设函数f(x)与g(x)的定义域是x∈R且f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x...

发布网友 发布时间：2024-10-24 00:00

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热心网友 时间：2024-10-28 03:25

解1：
因为：f(x)是偶函数，
所以：f(-x)=f(x)
因为：g(x)是奇函数，
所以：g(-x)=-g(x)
设：ρ(x)=f(x)+g(x)
依题意和已知，有：ρ(x)=e^x
即：f(x)+g(x)=e^x…………………………(1)
有：ρ(-x)=e^(-x)
即：f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=e^(-x)…………(2)
(1)+(2)，有：f(x)+g(x)+f(x)-g(x)=e^x+e^(-x)
整理，有：2f(x)=e^x+e^(-x)
解得：f(x)=[e^x+e^(-x)]/2
(1)-(2)，有：f(x)+g(x)-[f(x)-g(x)]=e^x-e^(-x)
2g(x)=e^x-e^(-x)
解得：g(x)=[e^x-e^(-x)]/2
综合以上，所求解析式为：
f(x)=[e^x+e^(-x)]/2
g(x)=[e^x-e^(-x)]/2

证2：
由解1知：g(x)=[e^x-e^(-x)]/2、f(x)=[e^x+e^(-x)]/2
所以，有：
g(2x)=[e^(2x)-e^(-2x)]/2
g(2x)={(e^x)²-[e^(-x)]²}/2………………………………(1)
2f(x)g(x)=2×{[e^x-e^(-x)]/2}{[e^x+e^(-x)]/2}
2f(x)g(x)=2×[e^x-e^(-x)][e^x+e^(-x)]/4
2f(x)g(x)={(e^x)²-[e^(-x)]²}/2…………………………(2)
对比(1)、(2)，可得：g(2x)=2f(x)g(x)
证毕。

热心网友 时间：2024-10-28 03:30

解：
∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,
∴f(x)=f(-x) g(x)=-g(-x)
∵f(x)+g(x)=e^x ①
∴f(-x)+g(-x)=e^(-x)
f(x)-g(x)=1/e^x ②
①+②得
2f(x)=e^x+1/e^x
∴f(x)=(e^x+1/e^x)/2
①-②得
2g(x)=e^x-1/e^x
∴g(x)=(e^x-1/e^x)/2

证明：
∵g(2x)=(e^2x-1/e^2x)/2
2f(x)g(x)=2(e^x+1/e^x)/2*(e^x-1/e^x)/2=(e^2x-1/e^2x)/2
∴g(2x)=2f(x)g(x)

热心网友 时间：2024-10-28 03:23

f(-x)+g(-x)
=f(x)-g(x) =e^(-x) ....(1)
f(x)+g(x)=e^x ....(2)
由(1)(2)得
f(x)=(e^x+e^(-x))/2
g(x)=(e^x-e^(-x))/2