...n*s,且A与AB的秩满足r(A)=r(B).证明:存在s*n矩阵C,使得A=ABC...

发布网友 发布时间：2024-10-24 09:00

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热心网友 时间：2024-10-25 14:35

“且A与AB的秩满足r(A)=r(B)。”这句话我猜你一定打错了，应该是r(A)=r(AB)，否则你何不说且A与B的秩满足r(A)=r(B)呢？
如果改正你说的错话，那么这道题这样证：
取A的极大无关列向量组As1,...,Asr（s1,...,sr=1,...,n）
取AB的极大无关列向量组Ct1,...,Ctr（t1,...,tr=1,...,n）
那么这两组向量都为r维线性空间W的基
则存在可逆的r×r过渡矩阵T使得：
(As1,...,Asr)=(Ct1,...,Ctr)T①
令T的第1列到第s列依次为向量：α1,...,αs
用它们依次代替s*n零矩阵〇的第s1,s2,...,sr列使得〇称为新矩阵D
设A中除去As1,...,Asr以外的所有列向量为As(r+1),...,Asn②
又由极大无关组的性质，②均可以由As1,...,Asr线性表出，
且由①又知As1,...,Asr可由Ct1,...,Ctr线性表出，故②也可以由Ct1,...,Ctr线性表出。
设Asp=(Ct1,...,Ctr)αq，（p，q=r+1,...,n）
用α(r+1),...,αn依次代替D中的剩余的零列向量，则D就变成了C
易验证C即为满足条件的那个矩阵

热心网友 时间：2024-10-25 14:29

知识点: A的列向量可由B的列向量线性表示的充要条件是存在矩阵K满足A=BK.

证: 显然AB的列向量可由A的列向量线性表示
又因为 r(A)=r(AB)
所以 A,AB的列向量生成相同的r维向量空间
所以 A的列向量可由AB的列向量线性表示
所以存在矩阵C满足 A=(AB)C=ABC.