌｅ ｏｎ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ ｓｔｒｅｓｓ ｏｆ ｓｅｍａｌ ｓｙｓｔｅｍ，ａｎｄ ｂｅｎｄｉｎｇ ｓｔｒｅｓｓ ｉｎｄｕｃｅｄ ｂｙ ａｅｒｏｄｙｎａｍｉｃ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ａｎｄ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ｃａｎ ｃｏｕｎｔｅｒａｃｔ ｐａｒｔ ｏｆ ｂｅｎｄｉｎｇ ｓｔｒｅｓｓ ｉｎｄｕｃｅｄ ｂｙ ｃｅｎｔｒｉｆｕｇａｌ ｆｏｒｃｅ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ｌｏａｄ ｍａｋｅｓ ｔｈｅ ｍａｘｉｍａｌ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｂｌａｄｅ—ｄｉｓｃ ｓｙｓｔｅｍ ｉｎｃｒｅａｓｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃｏｍｐｒｅｓｓｏｒ ｒｏｔｏｒ；ｃｙｃｌｉｃ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｍｅｔｈｏｄ；Ｋｒｉｇｉｎｇ ｍｏｄｅｌ；ｍｕｌｔｉ—ｆｉｅｌｄ ｃｏｕｐｌｉｎｇ； ｄｙｎａｍｉｃ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ 压气机作为航空发动机的关键组成部分之 一，其工作条件十分复杂，承受着离心力、气动力、 收稿日期：２０１５—０４—２３ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（５１２７５０８１）；国家自然科学基金重点资助项目（５１３３５００３）；沈阳市科技创新专项（Ｆ１５— １９９—１一Ｏ１ ． 作者简介：杨文军（１９８８一），男，内蒙古赤峰人，东北大学博士研究生；袁惠群（１９５４一），男，河北石家庄人，东北大学教授，博 士生导师． ８３６ 东北大学学报（自然科学版） 第３７卷 位移相位角； 为气动载荷相位角； 为振动 频率． 将式（２），式（３）代入式（１），整理得 （Ｋ一 Ｍ＋ｉｗＣ）Ｕｏ＝Ｆｏ． （４） 通过求解方程（４），可以获得在气动载荷作 用下叶片结构的响应．假定多场耦合界面上流体 域表面位移与结构域表面位移相等，以此作为边 界条件． １．２．２流体的动力学方程 对于流体域，其需满足各物理守恒定律，如质 量守恒、动量守恒及能量守恒等．虽然各守恒方程 包含了不同个数的变量，但都反映了物理量在单 位时间、单位体积内的守恒特性．令 为通用变 量，则控制方程可表示为 ＋ｄｉｖ（ｐｕ（ｐ）＝ｄｉｖ（Ｆｇｒａｄ￣ｐ）＋Ｓ．（５） 式中： 为瞬态项；ｄｉｖ（ｐ ）为对流项； ｄｉｖ（厂ｇｒａ ）为扩散项； 为源项． 压气机中气体的运动需考虑湍流模型，因为 它属于带旋转的三维非稳态不规则运动．选用标 准ｋ一 模型，其湍流能与耗散率的控制方程为 击（ ）＋去（ｐ ）＝毒［（ ＋ｏ丝＇ｋＪ１ ａｘｊ］＋Ｇｋ－ｐｃ， （６） ０ ｃｐｃ，＋矗ｃＰ ＝毒［（ ＋ ）考卜 Ｃ·詈Ｇ —Ｃ２ｐ ． （７） 式中：Ｐ是气体密度； 为流体的动力黏度；ｋ为湍 ２ 流能； 为湍流耗散率；／ｚ ＝ｐ 为湍流黏度； Ｃ１＝１．４４；Ｃ２：１．９２；ｃｎ＝０．０９； ＝１．０； ＝１．３． ２耦合界面的载荷传递 ２．１ 多场耦合分析流程 多场耦合分析的具体流程（图２）如下： １）基于专业ＣＦＤ前处理软件Ｇａｍｂｉｔ建立 三维流场的单扇区有限元模型； ２）利用流体仿真软件Ｆｌｕｅｎｔ进行压气机三 维流场的ＣＦＤ模拟； ３）基于Ａｎｓｙｓ软件前处理模块建立叶盘结 构的单扇区有限元模型； ４）采用Ｋｒｉｇｉｎｇ模型完成流场叶片表面气动 压强、温度载荷向结构叶片的传递； ５）利用Ａｎｓｙｓ软件热分析模块进行叶盘系 统的热一结构耦合分析； ６）基于有限元软件Ａｎｓｙｓ完成叶盘系统 热一流一结构多场耦合动力学分析； ７）输出分析结果，并进行后处理． 图２ 多物理场耦合分析流程 Ｆｉｇ．２ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｍｕｌｔｉ－ｆｉｅｌｄ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ２．２基于Ｋｒｉｇｉｎｇ模型的载荷传递 多物理场耦合动力学分析中的关键问题是如 何实现耦合界面的载荷数据传递．本文基于 Ｋｒｉｇｉｎｇ模型的耦合面载荷数据传递程序，实现了 流场气动压强和温度载荷向结构场的传递． Ｋｒｉｇｉｎｇ模型是一种方差最小的无偏估计模 型，最初由南非地质学家提出，其在预估未知点处 载荷的分布情况方面具有明显的优势．Ｋｒｉｇｉｎｇ模 型中，以多项式和随机分布来表示全部函数值与 自变量之间的关系： Ｙ（ ）＝Ｆ（／３， ）＋ｚ（ ）． （８） 式中：Ｆ（／３， ）＝［ （ｘ）Ｌ（ ）一： （ ）］卢＝， （ｘ）／３ 表示回归模型；ｚ（ ）表示统计随机过程，其均值 为０，方差为 ． 经过推导可得待插值点 处的预测值： （ ）＝ ＋ｒ （ ）Ｒ～‘（ｊ，一， ）． （９） 式中Ｒ表示样本点之间的相关矩阵．在计算的过 程中，等式右端的参数可根据已知点的载荷分布 获得． 经过对压气机内部三维流场的模拟，获得了 流场动叶表面的气动压强和温度载荷．借助 ｄａｃｅｉｆｔ函数，根据多场耦合界面流体域表面的节 点坐标、气动压强或温度载荷来建立Ｋｒｉｇｉｎｇ模 型．利用ｐｒｅｄｉｃｔｏｒ函数，基于Ｋｒｉｇｉｎｇ模型对多场 ８３８ 东北大学学报（自然科学版） 变形 第３７卷 压强及温度载荷作用下压气机叶盘系统的动力学 ，最大ｖｏｎ Ｍｉｓｓｅｓ应力ｏｒ 及最大主应 特性，得到了不同载荷作用情况叶盘系统的最大 力ｏｒ ，如表２所示． 表２不同载荷作用下叶盘系统的最大变形、ｙｏｎ Ｍｉｓｅｓ应力和主应力 Ｔａｂｌｅ ２ Ｍａｘｉｍｕｍ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｙｏｎ Ｍｉｓｅｓ ｓｔｒｅｓｓ ａｎｄ ｐｒｉｎｃｉｐａｌ ｓｔｒｅｓｓ ｏｆ ｂｌａｄｅ－ｄｉｓｃ ｓｙｓｔｅｍ ＯＲ ｖａｒｉｏｕｓ ｌｏａｄｓ 从表２中发现，仅有离心力载荷作用的情况 下，压气机叶盘系统的最大变形、最大ｖｏｎ Ｍｉｓｓｅｓ 应力及主应力值最大．施加气动压强、温度载荷作 用后，最大ｖｏｎ Ｍｉｓｓｅｓ应力及主应力值均有所降 低．但在离心力、气动载荷基础上增加温度载荷后 发现，叶盘系统的最大变形有所增加，这主要由于 温度载荷使得叶盘的弹性模量降低，导致了变形 增加，增大了叶盘系统振动的可能性． ４结 论 以某型航空发动机压气机的叶盘系统为研究 对象，建立了三维流场和结构模型．考虑前一级静 叶尾迹的影响，采用循环对称分析法，对压气机内 部的三维流场进行了模拟．基于Ｋｒｉｇｉｎｇ模型实 现了流场气动、温度载荷向结构场的传递，并讨论 了气动、温度、离心力的耦合作用对压气机叶盘系 统的强度的影响，得出了以下结论： １）基于Ｋｒｉｇｉｎｇ模型插值后的吸力面和压力 面流场节点的压强和温度分布与结构节点分布吻 合较好，说明利用Ｋｒｉｇｉｎｇ模型进行耦合界面载 荷数据的传递可以满足多场耦合力学的计算 要求． ２）在低压压气机中，离心力载荷对叶盘系统 的变形、应力起到了主要作用．气动压强、温度载 荷引起的弯曲应力可以抵消一部分离心力载荷引 起的弯曲应力，但温度载荷会使得叶盘系统的最 大变形增加． 参考文献： ［１］ Ｆ６ｒｓｃｈｉｎｇ Ｈ Ｗ．Ｇｒｕｎｄｌａｇｅｎ ｄｅｒ ａｅｒｏｅｌａｓｔｉｋ［Ｍ］．Ｂｅｒｌｉｎ： Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ，１９７４． ［２］Ｅｃｋｅｒｔ Ｅ Ｒ Ｇ，Ｌｏｗ Ｇ Ｍ．Ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｉｎ ｉｎｔｅｒｎａｌｌｙ ｈｅａｔｅｄ ｗａｌｌｓ ｏｆ ｈｅａｔ ｅｘｃｈａｎｇｅｒｓ ｃｏｍｐｏｓｅｄ ｏｆ ｎｏｎｎｕｃｌｅａｒ ｆｌｏｗ ｐａｓｓａｇｅｓ［Ｒ］．Ｈａｍｐｔｏｎ：ＮＡＣＡ，１９５１． ［３］Ｄｅｃｈａｕｍｐｈａｉ Ｐ，Ｗｉｅｔｉｎｇ Ａ Ｒ，Ｔｈｏｒｎｔｏｎ Ｅ Ａ．Ｆｌｏｗ—ｔｈｅｒｍａｌ· ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ａｅｒｏｄｙｎａｍｉｃａｌｌｙ ｈｅａｔｅｄ ｌｅａｄｉｎｇ ｅｄｇｅｓ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＳｐａｃｅｃｒａｆｔ ａｎｄＲｏｃｋｅｔｓ，１９８９，２６（４）：２０１—２０９． ［４］ Ｇｉｌｅｓ Ｍ Ｂ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ｃｏｎｄｉｉｔｏｎｓ ｉｎ ｆｌｕｉｄ—ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｔｈｅｒｍａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｊ］． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌｆｏｒ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ Ｆｌｕｉｄｓ １９９７． ２５（４）：４２１—４３６． ［５］Ｔｒａｎ Ｄ Ｍ，Ｌｉａｕｚｕｎ Ｃ，Ｌａｂａｓｔｅ Ｃ．Ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｆｌｕｉｄ—ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｉｎ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ａｎｄ ｔｉｍｅ ｄｏｍａｉｎｓ ｕｓｉｎｇ ｌｉｎｅａｒｉｚｅｄ ａｅｒｏｄｙｎａｍｉｃｓ ｆｏｒ ｔｕｒｂｏ ｍａｃｈｉｎｅｒｙ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｆｏ Ｆｌｕｉｄｓ ａｎｄ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，２００３，１７（８）：１１６１—１１８０． ［６］Ｇｏｔｔｆｒｉｅｄ Ｄ Ａ，Ｆｌｅｅｔｅｒ Ｓ．Ａｅｒｏｄｙｎａｍｉｃ ｄａｍｐｉｎｇ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｕｒｂｏ ｍａｃｈｉｎｅｓ ｕｓｉｎｇ ａ ｃｏｕｐｌｅｄ ｆｌｕｉｄ—ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｍｏｄｅｌ［Ｊ］． ＪｏｕｒｎａｌｏｆＰｒｏｐｕｌｓｉｏｎ ａｎｄＰｏｗｅｒ，２００５，２１（２）：３２７—３３４ ［７］王征，吴虎，史亚锋，等．基于ＣＦＤ／ＣＳＤ技术的压气机Ｉ１－ 片流固耦合及颤振分析［Ｊ］．航空动力学报，２０１１，２６（５）： １０７７～１０８４． （Ｗａｎｇ Ｚｈｅｎｇ，Ｗｕ Ｈｕ，Ｓｈｉ Ｙａ－ｆｅｎｇ，ｅｔ ａ１．Ｆｌｕｉｄ—ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｆｌｕｔｔｅｒ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｃｏｍｐｒｅｓｓｏｒ ｂｌａｄｅ ｂａｓｅｄ ｏｎ ＣＦＤ／ＣＳＤ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＡｅｒｏｓｐａｃｅ Ｐｏｗｅｒ，２０１１，２６（５）： １０７７—１０８４．） ［８］ 樊小莉，刘云飞，郭然，等．轴流压气机转子叶片的流固耦 合分析［Ｊ］．工程热物理学报，２０１２，３３（２）：２１８—２２１． （Ｆａｎ Ｘｉａｏ—ｌｉ，Ｌｉｕ Ｙｕｎ－ｆｅｉ，Ｇｕｏ Ｒａｎ，ｅｔ ａ１．Ｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｎ ｃｏｕｐｌｅｄ ｆｌｕｉｄ—ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｍｐｒｅｓｓｏｒ ｒｏｔｏｒ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｆｏＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｔｈｅｒｍｏｐｈｙｓｉｃｓ， ２０１２，３３（２）：２１８—２２１．） ［９］ 袁惠群，张连祥，朱向哲，等．某航空发动机高压转子系统 热振动特性研究［Ｊ］．振动与冲击，２００８，２７（ｓｕｐ）：２３－２５． （Ｙｕａｎ Ｈｕｉ—ｑｕｎ，Ｚｈａｎｇ Ｌｉａｎ－ｘｉｎａｇ，Ｚｈｕ Ｘｉｎａｇ—ｚｈｅ，ｅｔ ａ１． Ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｔｈｅｒｍａｌ ｂｅｎｄｉｎｇ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｏｆ ｈｉｇｈ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ｒｏｔｏｒ ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＶｉｂｒａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｓｈｏｃｋ，２００８，２７（ｓｕｐ）： ２３—２５．、 ［１０］Ａｄａｍｃｚｙｋ ＪＪ． Ａｅｒｏｄｙｎａｍｉｃ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｍｕｌｔｉｓｔａｇｅ ｔｕｒｂｏｍａｃｈｉｎｅｒｙ ｌｆ６ｗｓ ｉｎ ｓｕｐｐｏｒｔ ｏｆ ａｅｒｏｄｙｎａｍｉｃ ｄｅｓｉｇｎ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＴｕｒｂｏｍａｃｈｉｎｅｒｙ，１９９９，１２２（２）：１８９—２１７．