绝对值的性质及化简

绝对值的性质及化简

例题精讲

绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a. 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“

”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.

②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.

④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5符号是负号，绝对值是5. 求字母a的绝对值：

a(a0)a(a0)a(a0)①a0(a0) ②a ③a

a(a0)a(a0)a(a0)利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.

例如：若abc0，则a0，b0，c0

绝对值的其它重要性质：

（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即aa，且aa； （2）若ab，则ab或ab； （3）abab；

aa(b0)； bb（4）|a|2|a2|a2；

（5）ababab，

对于abab，等号当且仅当a、b同号或a、b中至少有一个0时，等号成立； 对于abab，等号当且仅当a、b异号或a、b中至少有一个0时，等号成立． 绝对值几何意义

当xa时，xa0，此时a是xa的零点值． 零点分段讨论的一般步骤：

找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值． a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．

ab的几何意义：在数轴上，表示数a、b对应数轴上两点间的距离．

一、绝对值的概念

【例1】 ⑴mn的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．

x的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；x x0（>，，<）；

⑵21的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21 ； ⑶x3的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若x31，则x ．

⑷x2的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若x22，则 x ．

二、绝对值的性质

【例2】 填空：若abab，则a，b满足的关系 ．

【巩固】 填空：若abab，则a，b满足的关系 ．

【例3】 填空：已知a、b是有理数，a≤1，b≤2，且ab=3，则ab ．

【巩固】 若abab，则下列结论正确的是 ( )

A. a0，b0 B. a0，b0 C. a0，b0 D. ab0

【例4】 下列各组判断中，正确的是 ( )

A．若ab，则一定有ab B．若ab，则一定有ab

C. 若ab，则一定有ab D．若ab，则一定有a2b

2 【例5】 如果a2＞b2，则 ( )

A．ab B．a＞b C．ab D a＜b

【例6】 （4级）若ab且ab，则下列说法正确的是（ ）

A．a一定是正数 B．a一定是负数 C．b一定是正数 D．b一定是负数

【巩固】 下列式子中正确的是 ( )

A．aa B．aa C．aa D．aa

【例7】 对于m1，下列结论正确的是 ( )

A．m1≥|m| B．m1≤|m| C．m1≥|m|1 D．m1≤|m|1

【例8】 已知2x332x，求x的取值范围

【例9】 下列说法中正确的个数是( )

①当一个数由小变大时，它的绝对值也由小变大； ②没有最大的非负数，也没有最小的非负数； ③不相等的两个数，它们的绝对值一定也不相等； ④只有负数的绝对值等于它的相反数． A．0 B．1 C．2

D．3

【例10】 绝对值等于5的整数有 个，绝对值小于5的整数有 个

【例11】 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？

b2，且ab；则a_____，【例12】 已知：a5，b_______.

n共有 【巩固】 非零整数m，n满足mn50，所有这样的整数组m，

b2，c3，且abc，那么abc 【例13】 已知a1，

【例14】 如右图所示，若a的绝对值是b的绝对值的3倍，则数轴的原点在 点．（填“A”“B”“C”或

“D”）

【例15】 如果ab1，bc1，ac2，求ab2c的值．

【例16】 已知a、b、c、d都是整数，且abbccdda2，则ad ．

【例17】 已知a、b、c、d是有理数，ab≤9，cd≤16， 且

abcd25，则badc ．

【巩固】 有理数a、b、c、d各自对应着数轴上X、Y、Z、R四个点，且 （1）bd比ab，ac、ad、bc、cd都大； （2）daacdc；

（3）c是a、b、c、d中第二大的数.则点X、Y、Z、R从左到右依次是

【例18】 If x3,y1,z4,and x2yz9,then x2y4z6 ．

【例19】 如果aa1,a1xa1,那么xaxa____。

【例20】 若m是方程|2000x|2000|x|的解，则|m2001|等于（ ）．

A． m2001 B． m2001 C． m2001 D． m2001

【例21】 已知ab0，求a2bb2aab(ab)的值.

【例22】 已知a、b是有理数，有以下三个不等式：

① |ab||ab|；② a2b2|a||b|10；③ a2b22|a|2|b|10． 其中一定不成立的是______（填写序号）．

若x2x20，求x的取值范围．

课后练习

1.

2. 3. 4.

如果有理数a，b，c满足a2b6，bd7，abd13，求a2bbd的值． 若a，，，且c最小，a最大，且acbcbdad．请按a，，，bcd为互不相等的有理数，bcd从小到大的顺序排列．

有理数a与b满足ab，则下面哪个答案正确( ) A．ab B．ab C．ab D．无法确定