函数的对称性与周期性例题、习题

函数的对称性与周期性例题、题

习

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2.已知fx的图像关于点2,0对称，且x0,1时，fxx21x，

2求x5,4时，fx的解析式；

3.已知fx的图像关于点1,2对称，且x0,1时，fxx21x，

2求x1,2时，fx的解析式；

题型四 函数周期性和图像对称的应用

1.若函数fxa222ba,bR的图像关于点1,0对称，求a,b满足的

xx关系； 2.已知函数

f2xf2xfx的定义域为R，且对任意xR，都有

(1)若fx0有50个根，求所有这些根的和；(2)

若fx0有51个根，求所有这些根的和；

3.若fx有两条对称轴xa和xbab，求证：fx是以T2ab为周期的周期函数；

4.设fx是定义在R上的偶函数，它的图像关于直线x2对称，当x2,2时，fxx1，求x6,2时，fx的解析式；

2fx5.已知定义域为R的函数fx满足fx21，求证函数fx1fx是周期函数； 题型五 综合应用

1．设f(x)是定义在区间,上以2为周期的函数，对于

kZ，用I表示区间2k1,2k1，已知当xI时，f(x)x（1）求f(x)2k0在I上的解析式；（2）对自然数k，求集合Mkk{a|使方程（fx）ax在I上有两个不等实根}。

k

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x对2．已知定义在的图象关于直线fx），上的函数y（42称，当时x，函数（1）求（2）（fx）sinx。f，f的值；424求y（的函数表达式；（3）如果关于x的方程（fx）fx）a有解，那么将方程在a取某一确定值时所求得所有解的和记为

Ma，求M的所有可能取值及相对应的a的取值范围。

a

3．已知函数（fx）a点

11P，22axxa，xR（1）求证：函数（的图像关于fx）99i1i对称； （2）计算：f100的值。 函数的对称性与周期性课后练习

1.定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x4),当x2时,f(x)单调递增，如果

x1x24,且(x12)(x22)0,则f(x1)f(x2)的值 A．恒小于0 B．恒大于0

D．可正可负

C．可能为0

2.已知函数yf(x)满足：①yf(x1)是偶函数；②在[1,)上为增函数． 若x0,x0,且xx2,则f(x)与f(x)的大小关系是 A．f(x)>f(x) B．f(x)3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1x)f(x3)，当0x2

6

x时，f(x)2，那使f(x)1成立的x的集合为 2A．{x|x2n,nZ} B．{x|x2n1,nZ} C．{x|x4n1,nZ} D．{x|x4n1,nZ}

1

4.已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－

4y)(x，y∈R)，则f(2 010)＝________. 5..若x满足2x+2=5,

x1x2满足2x+2log(x－1)=5, x+x＝

212（ ）

7A.5 B.3 C. D.4 226.设指数函数ya与对数函数ylogxax(a0,a1)的图象分别为

C1、C2，点M在曲线C1上，线段OM（O为坐标原点）交曲线C1于另一点N．若曲线C2上存在一点P，使点P的横坐标与点M的纵坐标相等，点P的纵坐标是点N的横坐标的2倍，则点P的坐标是

A.（4，a）

4 B.(2,log2) C.

a(a4,4) D.(4,log4)

a7.（1）f(2x)f(4x)，则函数yf(x)图像关于 对称； （2）f(2x)f(4x)，则函数yf(x)图像关于 对称； （3）若对称．

8.（1）函数yf(4x)是奇函数，则函数yf(x)图像关于

7

f(1x)f(4x)3，则函数

yf(x)图像关于

对称；

（2）函数yf(4x)2是奇函数，则函数yf(x)图像关于 对称．

x19.定义在[0,1]上的函数f(x)满足f(0)0，f(x)f(1x)2，f(5)f(x)，且21当0xx1时，f(x)f(x)，则f(2010)______．

1212 10.

若

f(2x)f(4x)，则

f(x)的周期性

是： ．

11.（1）定义域是R的奇函数f(x)又是周期为T(T0)周期函数，

) ． 则f(0) ，f(T2

（2）已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(1x)f(x)，则f(2009)______； （3）若

f(5)f(7)f(x1)和

f(x1)都是定义域是R的奇函数，则

．

12.定义域是R的奇函数f(x)图像关于直线x12对称，当f(2.5)0时，则当x(6,6)时，函数f(x)零点个数是 ．

8

13.已知f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且

g(x)f(x1)，若f(2)2，则f(2008)g(2006) ．

14.（1）已知f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x2)f(x)3，当

x[2,3]时，f(x)x，则f(9.5) ．

（2）设定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)12，若f(1)2，则f(99)

15.已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x[0,1]时，f(x)1x，那么在区间x[1,4] 内，关于x的方程kxk1f(x)有5个不同的根，则实数k的取值范围是 ．

16.设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意xR，都有

f(x)f(x4))，且当x[－2，0]时，f(x)(12ax1，若在区间（－2，

6内关于x的方程f(x)log(x2)0(a1)恰有三个不同的实数根，则a的取值范围为

A.（1，2） B.（2，） C.（1，4） D.

3 9

（4，2）

3 17.函数

3f(x)2xx3和g(x)log2xx3的零点分别是,，求证

．

答案

1

4.已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－

4y)(x，y∈R)，则f(2 010)＝________.

1

解析：∵f(1)＝，令y＝1得f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)，

4即f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，① f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，②

由①②得f(x＋2)＝－f(x－1)，即f(x＋3)＝－f(x)， 则f(x＋6)＝f(x)．∴该函数周期为6.∴f(2 010)＝f(6×335＋0)＝f(0)．

1

令x＝1，y＝0得4f(1)f(0)＝f(1)＋f(1)，∴f(0)＝.211

∴f(2 010)＝.答案： 22

5..若x满足2x+2=5, x满足2x+2log(x－1)=5, x+x＝

7A.5 B.3 C. D.4 22x12212 10

解析：由题意2x21x15 ① 即2x2log(52x)

1212x22log2(x21)5 ②

所以2x15x12x1log2(52x1),

令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)

∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2 于是2x1＝7－2x2【答案】16.D.

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C