...阶偏导数,且在边界值上取值为零”这句话怎么理解?

发布网友发布时间：2024-10-24 04:58

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热心网友时间：2024-10-24 15:43

结论是，给定函数f（x, y）在单位圆x^2 + y^2 = 1上具有连续的一阶偏导数，并且边界上的函数值为零，即f(cos(t), sin(t)) = 0。这表明函数在圆周上的积分值为零，即∫0到2π f(cos(t), sin(t)) dt = 0。接下来的讨论涉及到函数h(x, y) = f(x, y) - g(x, y)，它在给定区域D上具有连续偏导数且恒等于零。通过分析，我们可以得出在点(x0, y0)在D的边界处，如果h(x, y)的最大值或最小值不在区域内部取得，那么f(x, y)在该点的梯度等于g(x, y)的梯度。举例中，如果f在单位圆内具有上述特性，计算特定积分时，可以利用格林公式和积分中值定理，最终得出积分的极限值，比如在f(0, 0) = 2008的情况下，lim ε→0+ ε² ≤ x² + y² ≤ 1 xxf'x + yfyx² + y² dxdy的结果为-4016π。

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