投针实验计算圆周率的数学分析

王向东

投针实验计算圆周率的数学证明方法，初中一般是采取假设针弯成直径等于平行线距离的方法巧妙证明。这个方法是基于不管针弯成什么形状，针上的每一个部位与平行线相交的概率相同，但这是感观上的认识，要把其中原因解释清楚不是很容易。笔者从纯数学的角度来推导这个公式。

一、投针问题的由来

1777年法国科学家布丰提出的一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。

这一方法的步骤是：

1) 取一张白纸，在上面画上许多条间距为d的平行线。

2) 取一根长度为l(ld)的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m

3）计算针与直线相交的概率．

18世纪，法国数学家布丰和勒可莱尔提出的“投针问题”，记载于布丰1777年出版的著作中：“在平面上画有一组间距为d的平行线，将一根长度为l(ld)的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率。”布丰本人证明了，这个概率是：

p2l，π为圆周率。 d

二、投针实验的数学证明

投针这个动作是由两个事件构成的。

事件1：针投下后与平行线构成一定的夹角。

我们来分析一下针投下后与平行线之间的成某一特定夹角时的概率。

设针投下后与平行线之间的夹角为，则在0与之间。针与平行线之间的夹角在到+之间的概率为p1，当0时，可看作针投下后与平行线之

间成某一特定夹角为的概率。

事件2：针投下后会在平行线垂直的方向形成一个投影，针与平行线相交等于它的垂直投影与平行线相交。这个投影的长度l'在0到l之间。

此时针在水平方向的投影为l'lsin()。再分析l'与平行线相交的概率。等于我们将问题转化成长度为l'的针，并且只允许它处在与平行线垂直的方向上，这时它与平行线相交的概率显然为：

p2l'lsin() dd因为每一次投掷都是由上述两个事件组成的，因而对于针与平行线之间的夹角在到+之间时，针与平行线相交的概率p()为这两个事件概率的乘积，即：

p()p1.p2lsin()

d因为针与平行线之间构成的夹角在0－π之间每个角度的机会都是均等的，因此

针与平行线相交的概率相当于针落在每个附近范围内，当0时与平行线相交的所有概率之和。这个概率可用下列定积分表示，并可求出这个定积分的值为：

p0lsin()2l d=d ddd1时，针于平行线相交的概率就是。2这是一个有趣的结论，当实验用针的长度l笔者还用计算机模拟了这个实验，证实经过4万次投掷，算出的π值误差小于万分之二。

参考文献：

[1] 蒲丰投针问题 http://baike.baidu.com/view/1037888.htm

[2] 投针实验 http://wenku.baidu.com/view/4154b0eb81c758f5f61f6786.html